中考数学复习重难点与压轴题型训练专题20新定义型二次函数问题(学生版+解析)

这是一份中考数学复习重难点与压轴题型训练专题20新定义型二次函数问题(学生版+解析)，共38页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12818" 【直击中考】 PAGEREF _Tc12818 \h 1
\l "_Tc14858" 【考向一 新定义型二次函数问题】 PAGEREF _Tc14858 \h 1
【直击中考】
【考向一 新定义型二次函数问题】
例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验：
(1)已知抛物线经过点，则b＝ ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是 ．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．
问题解决：
(3)已知抛物线．
①若抛物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，…（为正整数）．求的长（用含n的式子表示）．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）定义：同时经过x轴上两点的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线与抛物线是都经过的同弦抛物线．
(1)引进一个字母，表达出抛物线的所有同弦抛物线；
(2)判断抛物线与抛物线是否为同弦抛物线，并说明理由；
(3)已知抛物线是的同弦抛物线，且过点，求抛物线对应函数的最大值或最小值．
2．（2022·九年级单元测试）小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数，，，是常数）与，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数可知，，，根据，，求出，，，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
(1)写出函数的“旋转函数”；
(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；
(3)已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、、关于原点的对称点分别是、、，试证明经过点、、的二次函数与函数互为“旋转函数”．
3．（2021秋·湖北武汉·九年级统考期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．
例如：的“同轴对称抛物线”为．
(1)请写出抛物线的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”的顶点坐标 ；写出抛物线的“同轴对称抛物线”为 ．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、，设四边形的面积为．
①当四边形为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围．
4．（2023·全国·九年级专题练习）【阅读理解】
定义：在平面直角坐标系中，对于一个动点，若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．
例如，将点（m为任意实数）“去隐”的方法如下：
设，，
由①得
将③代入②得，整理得，
则直线是点M的运动路径．
【迁移应用】在平面直角坐标系中，已知动点（a为任意实数）的运动路径是抛物线．
(1)请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；
(2)记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线始终过点A，点C的对应点为．
ⅰ）试确定点运动路径所对应的函数表达式；
ⅱ）在直线的左侧，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）定义若抛物线（）与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”．
(1)已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是________；（填序号）
①；②；③；
(2)如图，已知直线l：，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为、，在直线l上方抛物线部分是否存在点使△面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知x轴的“双幸运曲线”（）经过点（1，3），（0，），在x轴的“幸运点”分别为、，试求的取值范围．
6．（2022·湖南湘西·统考中考真题）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点，他们把这个点定义为点的“简朴”点．他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”．例如，二次函数的“简朴曲线”就是，请按照定义完成：
(1)点的“简朴”点是________；
(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“简朴曲线”；
(3)已知抛物线图象上的点的“简朴点”是，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为，当时，求的取值范围．
8．（2022春·九年级课时练习）定义：若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”．
分类一：若二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．
(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
(2)试求出的“反顶伴侣二次函数”．
(3)若二次函数与互为“反顶伴侣二次函数”，试探究与的关系，并说明理由．
(4)分类二：若二次函数可以绕点M旋转180°得到二次函数；，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．
①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？
③如图，，互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数，的顶点有什么关系．并说明理由．
9．（2022·全国·九年级专题练习）定义：将二次函数l的图象沿x轴向右平移t，再沿x轴翻折，得到新函数l′的图象，则称函数l′是函数l的“t值衍生抛物线”．已知l：y＝x2﹣2x﹣3．
(1)当t＝﹣2时，
①求衍生抛物线l′的函数解析式；
