中考数学复习重难点与压轴题型训练专题19用一次函数、反比例函数、二次函数解决实际问题(学生版+解析)

这是一份中考数学复习重难点与压轴题型训练专题19用一次函数、反比例函数、二次函数解决实际问题(学生版+解析)，共31页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11107" 【直击中考】 PAGEREF _Tc11107 \h 1
\l "_Tc24057" 【考向一 在一次函数解决实际问题求最值问题】 PAGEREF _Tc24057 \h 1
\l "_Tc969" 【考向二 用反比例函数解决实际问题】 PAGEREF _Tc969 \h 7
\l "_Tc1938" 【考向三 在二次函数解决实际问题求最值问题】 PAGEREF _Tc1938 \h 13
【直击中考】
【考向一 在一次函数解决实际问题求最值问题】
例题：（2023·山东济南·山东大学附属中学校考一模）为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴．已知1件A产品价格比1件B产品价格少20元，300元购买A产品件数与400元购买B产品件数相同．
(1)A产品和B产品每件分别是多少元？
(2)深圳该对口单位动员职工采购该乡A、B两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购买150件，A的数量不少于B的2倍，当采购A、B两种农副产品为多少时，购买总费用最大？并求购买总费用的最大值．
【变式训练】
1．（2023秋·广东河源·八年级校考期末）某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710且不超过6810元购进这两种商品共100件．
(1)甲、乙两种商品的进价各是多少？
(2)设其中甲商品的进货件数为件，商店有几种进货方案？
(3)设销售两种商品的总利润为元，试写出利润与的函数关系式，并利用函数的性质说明哪一种进货方案可获得最大利润，并求出最大利润是多少？
2．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）为了打造“清洁能源示范城市”，某市2020年投入资金2250万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2022年在2020年的基础上增加投入资金2160万元．
(1)从2020年到2022年，该市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
(2)2023年该市计划再安装A、B两种型号的充电桩共100个．已知安装一个A型充电桩需3.2万元，安装一个B型充电桩需3.8万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半．求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
3．（2021秋·河南信阳·八年级校考期末）为了丰富同学们的课余生活，经市场了解，发现篮球的单价比足球的单价多元，用元购买的篮球的个数等于用元购买的足球的个数．
(1)求篮球和足球的单价
(2)为了支持学校开展体育活动，某校准备购买足球、篮球共个，且保证购买篮球数量不少于足球的一半，商店对篮球及足球进行打折销售，其中篮球打八折，足球打九折，请你给该校设计一个最省钱的购买方案，并求出最少费用为多少元？
4．（2023春·全国·八年级专题练习）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？
5．（2023秋·陕西西安·九年级校考期末）某经销商计划购进400斤普通包装和精品包装的柿饼进行售卖，这两种包装柿饼的进价和售价如下表：
设该经销商购进普通包装的柿饼x斤，总利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)经过市场调研，该经销商决定购进精品包装的柿饼不大于普通包装的3倍，请问获利最大的进货方案及最大利润．
【考向二 用反比例函数解决实际问题】
例题：（2023秋·湖南永州·九年级校考期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间的函数关系式；
(2)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【变式训练】
1．（2023·云南·校考一模）云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水立方米计算，蓄水池剩余的水一个月（30天）刚好用完．如果每天的用水量为x立方米，那么这个蓄水池的水能维持y天．
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)如果每天用水立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？
2．（2023·安徽宿州·统考一模）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系，其图像如图所示．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)当气体体积为60ml时，气体的压强为______kPa．
(3)若注射器内气体的压强不能超过500kPa，则其体积V要控制在什么范围？
3．（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量（mg）与燃烧时间（min）之间的函数关系如图所示，其中当时，是的正比例函数，当时，是的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求与的函数关系式；
(2)求点的坐标；
(3)药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于4mg的时间超过20分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？
4．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）一辆汽车行驶在从甲地到乙地的高速公路上，行驶全程所需的时间（h）与行驶的平均速度（）之间的反比例函数关系如图所示
(1)请写出这个反比例函数的解析式．
(2)甲乙两地间的距离是______．
