2025高考数学专项讲义第02讲幂函数与二次函数(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第02讲幂函数与二次函数(学生版+解析)，共47页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下
【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握的图象和性质
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
3.理解并掌握幂函数的单调性和奇偶性
4.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
幂函数
幂函数的定义及一般形式
形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数
幂函数的图象和性质
①幂函数的单调性
②幂函数的奇偶性
一元二次方程：
①方程有两个实数根
②方程有同号两根
③方程有异号两根
④韦达定理及应用：
,
二次函数
①一般式：()，对称轴是
顶点是；
②顶点式：()，对称轴是顶点是；
③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点
二次函数的性质
①函数的图象关于直线对称。
②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值
③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值
解一元二次不等式
“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
解分式不等式
① ②
③ ④
解单绝对值不等式
或，
考点一、幂函数的图象
1．（23-24高三·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三·山西运城·学业考试）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（ ）

A．B．
C．D．
3．（23-24高三·阶段练习）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（ ）
A．B．
C．D．
1．（23-24高三·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三·阶段练习）（多选）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
3．（22-23高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
考点二、幂函数的单调性与奇偶性
1．（上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·专题练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（ ）
A．m，n是奇数且B．m是偶数，n是奇数，且
C．m是偶数，n是奇数，且D．m，n是偶数，且
3．（23-24高二下·浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
1．（1993·全国·高考真题）函数y=在[－1, 1]上是
A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数
2．（2024·全国·模拟预测）（多选）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（ ）
A．2B．1C．D．
考点三、利用幂函数单调性进行大小比较
1．（安徽·高考真题）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
2．（2023·广东广州·二模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·福建三明·三模）若 ，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
考点四、幂函数的综合应用
1．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ．
2．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
1．（2024·云南曲靖·一模）如图，在第一象限内，矩形的三个顶点，分别在函数的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是 ．

2．（2024·全国·模拟预测）写出满足下列条件①②③的一个函数： ．
①的定义域为；②，；③，都有．
考点五、解一元二次不等式、分式不等式与高次不等式
1．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ．
2．（全国·高考真题）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·福建福州·一模）已知集合，，则（ ）
A．或B．
C． D．或
2．（2024·全国·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．D．
考点六、二次函数的综合应用
1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
3．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．3
4．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ．
5．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ．
一、单选题
1．（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山东日照·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·广西·二模）下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数的单调递增区间是，则实数a的值是（ ）
A．B．3C．D．1
8．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·新疆喀什·二模）已知函数，满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 .
一、单选题
1．（2023·四川成都·模拟预测）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是减函数
C．是奇函数D．是偶函数
2．（2024·广东·一模）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ）
A．16B．24C．32D．48
3．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知实数满足，则（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
二、填空题
4．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 .
6．（22-23高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 .
7．（2022高三·全国·专题练习）不等式的解集为： ．
8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意的，使得，求实数的取值范围是 ．
10．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 .
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（全国·高考真题）函数的图象是
A． B．
C． D．
5．（山东·高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是1B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是D．函数图象过点
6．（全国·高考真题）函数是单调函数的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
7．（全国·高考真题）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
8．（上海·高考真题）若，则满足的取值范围是
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第1题,5分
解三次不等式
交集的概念及计算
2023年新I卷，第1题,5分
二次函数图象解不等式
集合间的基本运算
2023年新I卷，第4题,5分
二次函数单调区间求参数值或范围
函数的单调性求参数值
判断指数型复合函数的单调性
判别式
一元二次方程
的根
有两个不等实根
，（设）
有两个相等实根
无实数根
二次函数
的图象
的解集
的解集
∅
∅
第02讲 幂函数与二次函数
（6类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下
【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握的图象和性质
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
3.理解并掌握幂函数的单调性和奇偶性
4.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
幂函数
幂函数的定义及一般形式
形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数
幂函数的图象和性质
①幂函数的单调性
②幂函数的奇偶性
一元二次方程：
①方程有两个实数根
②方程有同号两根
③方程有异号两根
④韦达定理及应用：
,
二次函数
①一般式：()，对称轴是
顶点是；
②顶点式：()，对称轴是顶点是；
③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点
二次函数的性质
①函数的图象关于直线对称。
②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值
③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值
解一元二次不等式
“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
解分式不等式
① ②
③ ④
解单绝对值不等式
或，
考点一、幂函数的图象
1．（23-24高三·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据幂函数经过的点得表达式，进而根据幂函数的性质即可结合选项求解.