②如图1，函数l与l'的图象交于M（，n），N（m，﹣2）两点，连接MN．点P为抛物线l′上一点，且位于线段MN上方，过点P作PQ∥y轴，交MN于点Q，交抛物线l于点G，求S△QNG与S△PNG存在的数量关系．
(2)当t＝2时，如图2，函数l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．函数l′与x轴交于D，E两点，与y轴交于点F．点K在抛物线l′上，且∠EFK＝∠OCA．请直接写出点K的横坐标．
10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．
例如：的“镜像抛物线”为．
(1)请写出抛物线的顶点坐标______，及其“镜像抛物线的顶点坐标______．写出抛物线的“镜像抛物线”为______．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“镜像抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，，连接，，，．
①当四边形为正方形时，求的值．
②求正方形所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点）
专题20 新定义型二次函数问题
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\l "_Tc14858" 【考向一 新定义型二次函数问题】 PAGEREF _Tc14858 \h 1
【直击中考】
【考向一 新定义型二次函数问题】
例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验：
(1)已知抛物线经过点，则b＝ ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是 ．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．
问题解决：
(3)已知抛物线．
①若抛物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，…（为正整数）．求的长（用含n的式子表示）．
【答案】(1)；；；
(2)
(3)①；衍生中心的坐标为；②
【分析】（1）把代入 即可求出，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于的对称点，从而可写出原抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式；
（2）先求出抛物线 的顶点是，从而求出 关于的对称点是，得 ，根据两抛物线有交点，可以确定方程 有解，继而求得的取值范围即可；
（3）①先求出抛物线以及抛物线的衍生抛物线为，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；
②根据中心对称，由题意得出 ， … 分别是 ， … 的中位线，继而可得 ， ，… ，再根据点的坐标即可求得的长，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
∴顶点坐标是，
∵关于的对称点，
∴成中心对称的抛物线表达式是：，
即 ，
故答案为：，，；
（2）∵ ，
∴ 顶点是
∵关于的对称点是，
∴ ，
∵ 两抛物线有交点，
∴ 有解，
∴ 有解，
∴ ，
∴ ；
（3）①∵，
∴顶点，
代入 得：①
∵，
∴顶点，
代入 得：②
由① ②得 ，
∵ ，，
∴ ，
∴ 两顶点坐标分别是，，
由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是；
②如图，设，…，与轴分别相于，… ，，
则，，…，分别关于，…， 中心对称，
∴ ， … 分别是 ， … 的中位线，
∴ ， ，… ，
∵ ， ，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，理解题意，画出符合题意的图形借助数形结合思想解决问题是关键．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）定义：同时经过x轴上两点的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线与抛物线是都经过的同弦抛物线．
(1)引进一个字母，表达出抛物线的所有同弦抛物线；
(2)判断抛物线与抛物线是否为同弦抛物线，并说明理由；
(3)已知抛物线是的同弦抛物线，且过点，求抛物线对应函数的最大值或最小值．
【答案】(1)
(2)不是，理由见解析
(3)
【分析】（1）由题意可直接得出抛物线的所有同弦抛物线为；
（2）将抛物线的表达式化为交点式，即得出其与x轴的交点坐标，再根据“同弦抛物线”的定义，即可得出结论；
（3）由题意可设抛物线的函数表达式为，再将点的坐标代入，求出a的值，得出抛物线的函数表达式，化为顶点式，即可得出答案．
【详解】（1）引进一个字母a，则抛物线的所有同弦抛物线可表示为；
（2）不是．理由如下：
∵，
∴抛物线与x轴交于点为，
∴抛物线与抛物线不是同弦抛物线；
（3）∵抛物线与抛物线是同弦抛物线，
∴抛物线的函数表达式为．
把点的坐标代入，得：
解得：．
∴抛物线的函数表达式为．
∵，
∴抛物线有最小值，最小值为．
【点睛】本题考查新定义，二次函数与x轴的交点，二次函数的图象和性质．解题的关键是理解题意，掌握“同弦抛物线”的定义是解题关键．
2．（2022·九年级单元测试）小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数，，，是常数）与，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数可知，，，根据，，求出，，，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
(1)写出函数的“旋转函数”；
(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；
(3)已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、、关于原点的对称点分别是、、，试证明经过点、、的二次函数与函数互为“旋转函数”．
【答案】(1)
(2)1
(3)见解析
【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出，，，从而得到原函数的“旋转函数”；
（2）根据“旋转函数”的定义得到，，再解方程组求出和的值，然后根据乘方的意义计算；
（3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定，，，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到，，，则可利用交点式求出经过点，，的二次函数解析式为，再把化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断．
【详解】（1）解：，，，
，，，
，，，
函数的“旋转函数”为；
（2）解：根据题意得，，解得，，
；
（3）证明：当时，，则，
当时，，解得，，则，，
点、、关于原点的对称点分别是，，，
，，，
设经过点，，的二次函数解析式为，把代入得，解得，
