2025高考数学专项讲义第05讲古典概率及概率的基本性质(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第05讲古典概率及概率的基本性质(学生版+解析)，共44页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测，整体点评，名师点睛，考点定位等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握古典概型的定义，并会相关计算
2.理解并掌握概率的基本性质
3.会计算互斥事件及对立事件的概率
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查古典概型的概率计算及互斥、对立事件的辨析及计算，需强化训练
知识讲解
1．古典概型特点
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
2．古典概型概率公式
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)＝eq \f(m,n).
求古典概型概率的步骤
(1)判断试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
(3)利用公式P(A)＝eq \f(m,n)，求出事件A的概率.
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
判断互斥、对立事件的两种方法
(1)定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件eq \x\t(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
考点一、古典概型的概率计算
1．（2024·全国·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
2．（2021·全国·统考高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
5．（2022·全国·统考高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
考点二、有无放回抽样的概率
1．（浙江·高考真题）在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为 ．
2．（浙江·高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则 ； ．
3．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
1．（2024·全国·模拟预测）盒中装有1，2，3，4四个标号的小球．小明在盒中随机抽取两次（不放回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山东日照·三模）从标有1，2，3，4，5的5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，则出现重复编号卡片的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·广东广州·模拟预测）袋子里有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从袋子中有放回地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5的概率是 .
考点三、判断互斥事件与对立事件
1．若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头”D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
2．（2023·四川宜宾·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥D．事件3与事件4互为对立事件
3．（2023·山东聊城·模拟预测）（多选）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M=“该家庭中有男孩、又有女孩”，N=“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是()
A．若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥
B．若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立
C．若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥
D．若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立
1．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
2．（2022·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥D．与互斥，与相互独立
3．（2024·山东菏泽·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分配一名同学.设事件“恰有两人在同一个社区”，事件“甲同学和乙同学在同一个社区”，事件“丙同学和丁同学在同一个社区”，则下面说法正确的是（ ）
A．事件与相互独立B．事件与是互斥事件
C．事件与相互独立D．事件与是对立事件
考点四、互斥事件的概率加法公式
1．（2023·全国·统考模拟预测）在古典概型中，若，为互斥但不对立事件，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（天津·高考真题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
1．（2022·江苏·高三专题练习）已知随机事件，互斥，且，，则 .
2．（2023·全国·高三专题练习）下列说法错误的个数为（ ）
①对立事件一定是互斥事件；
②若，为两个事件，则；
③若事件，，两两互斥，则．
A．B．C．D．
3．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A．B．
C．D．
考点五、利用互斥事件概率公式求概率
1．（2024高三·全国·专题练习）某单位电话总机室内有两部外线电话和，在同一时间内，打入电话的概率是0.3，打入电话的概率是0.4，两部同时打入电话的概率是0.1，则至少有一部电话打入的概率是 ．
2．（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）已知事件两两互斥，若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2024·云南昆明·模拟预测）甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为，，，则三人中恰有两人合格的概率是（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·全国·高三专题练习）一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是
A．0.3B．0.55C．0.7D．0.75
2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为( )
A．B．C．D．
考点六、利用对立事件的概率公式求概率
1．（2024·陕西·二模）从甲、乙、丙、丁4名同学中任选2人，则甲未被选中的概率为 ．
2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）设是随机事件，且，则 ．
1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北·模拟预测）某医院需要从4名女医生和2名男医生中抽调3人参加社区的老年义诊活动，则至少有1名男医生参加的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山西太原·模拟预测）由于天气原因，夏季相关部门加大对水果储运环节的抽检力度，坚决杜绝腐烂变质的水果流入市场，下表是对运到仓储点的某种水果进行抽检后得到的数据．
若从运到仓储点的四车水果中随机抽出一个，则估计这个水果不能上市的概率为（ ）
A．0.06B．0.08C．0.1D．0.12
1．（已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（ ）
A．0.3B．0.6C．0.7D．0.8
2．（2024·山西太原·一模）甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·安徽·期中）现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是（ ）
A．恰好两件正品与恰好四件正品
B．至少三件正品与全部正品
C．至少一件正品与全部次品
D．至少一件正品与至少一件次品
4．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）若为随机事件，且，则（ ）
A．若为互斥事件，则
B．若为互斥事件，
C．若为相互独立事件，
D．若，则
5．（24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
6．（24-25高三上·上海·开学考试）已知事件与事件是互斥事件，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）（多选）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
B．事件“最少一次击中”与事件“最多一次击中”为互斥事件
C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
8．（2023·河南·模拟预测）从A，B等5处水样监测点中随机选3处进行水样检测，则A，B不同时入选的概率为 ．
一、单选题
1．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）从甲、乙等7名同学中随机选2名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的概率为 .