【详解】
设幂函数的解析式为
由幂函数的图象过点，解得
，其定义域为，且是增函数，
当时，其图象在直线的上方，故 C满足题意.
故选：C
2．（2023高三·山西运城·学业考试）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】作直线分别与曲线相交，结合函数的单调性即可判断.
【详解】因为函数为增函数，所以，
所以作直线分别与曲线相交，交点由上到下分别对应的n值为，
由图可知，曲线相应n值为.
故选：A

3．（23-24高三·阶段练习）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用二次函数的图象得出的正负，结合幂函数特点可得答案.
【详解】对于A，二次函数开口向下，所以，此时与图中符合；
对于B，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，不符合；
对于C，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合；
对于D，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合；
故选：B.
1．（23-24高三·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设幂函数为，然后将坐标代入可求出函数解析式，从而可得函数图象.
【详解】设幂函数为，则，，得，得，
所以，定义域为，所以排除AD，
因为，所以函数为偶函数，所以排除B，
故选：C
2．（23-24高三·阶段练习）（多选）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
【答案】AB
【分析】根据幂函数的图象和性质结合已知图象分析判断即可.
【详解】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则，所以，D选项错误；
当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则，
所以，C选项错误；
因为当时，指数越大，图象越高，所以，
综上，，AB选项正确.
故选：AB
3．（22-23高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.
【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C
考点二、幂函数的单调性与奇偶性
1．（上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A．
考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．
2．（2023·全国·专题练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（ ）
A．m，n是奇数且B．m是偶数，n是奇数，且
C．m是偶数，n是奇数，且D．m，n是偶数，且
【答案】B
【分析】
根据图象得到函数的奇偶性及上单调递增，结合m、且互质，从而得到答案.
【详解】由图象可看出为偶函数，且在上单调递增，
故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数.
故选：B
3．（23-24高二下·浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】首先根据幂函数的单调性，确定得到取值，再回代函数确定函数的奇偶性，即可求解.
【详解】因为幂函数，在区间上是减函数，
所以，解得：，
因为，得，
当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去，
当时，函数是偶函数，关于轴对称，故舍去，
当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去，
所以.
故选：A
1．（1993·全国·高考真题）函数y=在[－1, 1]上是
A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数
【答案】A
【详解】
考查幂函数.
∵>0，根据幂函数的图象与性质
可得在[−1,1]上的单调增函数，是奇函数．
故选A.
点睛：对于形如的幂函数，研究函数性质时，可以将函数化简为，可知定义域及函数奇偶性，幂函数的单调性可以只研究第一象限，再结合奇偶性即可得结论.
2．（2024·全国·模拟预测）（多选）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解.
【详解】对于A，是奇函数，在其定义域上单调递减，故A正确；
对于B，是在其定义域上单调递增的指数函数，故B错误；
对于C，，故在其定义域上不单调递减，故C错误；
对于D，是奇函数，在其定义域上单调递减，故D错误.
故选：AD.
3．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果.
【详解】因为幂函数在上是增函数，
所以，解得.
故选：A.
考点三、利用幂函数单调性进行大小比较
1．（安徽·高考真题）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
【答案】A
【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A
考点：函数的单调性.
2．（2023·广东广州·二模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案．
【详解】由，，，
则，，
又，，
则，即，
所以．
故选：D．
1．（2024·福建三明·三模）若 ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的单调性可判断的大小，利用对数函数的单调性判断a的范围，即可得答案.
【详解】由题意得，
由于在上单调递增，故；
而在上单调递减，故，
故，
故选：A
2．设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】易得，再由，利用幂函数的单调性判断.
【详解】因为，
且， 在上递增，
所以，即，
综上：
故选：A
考点四、幂函数的综合应用
1．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据幂函数的性质可写出一个符合①②的幂函数，利用作差法说明其也满足③，即可得答案.
【详解】由题意可知的定义域为，且在上为增函数；
下面证明该函数满足③：
取任意的，，
，
则，
当且仅当时取等号，
即，即满足③，
故答案为：
2．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】令，，易得为奇函数且为增函数，再由和，变形得到，求解．
【详解】解：令，，则，
∴为奇函数．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
又∵在R上单调递增，
∴，即．
故选：B．
1．（2024·云南曲靖·一模）如图，在第一象限内，矩形的三个顶点，分别在函数的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是 ．

【答案】
【分析】根据指对幂函数的图象及解析式求出A点的横坐标、点纵坐标，即可得D点的坐标.