经过点，，的二次函数解析式为，
而，
，，，
经过点、、的二次函数与函数互为“旋转函数”．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．
3．（2021秋·湖北武汉·九年级统考期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．
例如：的“同轴对称抛物线”为．
(1)请写出抛物线的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”的顶点坐标 ；写出抛物线的“同轴对称抛物线”为 ．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、，设四边形的面积为．
①当四边形为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)①a；②或
【分析】（1）根据顶点式的顶点坐标为；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；
（2）①写出点B的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求 a；②先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论．
【详解】（1）解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为，
∴抛物线的“同轴对称抛物线”为；
故答案为：，，．
（2）①当时，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线L的对称轴为直线，
∴点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
解得：（舍）或．
②抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，
∴整点数也是关于x轴对称出现的，
∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，
（i）当时，
∵L开口向上，与y轴交于点，
∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，
∴当时，，当时，，
解得：；
（ii）当时，
∵L开口向下，与y轴交于点，
∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，
∴当时，，当时，，
解得：，
综上所述：或．
【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．
4．（2023·全国·九年级专题练习）【阅读理解】
定义：在平面直角坐标系中，对于一个动点，若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．
例如，将点（m为任意实数）“去隐”的方法如下：
设，，
由①得
将③代入②得，整理得，
则直线是点M的运动路径．
【迁移应用】在平面直角坐标系中，已知动点（a为任意实数）的运动路径是抛物线．
(1)请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；
(2)记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线始终过点A，点C的对应点为．
ⅰ）试确定点运动路径所对应的函数表达式；
ⅱ）在直线的左侧，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)ⅰ）；ⅱ）或．
【分析】（1）设，，可得；
（2）ⅰ）设抛物线的解析式为，由，可得；
ⅱ）在上，则C点关于直线的对称点为，此时，为等腰三角形；设，当时，；当时，只能在右侧不符合题意．
【详解】（1）解：设，，
由①得③，
将③代入②得；
（2）解：，
，
令，则，
解得或，
点A在B的左侧，
，，
ⅰ）设抛物线的解析式为，
，
平移后的抛物线过点，
，
令，，
；
ⅱ）存在点，使为等腰三角形，理由如下：
在上，
点关于直线的对称点为，
此时，为等腰三角形；
设，
当时，，
整理得：，
解得或（舍），
；
当时，只能在右侧，此时不符合题意；
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，理解定义，将所求问题转化为二次函数问题是解题的关键．
5．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）定义若抛物线（）与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”．
(1)已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是________；（填序号）
①；②；③；
(2)如图，已知直线l：，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为、，在直线l上方抛物线部分是否存在点使△面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知x轴的“双幸运曲线”（）经过点（1，3），（0，），在x轴的“幸运点”分别为、，试求的取值范围．
【答案】(1)②
(2)存在，最大面积为此时
(3)
【分析】（1）分别联立一次函数与抛物线的解析式，再判断方程组的解的个数得到函数图象的交点个数，结合新定义可得答案；
（2）如图，过作轴交于点先求解A，B的坐标，再设则可得再利用面积公式列二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案；
（3）先求解则抛物线为：再结合抛物线与x轴有两个交点，可得再利用，结合二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：联立
∴即
∴方程无解，
∴两个函数图象没有交点，
∴根据定义：抛物线不为该直线的“双幸运曲线”；
同理：由可得：方程有两个不相等的实根，
∴两个函数有两个交点，
∴抛物线为该直线的“双幸运曲线”；
由可得：
解得：方程有两个相等的实根，
∴两个函数有1个交点，
∴抛物线不为该直线的“双幸运曲线”；
故选②
（2）存在，理由如下：
如图，过作轴交于点
联立
∴
解得：
∴
∴
设则
∴
∴
当时，面积最大，最大面积为
此时
∴
（3）∵（）经过点（1，3），（0，），
∴
解得：
∴抛物线为：
令则结合题意可得方程有两个不相等的实根
∴
∴
∵
∴，解得，
∴，
∴
∴当时，最小，为，
当时，最大，为
∴
【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的交点问题，新定义的理解，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，熟练构建函数，再利用函数的性质解决问题是关键．
6．（2022·湖南湘西·统考中考真题）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3）