2．（23-24高二下·新疆·期中）某校开设美术、书法、篮球、足球和象棋兴趣班．已知该校的学生小明和小华每人报名参加其中的两种兴趣班，且小明至少参加一种球类的兴趣班，则小明和小华至少参加同一个兴趣班的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·新疆·校联考二模）下列有关事件的说法正确的是（ ）
A．若，则事件A，B为对立事件
B．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
C．若A，B为互斥事件，则
D．若事件A，B，C满足条件，和为互斥事件，则
4．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的5个，黄色的3个，蓝色的2个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同颜色的小球的概率为 .
5．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为 ．
1．（全国·高考真题）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
A．B．C．D．
2．（山东·统考高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（辽宁·高考真题）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为
A．B．C．D．
4．（重庆·高考真题）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为
A．B．C．D．
5．（广东·高考真题）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（全国·高考真题）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A．B．
C．D．
7．（全国·高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A．B．C．D．
8．（重庆·高考真题）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）．
A．B．C．D．
9．（辽宁·高考真题）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是
A．B．
C．D．
10．（福建·高考真题）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于
A．B．C．D．
11．（天津·高考真题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
A．B．C．D．
12．（湖北·高考真题）甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么
A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分但不必要条件
C．甲是乙的必要但不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
13．（安徽·高考真题）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
A．B．C．D．
14．（陕西·高考真题）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为
A．B．C．D．
15．（重庆·高考真题）从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（ ）
A．B．C．D．
16．（江西·高考真题）将1，2，...，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）
A．B．C．D．
17．（江苏·高考真题）如图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所得六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）．
A．B．C．D．
18．（湖北·高考真题）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是
A．B．C．D．
19．（江苏·高考真题）将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ）．
A．B．C．D．
20．（全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
21．（四川·高考真题）12.在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量a=（a,b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则
A．B．（C．D．
22．（全国·高考真题）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
A．B．C．D．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第14题,5分
计算古典概型问题的概率
求离散型随机变量的均值
均值的性质
2024年新Ⅱ卷，第18题,17分
利用对立事件的概率公式求概率
独立事件的乘法公式
求离散型随机变量的均值
2023年新Ⅱ卷，第12题,5分
利用互斥事件的概率公式求概率
独立事件的乘法公式
独立重复试验的概率问题
2022年新I卷，第5题,5分
计算古典概型问题的概率
实际问题中的组合计数问题
2022年新Ⅱ卷，第19题,12分
利用对立事件的概率公式求概率
频率分布直方图的实际应用
由频率分布直方图估计平均数
计算条件概率
2022年全国甲卷（理），
第15题,5分
计算古典概型问题的概率
组合计数问题
2022年全国乙卷（理），
第10题,5分
利用互斥事件的概率公式求概率
独立事件的乘法公式
2022年全国乙卷（理），
第13题,5分
计算古典概型问题的概率
实际问题中的组合计数问题
2021年全国甲卷（理），
第10题,5分
计算古典概型问题的概率
不相邻排列问题
车辆
甲
乙
丙
丁
抽检数量/个
35
60
50
55
合格数量/个
32
56
47
53
第05讲 古典概率及概率的基本性质
（6类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握古典概型的定义，并会相关计算
2.理解并掌握概率的基本性质
3.会计算互斥事件及对立事件的概率
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查古典概型的概率计算及互斥、对立事件的辨析及计算，需强化训练
知识讲解
1．古典概型特点
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
2．古典概型概率公式
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)＝eq \f(m,n).