(3)根据高速公路管理规定，车速最高不能超过，若汽车行驶全程不进入服务区休息，且要求在以内从甲地到达乙地，求汽车行驶速度应控制在什么范围之内．
5．（2023秋·河南开封·九年级统考期末）如图，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根长为100米的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O为30处挂一个重10N的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：），观察弹簧秤的示数F（单位：N）的变化情况．得出如下几组实验数据：
(1)观察上表实验数据，写出表中a的值______．
(2)以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立如图平面直角坐标系，在坐标系中描出以上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点；
(3)根据所画的图象，求出F与L的函数关系式．
【考向三 在二次函数解决实际问题求最值问题】
例题：（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）某文具店以8元/支的进价购进一批签字笔进行销售，经市场调查后发现，日销量（支）与零售价（元）之间的关系图象如下图所示，其中．
(1)求出日销量（支）与零售价（元）之间的关系；
(2)当零售价定为多少时，该文具店每天销售这种签字笔获得的利润最大？最大利润是多少？
【变式训练】
1．（2022秋·山西太原·九年级校考期末）某文具商店销售进价为元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒元的价格销售，平均每天销售盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售价为x（）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为 W 元．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式：_______．
(2)求W与x之间的函数关系式
(3)为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
2．（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）某超市经销种商品，每千克成本为40元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
(1)求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
(2)为保证某天获得1600元的销售利润，则该天的销售单价x应定为多少？
(3)当销售单价x定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
3．（2023秋·湖南长沙·九年级校考期末）大学生小李和同学一起自主创业开办了一家公司，公司对经营的盈亏情况在每月的最后一天结算一次，在1～12月份中，该公司前个月累计获得的总利闻（万元）与销售时间（月）之间满足二次函数关系．
(1)求与函数关系式；
(2)求9月份一个月内所获得的利润；
(3)在前12个月中，哪个月该公司所获得利润最大?最大利润为多少?
4．（2023春·福建泉州·九年级校考阶段练习）某商家计划从厂家采购，两种产品共件，产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数，下表提供了部分采购数据.
(1)求产品的采购数量与采购单价的函数关系式；
(2)该商家分别以元件和元件的销售单价出售，两种产品，且全部售完，在产品的采购数量不小于且不大于的条件下，求采购种产品多少件时总利润最大，并求最大利润.
5．（2023秋·黑龙江佳木斯·九年级校联考期末）同江新天地亮亮儿童村服装柜在销售中发现：“快乐小鱼”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．春节将至，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
(2)降价多少元时商场可获得最大利润？最大利润为多少元？
6．（2022春·广东佛山·九年级校考阶段练习）某工厂制作A，B两种手工艺品，B每天每件获利比A多105元，A获利30元与B获利240元时的数量相等．
(1)制作一件A和一件B分别获利多少元？
(2)工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．在（1）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件B时，每件获利不变，若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．求每天制作二种手工艺品的人数及可获得的总利润W（元）的最大值．
7．（2023秋·江苏泰州·九年级校考期末）某书店销售一本畅销的小说，每本进价为25元．根据以往经验，当销售单价是30元时，每天的销售量是300本；销售单价每上涨1元，每天的销售量减少10本，设这本小说每天的销售量为y本，销售单价为x元．
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)书店决定每销售1本该小说，就捐赠3元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则该小说每本售价为多少元？每天最大利润是多少元？
品名
进价（元/斤）
售价（元/斤）
普通包装
11
15
精品包装
15
28
L/
10
15
20
25
30
F/N
30
20
15
a
10
销售单价x（元/千克）
45
50
55
60
销售量y（千克）
110
100
90
80
采购数量(件)
产品单价(元/件)
产品单价(元/件)
专题19 用一次函数、反比例函数、二次函数解决实际问题
【中考考向导航】
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11107" 【直击中考】 PAGEREF _Tc11107 \h 1
\l "_Tc24057" 【考向一 在一次函数解决实际问题求最值问题】 PAGEREF _Tc24057 \h 1