(2)
(3)存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）
【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式．
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可．
（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分来两种情况讨论：①当EG＝EF时，，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，F点不存在．
【详解】（1）解：将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，
∴，
解得，
∴y＝x2+x﹣1，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴G（0，﹣3）．
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0），
∴NM＝﹣t2﹣2t+3，，
∴＝．
（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：
由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，
∴E（﹣2，﹣1），
设F（x，0），
①当EG＝EF时，
∵G（0，﹣3），
∴EG＝2，
∴2＝，
解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，
∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；
②当EG＝FG时，2＝，
此时x无解；
综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
7．（2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点，他们把这个点定义为点的“简朴”点．他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”．例如，二次函数的“简朴曲线”就是，请按照定义完成：
(1)点的“简朴”点是________；
(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“简朴曲线”；
(3)已知抛物线图象上的点的“简朴点”是，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为，当时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可；
（2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“简朴曲线”即可；
（3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“简朴曲线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当0≤c≤3时，n的取值范围即可．
（1）
解：根据题意可知，点A(x，y)的“简朴”点是，
∴点P（1，2）的“简朴”点的纵坐标为1+2=3，即．
故答案为：．
（2）
将点M（1，-3）代入抛物线得：，解得：，
即抛物线的解析式为，
∴抛物线的“简朴曲线”为，
即．
（3）
根据题意可知，点是点B（x，y）的“简朴”点，
∴，解得：，即，
将点代入抛物线得：，则，
∴抛物线为，
∴抛物线的“简朴曲线”为：
，
即
∵其顶点坐标为（m，n），
∴，
将n看作c的函数，
∵，
时，n有最大值，且最大值为1，
当0≤c≤3时，，n有最小值，且最小值为，
∴当0≤c≤3时，n的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
8．（2022春·九年级课时练习）定义：若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”．
分类一：若二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．
(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
(2)试求出的“反顶伴侣二次函数”．
(3)若二次函数与互为“反顶伴侣二次函数”，试探究与的关系，并说明理由．
(4)分类二：若二次函数可以绕点M旋转180°得到二次函数；，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．
①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？
③如图，，互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数，的顶点有什么关系．并说明理由．
【答案】(1)假
(2)
(3)见解析
(4)①真；②见解析；③见解析
【分析】（1）根据题意举反例验证求解即可；
（2），则“反顶伴侣二次函数”为，再将（2，1）代入求出a值，即可得出解析式；
（3）根据题意，分别表示出过顶点坐标的函数解析式，进行相加化简即可得出结果；
（4）①由旋转的性质，找到对称中心M，可知对于任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”；
②利用A，B坐标求出中点M的坐标，进而得出结论；
③根据矩形的性质和平行的性质，得出AB∥y轴，进而得出A，B点的坐标均为（h，h），最后得出结论．
【详解】（1）解：令的顶点坐标A为（1，4），开口向上，则的顶点坐标B为（4，1），
此时C1不经过B（4，1），
∴所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是假命题．
故答案为：假．
（2）解：，则“反顶伴侣二次函数”为，
由题意，得将（2，1）代入，得
，
解得a=-1，
∴的“反顶伴侣二次函数”为．
（3）解：∵二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，
∴①，
②，
①+②，得，
当h=k时，与任意非零实数；
当h≠k时，=0．
（4）解：①如图
∵A，B的中点为M，
∴对称中心为M，
∴任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”．
故答案为：真；
②∵M为A，B的中点，
∴M的坐标为，
即M在直线y=x上．
③解：∵轴，四边形EFQG为矩形，
∴AB∥y轴，
∴h=k，
即A，B的坐标均为（h，h），
∴A，B两点重合在直线y=x上．
【点睛】本题考查二次函数的性质，以及矩形的性质，读懂题意，理解新定义是解决问题的关键．
9．（2022·全国·九年级专题练习）定义：将二次函数l的图象沿x轴向右平移t，再沿x轴翻折，得到新函数l′的图象，则称函数l′是函数l的“t值衍生抛物线”．已知l：y＝x2﹣2x﹣3．
(1)当t＝﹣2时，