求古典概型概率的步骤
(1)判断试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
(3)利用公式P(A)＝eq \f(m,n)，求出事件A的概率.
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
判断互斥、对立事件的两种方法
(1)定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件eq \x\t(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
考点一、古典概型的概率计算
1．（2024·全国·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】解法一：画出树状图，如图，
由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，
其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，
故所求概率.
解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；
当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；
于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意；
基本事件总数显然是，
根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为.
故选：B
2．（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.
【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：
共有36个不同结果，它们等可能，
其中甲乙抽到相同结果有，共6个，
因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率.
故选：A
3．（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故选：D.
1．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【答案】/0.3
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
2．（2021·全国·统考高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.
故选：D.
4．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
【答案】.
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．
故答案为：．
5．（2022·全国·统考高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
【详解】[方法一]：【最优解】无序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.
[方法二]：有序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，
其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为.
故选：C.
【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；
方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；
考点二、有无放回抽样的概率
1．（浙江·高考真题）在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为 ．
【答案】
【详解】试题分析：设一、二等奖各用表示，另张无奖用表示，甲、乙两人各抽取张的基本事件有共个，其中两人都中奖的有共个，故所求的概率． 所以答案应填：．
考点：互斥事件的概率加法公式．
2．（浙江·高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则 ； ．
【答案】
【分析】先确定对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果.
【详解】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以，
随机变量，
，
，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
【答案】
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.
【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
故，故，
故，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有10种，
当，则，则为：
，
，
故有16种，
当，则，同理有16种，
当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，
共与的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为，
故所求概率为.
故答案为：
1．（2024·全国·模拟预测）盒中装有1，2，3，4四个标号的小球．小明在盒中随机抽取两次（不放回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由古典概率公式求解．
【详解】由于抽取两次是不放回的，且盒子里有2个奇数球，2个偶数球，
则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为：，
故选：D
2．（2024·山东日照·三模）从标有1，2，3，4，5的5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，则出现重复编号卡片的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出5张卡片中有放回地抽取三次的基本事件，再算出三次都不重复的基本事件，利用间接法以及古典概型即可求解.
【详解】5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，共有 种取法，
三次都不重复的取法有种，
由加法原理和乘法原理，
出现重复编号卡片的概率.
故选：B.
3．（2024·广东广州·模拟预测）袋子里有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从袋子中有放回地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5的概率是 .
【答案】
【分析】根据分类加法计数原理，将两张卡片数字之和不为5的分为5种情况有：即可根据组合数求解,结合对立事件的概率公式即可求解.
【详解】根据题意可知：有放回地依次随机抽取四张卡片可得所有情况有种，
任意两张卡片数字之和不为5的情况有：
①1111，2222，3333，4444，都各有1种，
②1112，1122，1222，有种，
③1113，1133，1333，有种，
④2224，2244，2444有种，
⑤3334，3344，3444有种，
故总的情况有，
故有两张卡片数字之和为5的概率是，
故答案为：
考点三、判断互斥事件与对立事件
1．若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头”D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
【答案】A
【分析】利用互斥事件的概念，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.
【详解】对于选项A，因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A正确，
对于选项B，因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确，
对于选项C，因为“甲站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项C不正确，
对于选项D，因为“甲不站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项D不正确，
故选：A.
2．（2023·四川宜宾·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥D．事件3与事件4互为对立事件
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.
【详解】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：,
事件3可表示为：,事件4可表示为：,
因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；
因为为不可能事件，为必然事件，
所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；
因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；
因为为不可能事件，不为必然事件，
所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；
故选：B.