\l "_Tc969" 【考向二 用反比例函数解决实际问题】 PAGEREF _Tc969 \h 7
\l "_Tc1938" 【考向三 在二次函数解决实际问题求最值问题】 PAGEREF _Tc1938 \h 13
【直击中考】
【考向一 在一次函数解决实际问题求最值问题】
例题：（2023·山东济南·山东大学附属中学校考一模）为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴．已知1件A产品价格比1件B产品价格少20元，300元购买A产品件数与400元购买B产品件数相同．
(1)A产品和B产品每件分别是多少元？
(2)深圳该对口单位动员职工采购该乡A、B两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购买150件，A的数量不少于B的2倍，当采购A、B两种农副产品为多少时，购买总费用最大？并求购买总费用的最大值．
【答案】(1)A产品每件60元，则B产品每件80元
(2)购买A产品100件，则购买B产品50件，购买总费用最大，最大值为10000元
【分析】（1）设A产品每件x元，则B产品每件元，然后根据300元购买A产品件数与400元购买B产品件数相同列出方程求解即可；
（2）设购买A产品a件，则购买B产品件，所需费用为w元，根据总费用A的费用B的费用，列出w关于a的一次函数关系，再结合，A的数量不少于B的2倍，求出a的取值范围，最后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A产品每件x元，则B产品每件元，
由题意得，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：A产品每件60元，则B产品每件80元；
（2）解：设购买A产品a件，则购买B产品件，所需费用为w元，
∴，
∵A的数量不少于B的2倍，
∴，
∴，
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，此时，
∴当购买A产品100件，则购买B产品50件，购买总费用最大，最大值为10000元．
答：购买A产品100件，则购买B产品50件，购买总费用最大，最大值为10000元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程，不等式和函数关系式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·广东河源·八年级校考期末）某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710且不超过6810元购进这两种商品共100件．
(1)甲、乙两种商品的进价各是多少？
(2)设其中甲商品的进货件数为件，商店有几种进货方案？
(3)设销售两种商品的总利润为元，试写出利润与的函数关系式，并利用函数的性质说明哪一种进货方案可获得最大利润，并求出最大利润是多少？
【答案】(1)进价为40元，乙商品的进价为80元
(2)有三种进货方案：方案1，甲种商品30件，乙商品70件；方案2，甲种商品31件，乙商品69件；方案3，甲种商品32件，乙商品68件
(3)时，最大，此时
【分析】（1）设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元，根据题意列出二元一次方程，解方程即可得到答案；
（2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到答案；
（3）设利润为元，根据利润＝售价－进价建立解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元，
由题意得，
，
解得，
答：商品的进价为40元，乙商品的进价为80元；
（2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
由题意得，
，
解得：，
为整数，
，
有三种进货方案：
方案1，甲种商品30件，乙商品70件；
方案2，甲种商品31件，乙商品69件；
方案3，甲种商品32件，乙商品68件；
（3）解：设利润为元，
由题意得，
，
，
随的增大而减小，
时，最大，此时．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，列一元一次不等式组解决实际问题，一次函数的性质的应用，在解题时，根据题意列出二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数解析式是解题的关键．
2．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）为了打造“清洁能源示范城市”，某市2020年投入资金2250万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2022年在2020年的基础上增加投入资金2160万元．
(1)从2020年到2022年，该市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
(2)2023年该市计划再安装A、B两种型号的充电桩共100个．已知安装一个A型充电桩需3.2万元，安装一个B型充电桩需3.8万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半．求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
【答案】(1)从2020年到2022年，该市用于充电桩安装的资金年平均增长率为
(2)A、B两种型号充电桩分别安装33个，67个时，所需资金最少，最少为362万元
【分析】（1）设从2020年到2022年，该市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系列出方程，即可求解；
（2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元，列不等式，求出a的范围，再求出的函数解析式，进而可求出答案．
【详解】（1）解：设从2020年到2022年，该市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得:，（舍去）．
答：从2020年到2022年，该市用于充电桩安装的资金年平均增长率为；
