2025高考数学专项讲义第01讲任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第01讲任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式(学生版+解析)，共57页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测等内容，欢迎下载使用。
（6类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-11分
【备考策略】1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化
2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能利用三角函数的定义解决相关问题
3..理解并掌握同角三角函数的基本关系式（平方关系+商数关系），够利用公式化简求值
4.能借助单位圆的对称性利用三角函数定义推导出诱导公式，能够运用诱导公式解决相关问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查三角函数化简求值或特殊角求三角函数值，需加强复习备考
知识讲解
角的定义
平面内一条射线绕着端点从一位置旋转到另一个位置所形成的的图形叫做角；射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边
角的分类
按照角终边的位置可分为（象限角和轴线角）
按照选择方向可分为（正角（逆时针选择）、负角（顺时针选择）和零角（不旋转））
象限角
第Ⅰ象限角：，或，
第Ⅱ象限角：，
第Ⅲ象限角：，
第Ⅳ象限角：，
或，
轴线角
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴上：，，终边落在轴上：，
终边落在坐标轴上：，，终边落在上：，
终边落在上：，或：，
β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
终边相同的角
与终边相同的角的集合为：，
角度与弧度的关系
，
扇形的弧长、周长及面积公式
三角函数的定义
，正弦线：
，余弦线：
，正切线：
三角函数在各象限内的符号
三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
特殊角的三角函数值
两角互余的三角函数关系
互余，，
已知，则：
两角互补的三角函数关系
互补，，，
已知，则：，
常见三角不等式
若，则；
若，则.
.
同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
推导公式：
诱导公式
诱导类型
或，，
或，，
或，，
诱导方法：奇变偶不变，符号看象限
奇偶指的是或中的奇偶，
若为奇数，变函数名；，
若为偶数，不变函数名；，，
象限指的是原函数名的象限，再判断符号
规定：无论角多大，看作第一象限角（锐角）
诱导公式
， ，
， ，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
， ，
，，
考点一、扇形的弧长及面积计算
1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面面积是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
2．（2024·广西来宾·模拟预测）机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山东青岛·一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南长沙·一模）“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图所示是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，，则的弧长的近似值的计算公式：.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的圆心角为，则伞的弧长大约为（ ）
A．5.3米B．6.3米C．8.3米D．11.3米
3．（2024·山东潍坊·三模）如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（ ）

A．2B．1C．D．
考点二、定义法求三角函数值
1．（全国·高考真题）已知角的终边经过点，则=
A．B．C．D．
2．（全国·高考真题）已知α是第四象限角，cs α＝，则sin α等于（ ）
A．B．－
C．D．－
3．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ．
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知点是角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高一上·安徽宿州·期末）已知，且为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·浙江金华·三模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合.若为角终边上的一点，则 ．
考点三、三角函数值的大小比较
1．（北京·高考真题）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A．B．
C．D．
2．（2023·贵州遵义·三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
1．（新疆喀什·期末）如果，那么下列不等式成立的是
A．B．
C．D．
2．（22-23高一下·北京延庆·期中）设，，，则
A．B．C．D．
3．（21-22高一下·河南南阳·阶段练习）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
考点四、同角三角函数的基本关系之平方关系
1．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2023·全国·高考真题）若，则 ．
4．（2020·全国·高考真题）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·新疆·三模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
考点五、同角三角函数的基本关系之商数关系（含弦切互化）
1．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江苏·模拟预测）若，则（ ）
A．B．7C．D．
3．（2024·四川·模拟预测）已知为第一象限角，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
考点六、诱导公式的综合应用
1．（2024·四川自贡·三模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高二下·浙江·期中）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高一上·北京·期末）已知，且，化简并求的值.
4．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
(1)化简；
(2)若，求､的值；
(3)若，求的值.
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·辽宁·三模）已知，则（ ）
A．B．1C．D．3
3．（22-23高一下·甘肃天水·期末）化简
4．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知．
(1)求的值；
(2)已知，求.
1．（2024·上海奉贤·三模）在中，“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分永件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
2．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）集合中的最大负角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积（弦矢+矢）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，且，半径等于的弧田，按照上述给出的面积公式计算弧田面积是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（ ）（参考数值：）
A．20.10mB．19.94mC．19.63mD．19.47m
6．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．2
7．（2024·广东茂名·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·河南·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知角的终边经过点，则的值为 .
10．（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知，，
(1)化简；
(2)若为第三象限角，且，求的值.
1．（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024·山东济南·三模）若，则（ ）
A．1B．C．2D．
4．（2024·江西宜春·模拟预测）已知，，则（）
A．B．C．D．
5．（2024·河北·三模）已知点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ）

A．B．C．D．
7．（2024·江西·二模）已知，求（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·湖南邵阳·三模）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若角的终边过点，则角的集合是
B．若，则
C．若，则
D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是
9．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，则 ．
10．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为 百米.
1．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
3．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ．
4．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
5．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ．
6．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
7．（2020·全国·高考真题）若α为第四象限角，则（ ）
A．cs2α>0B．cs2α0D．sin2α0B．cs2α0D．sin2α