3．（2023·山东聊城·模拟预测）（多选）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M=“该家庭中有男孩、又有女孩”，N=“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是()
A．若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥
B．若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立
C．若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥
D．若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立
【答案】BCD
【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断A和B;若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间，即可判断C和D.
【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，
(男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，
则M与N不互斥，，，，
于是，所以M与N不相互独立，则A错误、B正确；
若该家庭中有三个小孩，样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，则M与N不互斥，
，，，于是，
所以M与N相互独立，则C和D均正确．
故选：BCD．
1．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.
【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；
对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；
对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；
对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.
故选：C
2．（2022·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥D．与互斥，与相互独立
【答案】A
【分析】利用互斥事件，独立事件的定义即得.
【详解】由题意得，，
所以.
所以与，与均相互独立，与，与均不互斥.
故选：A.
3．（2024·山东菏泽·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分配一名同学.设事件“恰有两人在同一个社区”，事件“甲同学和乙同学在同一个社区”，事件“丙同学和丁同学在同一个社区”，则下面说法正确的是（ ）
A．事件与相互独立B．事件与是互斥事件
C．事件与相互独立D．事件与是对立事件
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件、对立事件的意义逐项判断即得.
【详解】对于A，依题意，甲、乙、丙、丁中必有两人在同一社区，即事件是必然事件，，
显然，，因此事件与相互独立，A正确；
对于B，由，得事件与不是互斥事件，B错误；
对于C，显然事件事件与不可能同时发生，即，而，事件与相互不独立，C错误；
对于D，显然事件与可以同时不发生，如甲丙在同一社区，因此事件与不是对立事件，D错误.
故选：A
考点四、互斥事件的概率加法公式
1．（2023·全国·统考模拟预测）在古典概型中，若，为互斥但不对立事件，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，即可求解.
【详解】由题意，事件若，为互斥事件，但不对立事件，
根据互斥事件和对立事件的定义，可得，所以A正确.
故选：A.
2．（天津·高考真题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：甲不输概率为选A.
【考点】概率
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法公式.对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据事件A，，两两互斥，求出，进而利用求出答案.
【详解】因为事件A，，两两互斥，所以，
所以.
故选：B．
1．（2022·江苏·高三专题练习）已知随机事件，互斥，且，，则 .
【答案】0.5
【分析】根据两个事件是互斥事件，得到两个事件的和事件的概率等于两个事件的概率的和，根据所给的两个事件的概率，相减即可得到结果.
【详解】随机事件，互斥，
,
.
故答案为：0.5.
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题型.
2．（2023·全国·高三专题练习）下列说法错误的个数为（ ）
①对立事件一定是互斥事件；
②若，为两个事件，则；
③若事件，，两两互斥，则．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐项分析可得答案.
【详解】互斥不一定对立，但对立必互斥，①正确；
只有A与B是互斥事件时，才有，②错误；
若事件A，B，C两两互斥，则，但不一定是必然事件，
例如，设样本点空间是由两两互斥的事件A，B，C，D组成且事件D与为对立事件，当时，，③错误．
故选：C.
3．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.
【详解】因为事件A与事件B是互斥事件，则不一定是互斥事件，所以不一定为0，故选项A错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，所以，则，而不一定为0，故选项B错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件， 所以，故选项D正确.
故选：D.
考点五、利用互斥事件概率公式求概率
1．（2024高三·全国·专题练习）某单位电话总机室内有两部外线电话和，在同一时间内，打入电话的概率是0.3，打入电话的概率是0.4，两部同时打入电话的概率是0.1，则至少有一部电话打入的概率是 ．
【答案】0.6/
【分析】根据随机事件的概率计算可得答案.
【详解】所求的概率为.
故答案为：.
2．（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）已知事件两两互斥，若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可.
【详解】两两互斥，，
，，
.
故选：B.