（2）解：设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元．
根据题意，得:，
解得:，
，
∵，
∴随a的增大而减小．
∵a为整数，
∴当时，最小，最小值为（万元）．
此时，．
答：A、B两种型号充电桩分别安装33个，67个时，所需资金最少，最少为362万元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，一次函数及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出方程、不等式和函数解析式．
3．（2021秋·河南信阳·八年级校考期末）为了丰富同学们的课余生活，经市场了解，发现篮球的单价比足球的单价多元，用元购买的篮球的个数等于用元购买的足球的个数．
(1)求篮球和足球的单价
(2)为了支持学校开展体育活动，某校准备购买足球、篮球共个，且保证购买篮球数量不少于足球的一半，商店对篮球及足球进行打折销售，其中篮球打八折，足球打九折，请你给该校设计一个最省钱的购买方案，并求出最少费用为多少元？
【答案】(1)篮球的单价是，足球的单价是；
(2)最省钱的购买方案是：足球买个，篮球个，费用为．
【分析】（1）设足球的单价为x元，根据元购买的篮球的个数等于用元购买的足球的个数列方程即可得到答案；
（2）根据篮球数量不少于足球的一半列不等式，根据题意列出费用函数，根据函数性质即可得到最少方案．
【详解】（1）解：设足球的单价为x元，则篮球单价为元，由题意可得，
，
解得：，
∴，
∴篮球的单价是，足球的单价是；
（2）解：设购买足球m个，则篮球个，由题意可得，
且m为非负整数，
解得：的非负整数，
设费用为w，则有：
，
∵，
∴w随m增大而减小，
∴当时w最小，
最少费用为：，
∴最省钱的购买方案是：足球买个，篮球个，费用为．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质，理解题意并根据题意求出函数关系式是解题的关键．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？
【答案】(1)甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元
(2)购进甲型机器人4台，乙型机器人2台时，分拣量最大
【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据“购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（2）设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台，根据“该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设6台机器人每小时的分拣量为w，利用总分拣量=每台机器人的分拣量×购买该型机器人的数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元．
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台．
依题意，得，
解得．
设6台机器人每小时的分拣量为w，则．
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每小时的分拣量最大．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
5．（2023秋·陕西西安·九年级校考期末）某经销商计划购进400斤普通包装和精品包装的柿饼进行售卖，这两种包装柿饼的进价和售价如下表：
设该经销商购进普通包装的柿饼x斤，总利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)经过市场调研，该经销商决定购进精品包装的柿饼不大于普通包装的3倍，请问获利最大的进货方案及最大利润．
【答案】(1)
(2)购进普通柿饼100斤，精品柿饼斤时，经销商获得最大利润，最大利润为4300元
【分析】（1）根据总利润等于普通包装的柿饼的总利润加上精品包装的柿饼的总利润，求出函数关系式即可；
（2）根据精品包装的柿饼不大于普通包装的3倍，求出的取值范围，根据（1）中函数的性质，求出最值即可．
【详解】（1）解：设该经销商购进普通包装的柿饼x斤，则：购进精品包装的柿饼为斤，由题意，得：
，
整理，得：；
（2）解：由题意，得：，
解得：；
∵，，
∴随的增大而减小，
∴当时，总利润最大，为：元，
∴当购进普通柿饼100斤，精品柿饼斤时，经销商获得最大利润，最大利润为4300元．
【点睛】本题考查一次函数的应用．根据题意，正确的列出函数解析式，利用一次函数的性质，进行求解，是解题的关键．
【考向二 用反比例函数解决实际问题】
例题：（2023秋·湖南永州·九年级校考期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间的函数关系式；
(2)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】(1)
(2)10小时
【分析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式；
（2）把代入中，即可求得结论．
【详解】（1）解：设线段解析式为
∵线段过点，，
∴，解得
∴线段的解析式为：
∵B在线段上当时，，
∴B坐标为，
∴线段的解析式为：，
设双曲线解析式为：
∵，
∴，
∴双曲线的解析式为：
∴y关于x的函数解析式为：
（2）把代入中，解得：，
∴（小时），
∴恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的实际应用，根据图象求一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．
【变式训练】
1．（2023·云南·校考一模）云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水立方米计算，蓄水池剩余的水一个月（30天）刚好用完．如果每天的用水量为x立方米，那么这个蓄水池的水能维持y天．
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)如果每天用水立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？
【答案】(1)
(2)36天