【详解】由题意，纵坐标都为2，则点横坐标为8，即点横坐标为8，
所以A点的横坐标为，点纵坐标为，
由为矩形及题图知：D点的坐标是.
故答案为：
2．（2024·全国·模拟预测）写出满足下列条件①②③的一个函数： ．
①的定义域为；②，；③，都有．
【答案】（答案不唯一，形如，p，q为奇数，且均可）
【分析】根据题意函数需分别满足题中①②③的条件，且答案不唯一.
【详解】由③知(不妨取时)，
所以函数在上是增函数，函数在上是减函数，
又由①②，函数为奇函数且定义域为，
所以可取幂函数．
故答案为：（答案不唯一，形如，，为奇数，且均可）.
考点五、解一元二次不等式、分式不等式与高次不等式
1．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.
【详解】方程的解为或，
故不等式的解集为，
故答案为：.
2．（全国·高考真题）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分式不等式转化成整式不等式求解即可.
【详解】由，解得或.
故选：C
3．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.
【详解】因为，且注意到，
从而.
故选：A.
1．（2024·福建福州·一模）已知集合，，则（ ）
A．或B．
C． D．或
【答案】B
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合，再按照集合的并集运算即可.
【详解】，则，且，解得，
则集合，
则
故选：B.
2．（2024·全国·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，再由定义求交集.
【详解】不等式，即，当时，不等式解集为，即，
不等式，解得或，即或，
所以.
故选：A
3．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】C
【分析】先因式分解，然后分和求解即可.
【详解】，
当时，不等式显然不成立；
当时，，所以原不等式，
解得.
综上，原不等式的解集为.
故选：C
考点六、二次函数的综合应用
1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
2．（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.
【详解】令，
则或或或
解得或，
即实数m得取值范围为.
故选：C．
3．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.
【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得，
所以的取值范围为.
故选：C
4．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.
【详解】由是上的增函数，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
5．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化复合函数为，，根据已知条件，确定的取值范围，再根据的取值范围确定的取值范围即可.
【详解】因为，令，所以；
令函数的值域为，因为，
所以，所以必须能取到上的所有值，
，解得.
故选：B
1．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.
【详解】设，，则在上单调递增.
因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减，
结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4.
故选：
2．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围.
【详解】由函数的对称轴是，
因为函数在区间上是增函数，所以，解得，
又因为，因此，所以的取值范围是.
故选：A．
3．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】BD
【分析】分别讨论和两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案.
【详解】①当，即时，，所以的对称轴为，则的图象如下：
结合图象可知，要使函数在上单调，则或，解得：或，即或；
②当，即或，令，则的对称轴为，则的图象如下：
结合图象可知，要使函数在上单调，
则，或，或，或
解得：，或，
综上：或；
故选：BD
4．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】
利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】当时，
若，可得；
若，，函数的值域不可能为；
②当时，，
所以函数在 ，上单调递增，
若函数的值域为，只需，可得．
由上知，实数a的取值范围为．
故答案为：
5．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出的图象，分和两种情况讨论函数在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案.
【详解】由函数，作出的图象如下：
由题得：，
当时，函数在上的最大值为，即，
要使，则，令，解得：，，，，
由图可得，要使函数在上的最大值为，且，
则，或，解得：.
当时，
由图，在上最大值，
在上单调递增，最大值，
不可能成立，
综上，实数的取值范围是，
故答案为：.
一、单选题
1．（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先用待定系数法设出函数解析式，再代入点的坐标计算出参数，即可得到答案.
【详解】设幂函数的解析式为，由于函数过点，故，解得，该幂函数的解析式为；
故选：B
2．（2024·山东日照·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为函数在定义域上单调递增，
所以由推得出，故充分性成立；
由推得出，故必要性成立，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
3．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分，，讨论函数的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确定答案.
【详解】对于函数
当时，，为常数函数，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据幂函数的性质判断C.
【详解】对于A：当、，满足，但是，故A错误；
对于B：当、，满足，但是，故B错误；
对于C：因为在定义域上单调递增，若，则，故C正确
对于D：当、，满足，但是，故D错误.
故选：C
5．（2024·广西·二模）下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域及单调性，综合即可得答案.
【详解】对于A，，其定义域为，不符合题意；
对于B，，在上为减函数，不符合题意；
对于C，，在上单调递减，不符合题意；
对于D，，在上单调递增，符合题意；
故选：D.
6．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】因为，
，
所以．
故选：D．
7．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数的单调递增区间是，则实数a的值是（ ）
A．B．3C．D．1
【答案】C
【分析】求出二次函数的单调递增区间，利用相等集合列式求解即得.