3．（2024·云南昆明·模拟预测）甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为，，，则三人中恰有两人合格的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出基本事件，将所求事件表示出来，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的积的概率公式求解即得.
【详解】设甲、乙、丙三人参加考试合格的事件分别为，则,而三人中恰有两人合格记为：,
因考试的结果相互独立，且，，两两互斥，故得三人中恰有两人合格的概率为：
.
故选：B．
1．（2022·全国·高三专题练习）一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是
A．0.3B．0.55C．0.7D．0.75
【答案】D
【分析】由题意可知摸出黑球的概率，再根据摸出黑球，摸出红球为互斥事件，根据互斥事件的和即可求解.
【详解】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，
所以摸出黑球的概率是，
因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，
所以摸出黑球或红球的概率，故选D.
【点睛】本题主要考查了两个互斥事件的和事件，其概率公式，属于中档题.
2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设“电话响第一声被接”为事件A,“电话响第二声被接”为事件B,“电话响第三声被接”为事件C,“电话响第四声被接”为事件D,则A,B,C,D两两互斥,从而P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.故选B.
点睛：本题的难点在于把电话在响前四声内被接这个事件分解为哪几个互斥事件，根据题意，它可以分解为四个互斥事件, P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D).
考点六、利用对立事件的概率公式求概率
1．（2024·陕西·二模）从甲、乙、丙、丁4名同学中任选2人，则甲未被选中的概率为 ．
【答案】/
【分析】根据古典概型的概率公式求出甲被选中的概率，结合对立事件的概念即可求解.
【详解】甲被选中，只需从其余3人中，再选1人，即有种方法，
从4人中选2人，共有种方法，
所以甲被选中的概率为，
所以甲未被选中的概率为.
故答案为：12
2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意确定出现一次6点向上的概率，可得没有一次6点向上的概率，利用对立事件的概率关系求解即可.
【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷一次，出现一次6点向上的概率为，
所以先后抛掷2次，没有一次6点向上的概率为，
所以至少出现一次6点向上的概率为.
故选：B.
3．（2024·全国·模拟预测）设是随机事件，且，则 ．
【答案】/0.125
【分析】求出，从而根据事件的运算关系求出概率.
【详解】因为，所以，
故．
故答案为：
1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算出，利用互斥事件概率加法公式求出答案.
【详解】∵，，
∴，
∵事件A，B是互斥事件，
∴．
故选：C
2．（2023·河北·模拟预测）某医院需要从4名女医生和2名男医生中抽调3人参加社区的老年义诊活动，则至少有1名男医生参加的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据古典概率模型以及组合数的运算公式求解.
【详解】设事件表示：至少有1名男医生参加，
则事件表示：没有1名男医生参加，即三名都是女医生，
所以,所以,
故选:C.
3．（2024·山西太原·模拟预测）由于天气原因，夏季相关部门加大对水果储运环节的抽检力度，坚决杜绝腐烂变质的水果流入市场，下表是对运到仓储点的某种水果进行抽检后得到的数据．
若从运到仓储点的四车水果中随机抽出一个，则估计这个水果不能上市的概率为（ ）
A．0.06B．0.08C．0.1D．0.12
【答案】A
【分析】根据古典概型的概率计算方法进行计算，再结合对立事件概率可求问题的答案.
【详解】由题意可知，该水果合格的概率为，
则随机抽出一个，估计其不能上市的概率为0.06．
故选：A
1．（已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（ ）
A．0.3B．0.6C．0.7D．0.8
【答案】C
【分析】由对立事件概率关系得到发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式求P(A + B).
【详解】因为，事件与对立，所以，又，与互斥，
所以.
故选：C.
2．（2024·山西太原·一模）甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用分步乘法原理，结合古典概型和对立事件概率公式求解.
【详解】两人选取科目的方法共有种，科目完全相同的方法共有种，
科目不完全相同方法共有12种，故所求概率为.
故选：D.