【分析】（1）求出蓄水池总储水量，然后得出关系式即可；
（2）根据（1）中的关系式求出当时的y值即可．
【详解】（1）解：（立方米），
∴y与x之间的函数关系式为：；
（2）解：当时，（天），
∴蓄水池剩余的水能维持36天．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质和意义是解题的关键．
2．（2023·安徽宿州·统考一模）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系，其图像如图所示．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)当气体体积为60ml时，气体的压强为______kPa．
(3)若注射器内气体的压强不能超过500kPa，则其体积V要控制在什么范围？
【答案】(1)
(2)100
(3)不少于
【分析】(1) 设反比例函数的表达式为，将代入计算即可．
(2)代入解析式计算即可．
(3)代入解析式计算即可．
【详解】（1）设反比例函数的表达式为，
将代入，得，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）∵，
∴当时，，
故答案为：100．
（3）当时，，
∴为了安全起见，气体的体积应不少于．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
3．（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量（mg）与燃烧时间（min）之间的函数关系如图所示，其中当时，是的正比例函数，当时，是的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求与的函数关系式；
(2)求点的坐标；
(3)药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于4mg的时间超过20分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？
【答案】(1)与的解析式为
(2)点的坐标为
(3)超过20分钟，故是有效消毒
【分析】（1）该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量（mg）与燃烧时间（min）之间的函数关系如图所示，其中当时，是的正比例函数，当时，是的反比例函数，将数据代入，使用待定系数法可得与的函数关系式；
（2）将代入反比例函数解析式即可求出点的坐标；
（3）求出线段的函数解析式，再把分别代入两个解析式求出计算即可．
【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式，
将代入得，
，
解得：，
与的函数关系式为：，
当时，，
当时，设与的解析式为：，
将点代入得，
，
解得：，
与的的解析式为，
与的解析式为；
（2）解：当时，，
点的坐标为；
（3）解：由（1）得，直线解析式为，
将代入中得，
，解得：，
将代入中得，
，解得：，
，
超过20分钟，故是有效消毒．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解正比例函数和反比例函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
4．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）一辆汽车行驶在从甲地到乙地的高速公路上，行驶全程所需的时间（h）与行驶的平均速度（）之间的反比例函数关系如图所示
(1)请写出这个反比例函数的解析式．
(2)甲乙两地间的距离是______．
(3)根据高速公路管理规定，车速最高不能超过，若汽车行驶全程不进入服务区休息，且要求在以内从甲地到达乙地，求汽车行驶速度应控制在什么范围之内．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设这个反比例函数的解析式是，根据图像将点代入即可得到答案；
（2）由（1）中k即可得到答案；
（3）将代入解析式即可得到最小值，即可得到答案；
【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式是
代入得，
∴解析式；
（2）解：由（1）得，
∵，
∴甲乙两地间的距离是；
（3）解：将代入，得，
∴；
【点睛】本题考查反比例函数解决应用题，解题的关键是求出解析式，理解k的意义．
5．（2023秋·河南开封·九年级统考期末）如图，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根长为100米的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O为30处挂一个重10N的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：），观察弹簧秤的示数F（单位：N）的变化情况．得出如下几组实验数据：
(1)观察上表实验数据，写出表中a的值______．
(2)以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立如图平面直角坐标系，在坐标系中描出以上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点；
(3)根据所画的图象，求出F与L的函数关系式．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)F与L的函数关系式为
【分析】（1）根据题意找出规律即可；
（2）先标出各点，再画线即可；
（3）先设出函数解析式，再将点代入计算．
【详解】（1）由表格可知，当L为10，F增加了30；
当L为15，F增加了20；
当L为20，F增加了15；
当L为30，F增加了10；
∴L与F的积为300；
∴，
故答案为；
（2）
（3）由图可知函数为反比例函数，
设函数关系式为，
将代入得，
∴F与L的函数关系式为．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据表格得出函数为反比例函数是解题的关键．
【考向三 在二次函数解决实际问题求最值问题】
例题：（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）某文具店以8元/支的进价购进一批签字笔进行销售，经市场调查后发现，日销量（支）与零售价（元）之间的关系图象如下图所示，其中．