【详解】函数的单调递增区间是，
因此，即，解得，
所以实数a的值是.
故选：C
8．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可.
【详解】当时，，故当时，有最小值为；
时，单调递减，所以，
由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为.
故选：A
9．（2024·新疆喀什·二模）已知函数，满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先结合幂函数和对数函数的性质得到函数为单调递增函数，则得到，解出即可.
【详解】当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递增，且，
则时，单调递增，
若有，则有，解得，
故选：A.
二、填空题
10．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
因为函数在区间上是增函数，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
一、单选题
1．（2023·四川成都·模拟预测）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是减函数
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB，再由奇函数的定义判断CD.
【详解】函数为幂函数，则，解得或.
当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A；
当时，在区间上单调递减，满足题意.
函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B；
因为函数定义域关于原点对称，且，
所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.
故选：C.
2．（2024·广东·一模）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ）
A．16B．24C．32D．48
【答案】B
【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若、和在上单调递增，则有个；
综上所述：共有个.
故选：B.
【点睛】方法点睛：两个计数原理的应用技巧
（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
（2）对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
3．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知实数满足，则（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
【答案】A
【分析】根据题意可得，，且，构造函数，则为单调递增的奇函数，可得，从而求解.
【详解】，
，且，
令函数，因为其定义域为，且，且在上均单调递增，
则为单调递增的奇函数，
且，
，即，
显然.
故选：A.
二、填空题
4．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ．
【答案】（不唯一）
【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解.
【详解】因为在上单调递增，又在区间上单调递减，
所以可以为偶函数，不妨取，
此时，函数定义域为，
且，故为偶函数，
满足在区间上单调递减.
故答案为：（不唯一）
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意可得命题：，由是的充分不必要条件，可得是的真子集，即可得到答案.
【详解】因为函数在区间上单调递增，所以，解得：，又因为是的充分不必要条件，则是的真子集，即的取值范围是
故答案为：
6．（22-23高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解.
【详解】由幂函数，
可得函数的定义域为，且是递减函数，
因为，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：
7．（2022高三·全国·专题练习）不等式的解集为： ．
【答案】
【分析】不等式变形为，即，构造函数，判断出函数得单调性，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】不等式变形为，
所以，
令，则有，
因为函数在R上单调递增，
所以在R上单调递增，
则，解得，
故不等式的解集为．
故答案为：.
8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是.
【详解】由不等式以及可得，
依题意可知即可，
令，
又，由可得，
利用二次函数性质可知，即可得；
即实数的取值范围是.
故答案为：
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意的，使得，求实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用换元法结合三点控制法求解即可.
【详解】令，则，
取三点控制得，进而，
化简得，可得，
即，解得．
故答案为：
10．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 .
【答案】
【分析】根据题目得到，从而，故，换元后得到结合基本不等式求出最值.
【详解】恒成立，
，
，，
，
令，则，
所以
，
当且仅当，即，时，等号成立.
故答案为：
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
3．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故答案为：C.
4．（全国·高考真题）函数的图象是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），，再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．
【详解】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；
由特殊点（8，2），，可排除C．
故选B．
5．（山东·高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是1B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是D．函数图象过点
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可.
【详解】，最大值是1，A正确；
对称轴是直线，B正确；
单调递减区间是，故C错误；
令的，故在函数图象上，故D正确，
故选：C
6．（全国·高考真题）函数是单调函数的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】因为函数在上单调递增，且在上是单调函数，比较即可求解参数范围．
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，
又在区间上是单调函数，所以，解得，
故选：A
7．（全国·高考真题）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别讨论两个函数的单调性，是二次函数，由对称轴可得，，只要在上一定递减，两者结合可得．
【详解】对于，开口向下，对称轴为
若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：；
对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：
此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是.
故选：D．
【点睛】本题考查函数的单调性，掌握二次函数与反比例函数的单调性是解题关键．
二、填空题
8．（上海·高考真题）若，则满足的取值范围是 .
【答案】
【详解】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.
【考点】幂函数的性
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第1题,5分
解三次不等式
交集的概念及计算
2023年新I卷，第1题,5分
二次函数图象解不等式
集合间的基本运算
2023年新I卷，第4题,5分
二次函数单调区间求参数值或范围
函数的单调性求参数值
判断指数型复合函数的单调性
判别式
一元二次方程
的根
有两个不等实根
，（设）
有两个相等实根
无实数根
二次函数
的图象
的解集
的解集
∅
∅