3．（23-24高二下·安徽·期中）现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是（ ）
A．恰好两件正品与恰好四件正品
B．至少三件正品与全部正品
C．至少一件正品与全部次品
D．至少一件正品与至少一件次品
【答案】C
【分析】根据对立事件的定义判断各选项.
【详解】根据题意，选项A中事件为互斥事件，不是对立事件；
选项B、D中事件可能同时发生，全部正品是至少三件正品的子事件；
选项C中事件为对立事件，全部次品不能存在有正品的事件.
故选：C.
4．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）若为随机事件，且，则（ ）
A．若为互斥事件，则
B．若为互斥事件，
C．若为相互独立事件，
D．若，则
【答案】D
【分析】根据互斥事件、相互独立事件、条件概率、全概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若为互斥事件，则，A选项错误.
B选项，若为互斥事件，，B选项错误.
C选项，若为相互独立事件，
，所以C选项错误.
D选项，，
即，解得，所以D选项正确.
故选：D
5．（24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义判断即可.
【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝，
则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，
事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }；
事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}，
事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}，
事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝，
由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件.
故选：B
6．（24-25高三上·上海·开学考试）已知事件与事件是互斥事件，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】举反例排除ABC，再结合互斥事件定义，事件运算，概率性质证明D.
【详解】若随机试验为抛掷一枚质地均匀的骰子，事件，，
则事件与事件是互斥事件，
此时，，，
所以，A错误；
，，，B错误；
，C错误；
因为事件与事件是互斥事件，
所以，所以为必然事件，
所以，D正确.
故选：D.
7．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）（多选）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
B．事件“最少一次击中”与事件“最多一次击中”为互斥事件
C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
【答案】AC
【分析】写出事件包含的基本事件，再根据互斥事件和对立事件的概念作出判断.
【详解】对于A，事件“至多一次击中”包含“一次击中”和“两次均未击中“，
与事件“两次均击中”是对立事件，故A正确；
对于B，事件“最少一次击中”包含“一次击中”与 “二次击中”，
事件“最多次击中”包含“一次击中”与 “0次击中”，
故两事件可以同时发生，不是互斥事件，故B不正确；
对于C，事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”不能同时发生，是互斥事件，故C正确；
对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，故D错误.
故选：AC
8．（2023·河南·模拟预测）从A，B等5处水样监测点中随机选3处进行水样检测，则A，B不同时入选的概率为 ．
【答案】/0.7
【分析】对另外3处水样监测点编号，利用列举法结合古典概率求解作答.
【详解】设5处水样监测点分别为,,,,，从中随机选择3处的结果有：
，共10种情况，
其中,同时入选的有，共3种情况，
所以,不同时入选的概率.
故答案为：
一、单选题
1．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）从甲、乙等7名同学中随机选2名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的概率为 .
【答案】
【分析】考虑甲、乙均没有入选的情况，利用组合数求解出对应概率即可.
【详解】设“甲、乙至少一人入选”为事件，则“甲、乙均没有入选”为事件，
所以，
故答案为：.
2．（23-24高二下·新疆·期中）某校开设美术、书法、篮球、足球和象棋兴趣班．已知该校的学生小明和小华每人报名参加其中的两种兴趣班，且小明至少参加一种球类的兴趣班，则小明和小华至少参加同一个兴趣班的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用古典概型，结合组合和对立事件概率知识求解即可.
【详解】小明和小华参加兴趣班的方案有种，
其中小明和小华参加的兴趣班都不同的情况有种，
故所求概率．
故选：D.
3．（2023·新疆·校联考二模）下列有关事件的说法正确的是（ ）
A．若，则事件A，B为对立事件
B．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
C．若A，B为互斥事件，则
D．若事件A，B，C满足条件，和为互斥事件，则
【答案】C
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，条件概率的定义判断．
【详解】对于A，若在不同试验下，虽然有，但事件和不对立．若在同一试验下，说明事件和对立．所以A错误；
对于B，若事件和都为不可能事件，则B错误；
对于C，互斥，若对立，则，若不对立，则，C正确；
对于D，若事件A，B，C满足条件，和为互斥事件，则，则D错误，
故选：C．
4．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的5个，黄色的3个，蓝色的2个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同颜色的小球的概率为 .