①求衍生抛物线l′的函数解析式；
②如图1，函数l与l'的图象交于M（，n），N（m，﹣2）两点，连接MN．点P为抛物线l′上一点，且位于线段MN上方，过点P作PQ∥y轴，交MN于点Q，交抛物线l于点G，求S△QNG与S△PNG存在的数量关系．
(2)当t＝2时，如图2，函数l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．函数l′与x轴交于D，E两点，与y轴交于点F．点K在抛物线l′上，且∠EFK＝∠OCA．请直接写出点K的横坐标．
【答案】(1)①；②；
(2)点K的横坐标为4或
【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；
②利用待定系数法求得直线MN的解析式，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则得到Q（m，﹣2m），G（m，m2﹣2m﹣3），利用m的代数式分别表示出PQ，QG的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；
（2）利用函数解析式求得点A，B，C，D，E，F的坐标，进而得出线段OA，OC，OD，OE，AC，OF的长，设直线FK的解析式为y＝kx﹣5，设直线FK交x轴于点M，过点M作MN⊥EF于点N，用k的代数式表示出线段OM．FM，ME的长，利用∠EFK＝∠OCA，得到sin∠EFK＝sin∠OCA，列出关于k的方程，解方程求得k值，将直线FK的解析式与衍生抛物线l′的函数解析式联立即可得出结论．
(1)
解：①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴当t＝﹣2时，将二次函数l的图象沿x轴向右平移t个单位得：y＝（x+1）2﹣4．
∴此时函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
再沿x轴翻折，得到新函数的顶点坐标为（﹣1，4）．
∵沿x轴翻折，得到新函数的形状大小不变，开口方向相反，
∴沿x轴翻折，得到新函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+4．
∴衍生抛物线l′的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
②∵M（，n），N（m，﹣2）两点在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴n＝2，m．
∴M（，2），N（，﹣2）．
∴直线MN的解析式为y＝﹣2x．
如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），
∵PQ∥y轴，
∴Q（m，﹣2m），G（m，m2﹣2m﹣3）．
∴PQ＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（﹣2m）＝﹣m2+3，
QG＝（﹣2m）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3，
∴PQ＝QG．
∴QGPG．
∵△PNG与△QNG高相等，
∴．
∴S△QNG与S△PNG存在的数量关系：；
(2)
解：点K的横坐标为4或．理由：
当t＝2时，函数l的衍生抛物线l′的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5．
令x＝0，则y＝﹣5，
∴F（0，﹣5）．
∴OF＝5．
令y＝0，则﹣x2+6x﹣5＝0，
解得：x＝1或5．
∴D（1，0），E（5，0）．
∴OE＝5．
∴OF＝OE．
∴∠OFE＝∠OEF＝45°．
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∴OC＝3．
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或3．
∴A（﹣1，0）．
∴OA＝1．
∴AC．
设直线FK交x轴于点M，过点M作MN⊥EF于点N，如图，
设直线FK的解析式为y＝kx﹣5，
令y＝0，则x，
∴M（，0）．
∴OM，
∴FM．
ME＝OE﹣OM＝5．
∵MN⊥EF，∠OEF＝45°，
∴MN＝NE（5）．
∵∠EFK＝∠OCA，
∴sin∠EFK＝sin∠OCA．
∵sin∠MFE，
∴．
解得：k＝2或．
∴直线FK的解析式为y＝2x﹣5或yx﹣5．
∴或．
∴或．
∴点K的横坐标为4或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法求得一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，配方法求抛物线的顶点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．
例如：的“镜像抛物线”为．
(1)请写出抛物线的顶点坐标______，及其“镜像抛物线的顶点坐标______．写出抛物线的“镜像抛物线”为______．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“镜像抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，，连接，，，．
①当四边形为正方形时，求的值．
②求正方形所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点）
【答案】(1)(2，-4)；(2，4)；
(2)①；②9个
【分析】（1）根据抛物线解析式即可直接得出其顶点坐标，再根据“镜像抛物线”的定义即可得出抛物线的“镜像抛物线”解析式；
（2）①根据题意可用a表示出B点坐标和C点坐标，再根据抛物线的对称性结合其对称轴即可用a表示出B'点坐标，由此可用a表示出BC的长，再求出BB'的长，最后根据正方形的性质可知BC=BB'，由此即得出关于a的方程，解出a再舍去不合题意的值即可；
②根据①可知抛物线L解析式为，即得出(1，-1)，(3，-1)，(1，1)，(3，1)．再根据整点的概念即可得解．
【详解】（1）解：由知顶点坐标为(2，-4)，
由知顶点坐标为(2，-4)，
抛物线的“镜像抛物线”为．
故答案为：(2，-4)，(2，-4)，；
（2）解：①当x＝1时，y＝1-3a，
∴B (1，1-3a)，
∴C(1，3a-1)，
∴BC=|1-3a-(3a-1) |=|2-6a|，
∵抛物线L的对称轴为直线，
∴点B'(3，1-3a)，
∴BB'=3-1=2．
∵四边形BB'C'C是正方形，
∴BC=BB'，即|2-6a|＝2，
解得：a＝0（舍）或；
②根据①可知抛物线L解析式为，
当时，，
当时，，
∴(1，-1)，(3，-1)．
根据L与“镜像抛物线”关于x轴对称，
∴其点也关于x轴对称，
∴(1，1)，(3，1)．
∴如图，整点个数有(1，1)，(2，1)，(3，1)，(1，0)，(2，0)，(3，0)，(1，-1)，(2，-1)，(3，-1)共9点．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正方形的性质，两点的距离公式．解题的关键是读懂题意理解“镜像抛物线”和“整点”的概念．