(1)求出日销量（支）与零售价（元）之间的关系；
(2)当零售价定为多少时，该文具店每天销售这种签字笔获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当零售价定为14元时，每天销售利润最大，最大利润是180元
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设每天利润为w元，根据利润（零售价进价）数量列出w关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为，
把和代入得，
∴，
∴；
（2）解：设每天利润为w元，
由题意得
，
∵，
∴当时，w的最大值为，
∴当零售价定为14元时，每天销售利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的实际应用，正确计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山西太原·九年级校考期末）某文具商店销售进价为元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒元的价格销售，平均每天销售盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售价为x（）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为 W 元．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式：_______．
(2)求W与x之间的函数关系式
(3)为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)当每盒的销售价为元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是元
【分析】（1）直接利用题意用含x的式子表示y即可；
（2）将每盒利润乘以销量即可表示W，
（3）利用二次函数的图象与性质即可求解．
【详解】（1）解：价格每提高1元，平均每天少销售2盒，
∴价格提高元，每天少销售盒，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵，
故W与x之间的函数关系式为．
（3）∵，
∵物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，且当时，w随x的增大而增大，
∴当时，，
∴当每盒的销售价为元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是理解题意，正确列出表达式，能利用二次函数图形与性质求出限定范围内的最值．
2．（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）某超市经销种商品，每千克成本为40元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
(1)求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
(2)为保证某天获得1600元的销售利润，则该天的销售单价x应定为多少？
(3)当销售单价x定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)60元/千克或80元/千克
(3)定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，将表中数据，，代入求解的值，进而可得y与x之间的函数表达式；
（2）由题意得，计算求解即可；
（3）设当天的销售利润为w元，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：（1）设y与x之间的函数表达式为，
将表中数据，，代入得，
解得，
∴y与x之间的函数表达式为．
（2）解：由题意得，
整理得，，
解得，，，
答：为保证某天获得1600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
（3）解：设当天的销售利润为w元，则
，
∵，
∴当时，，
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的实际应用等知识．解题的关键在于根据题意列等式．
3．（2023秋·湖南长沙·九年级校考期末）大学生小李和同学一起自主创业开办了一家公司，公司对经营的盈亏情况在每月的最后一天结算一次，在1～12月份中，该公司前个月累计获得的总利闻（万元）与销售时间（月）之间满足二次函数关系．
(1)求与函数关系式；
(2)求9月份一个月内所获得的利润；
(3)在前12个月中，哪个月该公司所获得利润最大?最大利润为多少?
【答案】(1)
(2)11万元
(3)该公司12月所获得利润最大，最大利润为17万元
【分析】（1），当时，，所以，解之即可；
（2）根据，对称轴为直线，可知当时y随x的增大而增大．则从4月份起扭亏为盈，时，，所以前9个月公司累计获得的利润为27万元，又由题意可知，当时，，而（万）；
（3）设单月利润为万元，，根据，可知随增大而增大，则当时，利润最大，最大利润为万元；
【详解】（1）解：根据题意可设：，
当时，，
所以，
解得：，
所求函数关系式为：；
（2）解：∵，对称轴为直线，
∴当时y随x的增大而增大．
∴从4月份起扭亏为盈，
当时，，所以前9个月公司累计获得的利润为27万元，
又由题意可知，当时，，而（万），
所以9月份一个月内所获得的利润11万元．
（3）设单月利润为万元，
，
∵，
∴随增大而增大，
∴当时，利润最大，最大利润为万元．
【点睛】本题考查应用二次函数解决实际问题，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
4．（2023春·福建泉州·九年级校考阶段练习）某商家计划从厂家采购，两种产品共件，产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数，下表提供了部分采购数据.
(1)求产品的采购数量与采购单价的函数关系式；
(2)该商家分别以元件和元件的销售单价出售，两种产品，且全部售完，在产品的采购数量不小于且不大于的条件下，求采购种产品多少件时总利润最大，并求最大利润.