【答案】
【分析】应用组合数求取出3个为同一种颜色的取法、任取3个球的取法，应用古典概型、对立事件概率求法求至少含有两种不同颜色的小球的概率.
【详解】由题意，取出3个为同一种颜色有种取法，
10个大小一样的小球任取3个球有种取法，
所以至少含有两种不同颜色的小球的概率为.
故答案为：
5．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为 ．
【答案】15/
【分析】若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为，由题知，由于，则，解之可得.
【详解】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为，
那么若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为，
由题意知，
从而可得，即，
因为，所以，所以。
解之可得，故的最大值为.
故答案为：
1．（全国·高考真题）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解法一：由排列组合知识可知，所求概率；
解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故.
【考点定位】本题考查古典概型的概率运算，考查学生的基本运算能力.
2．（山东·统考高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.
【详解】甲、乙两位同窗选取景点的种数为，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，
∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为．
故选：D
3．（辽宁·高考真题）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】: 取出的2张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，C C÷C=
4．（重庆·高考真题）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为总的滔法而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆．豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为
．
5．（广东·高考真题）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】从五个球中任取两个，
共有种取法，
其中1，2；1，5；2，4，三种取法数字之和为3或6，
利用古典概型可得取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是，
故选C.
【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.
6．（全国·高考真题）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，选B．
【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
7．（全国·高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.
【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．
8．（重庆·高考真题）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意知，本题是一个古典概型，满足条件的事件包含的结果比较多，可以从它的对立事件来考虑，取出三张门票的价格均不相同，共有种取法，试验发生的所有事件总的取法有种，用对立事件概率得到结果.
【详解】由题意知本题是一个古典概型，满足条件的事件包含的结果比较多，可以从它的对立事件来考虑，取出的三张门票的价格均不相同，共有种取法，试验发生的所有事件总的取法有种，三张门票的价格均不相同的概率是，至少有2张价格相同的概率为
故答案选：C
【点睛】本题主要考查古典概型和对立事件，正难则反是解题时要时刻注意的，属于基础题.
9．（辽宁·高考真题）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】分析：先分成两个互斥事件：甲解决问题乙未解决问题和甲解决问题乙未解决问题，再分别求概率，最后用加法计算.
详解：因为甲解决问题乙未解决问题的概率为p1(1－p2)，甲未解决问题乙解决问题的概率为p2(1－p1)，则恰有一人解决问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.
点睛：本题考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.
10．（福建·高考真题）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：包含恰摸到两个黑球，一个白球，或是恰好三个黑球，为互斥事件，所以概率是．
考点：1．互斥事件和的概率；2．古典概型．
11．（天津·高考真题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：甲不输概率为选A.
【考点】概率
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法公式.对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.
12．（湖北·高考真题）甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么
A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分但不必要条件
C．甲是乙的必要但不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】分析:根据互斥事件和对立事件的概念，根据充分条件和必要条件的概念分析解答.
详解：当、是互斥事件时，、不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件.
当、是对立事件时，、一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.
所以甲是乙的必要非充分条件.
故选C.
点睛：本题主要考查互斥事件和对立事件的联系和区别，考查充分条件和必要条件的概念.
甲乙互斥，但是甲乙不一定对立，甲乙对立，则甲乙一定互斥.
13．（安徽·高考真题）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：由题意．
故选B．
14．（陕西·高考真题）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：5点中任选2点的选法有，距离不小于该正方形边长的选法有
考点：古典概型概率
15．（重庆·高考真题）从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】所取4个球的最大号码是6，则编号为6的球必选，再从编号为1，2，3，4，5的球中选3个，从而求出其概率.
【详解】所取4个球的最大号码是6，则编号为6的球必选，再从编号为1，2，3，4，5的球中选3个，
则所取4个球的最大号码是6的概率为，
故选：B．
16．（江西·高考真题）将1，2，...，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先把9个数分成3组，根据排列组合的性质可求得所有的组的数，然后把三个数成等差数列的组，分别枚举出来，可知共有5组，然后利用概率的性质求得答案．
【详解】解：9个数分成三组，共有组，其中每组的三个数均成等差数列，有
，2，，，5，，，8，；
，2，，，6，，，7，；
，3，，，4，，，8，；
，4，，，5，，，6，；
，5，，，3，，，7，，共5组．
所求概率为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等差关系的确定和概率的性质．对于数量比较小的问题中，可以用枚举的方法解决问题直接，属于中档题．
17．（江苏·高考真题）如图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所得六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将左端的六个接线点随机地平均分成三组可能出现的所有结果找出来，再根据五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，求出此种情况可能出现的结果，再运用古典概型的概率公式即可得出所求事件概率．
【详解】解：根据题意，设右端连线方式如图，
对于左端的六个接线点，将其随机地平均分成三组，共有种结果，
五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，则1必须和3、4、5、6中其中1个相接，接好后，2只有2种情况可选，剩下的接线点只有1种接法，所以共有种结果，
同理，右端连线方式变化时，左端的接线方法都有15种，其中有8种可以收到信号，
∴这五个接收器能同时接收到信号的概率是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，考查平均分组问题，属于中档题．
18．（湖北·高考真题）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含、、，又，，所以所事件的概率为，故选C．
考点：相互独立事件概率的计算．
19．（江苏·高考真题）将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正难则反原则，先求出“抛掷3次都没有出现6点向上”事件的概率，由对立事件的概率性质，计算可得答案.
【详解】解：将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立，
记事件为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”，
则为“抛掷3次都没有出现6点向上”，
记事件为“第次中，没有出现6点向上”，，
则，又，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查对立事件的性质和概率计算，利用了正难则反的原则，属于基础题.
20．（全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
21．（四川·高考真题）12.在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量a=（a,b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则
A．B．（C．D．
【答案】B
【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从数字中选出两个数字，组成向量，
a的取法有2种，b的取法有3种，故向量 a =（a，b）有6个，
从中任取两个向量共=15种结果，
满足条件的事件是平行四边形的面积不超过4的由列举法列出共有5个，
根据等可能事件的概率得到P="5" /15 ="1" /3故选B
22．（全国·高考真题）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有种不同的结果；（2）周六、日各2人，有种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为，选D．
【考点定位】1、排列和组合；2、古典概型的概率计算
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第14题,5分
计算古典概型问题的概率
求离散型随机变量的均值
均值的性质
2024年新Ⅱ卷，第18题,17分
利用对立事件的概率公式求概率
独立事件的乘法公式
求离散型随机变量的均值
2023年新Ⅱ卷，第12题,5分
利用互斥事件的概率公式求概率
独立事件的乘法公式
独立重复试验的概率问题
2022年新I卷，第5题,5分
计算古典概型问题的概率
实际问题中的组合计数问题
2022年新Ⅱ卷，第19题,12分
利用对立事件的概率公式求概率
频率分布直方图的实际应用
由频率分布直方图估计平均数
计算条件概率
2022年全国甲卷（理），
第15题,5分
计算古典概型问题的概率
组合计数问题
2022年全国乙卷（理），
第10题,5分
利用互斥事件的概率公式求概率
独立事件的乘法公式
2022年全国乙卷（理），
第13题,5分
计算古典概型问题的概率
实际问题中的组合计数问题
2021年全国甲卷（理），
第10题,5分
计算古典概型问题的概率
不相邻排列问题
乙甲
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
车辆
甲
乙
丙
丁
抽检数量/个
35
60
50
55
合格数量/个
32
56
47
53