【答案】(1)，为整数；
(2)采购种产品件时总利润最大，最大利润为元
【分析】（1）设A产品的采购数量为x(件)，采购单价为y1(元/件)，设y1与x的关系式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）令总利润为元，依题意得出，依题意，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设A产品的采购数量为x(件)，采购单价为y1(元/件)，设y1与x的关系式，
由表知，
解得：，
即，为整数．
（2）根据题意可得产品的采购单价可表示为：
，
令总利润为元，
则，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
，
∴当时，．
∴采购种产品件时总利润最大，最大利润为元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
5．（2023秋·黑龙江佳木斯·九年级校联考期末）同江新天地亮亮儿童村服装柜在销售中发现：“快乐小鱼”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．春节将至，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
(2)降价多少元时商场可获得最大利润？最大利润为多少元？
【答案】(1)20元
(2)当降价15元时，能获得最大利润，最大利润为1250元
【分析】（1）设每件童装应降价m元，根据盈利1200元，列出方程并解出即可；
（2）设每件童装降价x元，利润为y元，根据题意列出函数表达式，求最值即可．
【详解】（1）解：设每件童装应降价m元，根据题意得：
解得
因为要减少库存，所以m应取20，
答：每件童装应降价20元．
（2）解：设每件童装降价x元，利润为y元，根据题意得：
==
所以当降价15元时，能获得最大利润，最大利润为1250元．
【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，根据题意正确列出式子是解题关键．
6．（2022春·广东佛山·九年级校考阶段练习）某工厂制作A，B两种手工艺品，B每天每件获利比A多105元，A获利30元与B获利240元时的数量相等．
(1)制作一件A和一件B分别获利多少元？
(2)工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．在（1）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件B时，每件获利不变，若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．求每天制作二种手工艺品的人数及可获得的总利润W（元）的最大值．
【答案】(1)制作一件A种手工艺品获利15元，制作一件B种手工艺品获利120元
(2)当安排40人制作A种手工艺品，25人制作B种手工艺品时，获得的总利润最大，最大值为3200元
【分析】（1）设制作一件A种手工艺品获利x元，则制作一件B种手工艺品获利元，根据A获利30元与B获利240元时的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出制作一件A种手工艺品获得的利润，再将其代入中即可求出制作一件B种手工艺品获得的利润；
（2）设安排人制作B种手工艺品，则安排人制作A种手工艺品，每件B种手工艺品获利元，利用获得的总利润＝制作每件A种手工艺品获得的利润×制作数量+制作每件B种手工艺品获得的利润×制作数量，即可得出W关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设制作一件A种手工艺品获利x元，则制作一件B种手工艺品获利元，
依题意得：＝，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：制作一件A种手工艺品获利15元，制作一件B种手工艺品获利120元．
（2）设安排人制作B种手工艺品，则安排人制作A种手工艺品，每件B种手工艺品获利元，
依题意得：，
即．
∵，
∴当m＝25时，W取得最大值，最大值为3200，此时．
答：当安排40人制作A种手工艺品，25人制作B种手工艺品时，总利润取得最大值，最大值为3200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于m的函数关系式．
7．（2023秋·江苏泰州·九年级校考期末）某书店销售一本畅销的小说，每本进价为25元．根据以往经验，当销售单价是30元时，每天的销售量是300本；销售单价每上涨1元，每天的销售量减少10本，设这本小说每天的销售量为y本，销售单价为x元．
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)书店决定每销售1本该小说，就捐赠3元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则该小说每本售价为多少元？每天最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)每本该小说售价为44元，最大利润是2560元
【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为元，由已知可得：，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意得，；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为元，
由已知得：
，
，
，
时，取得最大值，最大值为2560，
答：每本该小说售价为44元，最大利润是2560元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确的理解题意，掌握二次函数的性质．
品名
进价（元/斤）
售价（元/斤）
普通包装
11
15
精品包装
15
28
L/
10
15
20
25
30
F/N
30
20
15
a
10
销售单价x（元/千克）
45
50
55
60
销售量y（千克）
110
100
90
80
采购数量(件)
产品单价(元/件)
产品单价(元/件)