2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题03不等关系与不等式性质(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题03不等关系与不等式性质(原卷版+解析)，共40页。
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】3
【考点1】比较数(式)的大小3
【考点2】不等式的基本性质4
【考点3】不等式性质的综合应用5
【分层检测】6
【基础篇】6
【能力篇】8
【培优篇】8
考试要求：
1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.
2.理解不等式的概念.
3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)0）⇔a0）.))
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a＞b＞0⇒eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N，n≥2).
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b⇔eq \f(1,a)b，则
A．ln(a−b)>0B．3a0D．│a│>│b│
2．（2018·全国·高考真题）设，，则
A．B．
C．D．
3．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知，下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
6．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 .
考点突破
【考点1】比较数(式)的大小
一、单选题
1．（21-22高二下·江西九江·期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知,,则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·广东肇庆·二模）已知正数满足等式，则下列不等式中可能成立的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（2023·内蒙古赤峰·一模）已知，，，则的大小关系是 .
6．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ．
反思提升：
1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.
2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.
3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.
4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.
【考点2】不等式的基本性质
一、单选题
1．（22-23高一下·云南玉溪·期中）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·辽宁·一模）设则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2021·江苏扬州·模拟预测）已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换得到一系列不等式，叠加后有这些不等式体现了数学之美.运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2023·山西大同·模拟预测）已知，，，，则的最小值为 ．
6．（2024·河北承德·二模）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，则以下1003个方程中，有实数解的方程至少有 个.
反思提升：
解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
(2)利用特殊值法排除错误答案；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
【考点3】不等式性质的综合应用
一、单选题
1．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（20-21高三上·江苏·阶段练习）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
4．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
5．（21-22高三·云南昆明·阶段练习）已知实数，，满足则的取值范围是 ．（用区间表示）
6．（2022·上海普陀·一模）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为 .
反思提升：
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2023·上海金山·二模）若实数、满足，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·湖南长沙·模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·云南贵州·二模）已知，则的大关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）若，则有（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（21-22高三上·湖北·阶段练习）下列命题成立的是（ ）
A．若，，则
B．若不等式的解集是，则
C．若，，则
D．若a，b满足，则的取值范围是
6．（2023·山东·二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·湖南长沙·二模）已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8．（20-21高一上·湖北武汉·期中）购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济.
9．（2022·全国·模拟预测）已知实数、满足，，则的取值范围为 ．
10．（2022·四川泸州·三模）已知x，，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是 （写出所有成立结论的编号）．
四、解答题
11．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求的取值范围.
（2）比较与的大小，其中.
12．（21-22高三·贵州贵阳·阶段练习）已知实数，，满足．
(1)若，求证：；
(2)若，，求的最小值．
【能力篇】
一、单选题
1．（2023·江西·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（21-22高一上·重庆·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．，则D．若，则
三、填空题
3．（2024·湖南邵阳·二模）已知，若恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题
4．（2023·陕西宝鸡·一模）已知，求证：
(1)；
(2).
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·吉林·二模）已知a，b，c满足，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题
2．（2023·江苏南通·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
3．（2024·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为
专题03 不等关系与不等式性质（新高考专用）
目录
【知识梳理】2
【真题自测】2
【考点突破】5
【考点1】比较数(式)的大小5
【考点2】不等式的基本性质11
【考点3】不等式性质的综合应用16
【分层检测】19
【基础篇】19
【能力篇】25
【培优篇】27
考试要求：
1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.
2.理解不等式的概念.
3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)0）⇔a0）.))
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a＞b＞0⇒eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N，n≥2).
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b⇔eq \f(1,a)b，则
A．ln(a−b)>0B．3a0D．│a│>│b│
2．（2018·全国·高考真题）设，，则
A．B．
C．D．
3．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知，下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
6．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 .
参考答案：
1．C
【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
2．B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
3．C
【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.
【详解】对于ABD，取，满足，
显然，，，ABD错误；
对于C，，则，C正确.
故选：C
4．BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
5．AC
【分析】对于A：根据不等式的性质分析判断；对于BD：举反例说明即可；对于C：结合指数函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：因为，可得，故A正确；
对于选项B：例如满足，但，故B错误；
对于选项C：因为在上单调递增，且，所以，故C正确；
对于选项D：例如满足，
但，即，故D错误；
故选：AC.
6．
【分析】先得到，并根据得到，从而求出.
【详解】因为，故，
由得，解得，
故.
故答案为：
考点突破
【考点1】比较数(式)的大小
一、单选题
1．（21-22高二下·江西九江·期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知,,则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·广东肇庆·二模）已知正数满足等式，则下列不等式中可能成立的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（2023·内蒙古赤峰·一模）已知，，，则的大小关系是 .
6．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ．
参考答案：
1．B
【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；
通过作差法，，确定符号，排除C选项；
通过作差法，，确定符号，排除A选项；
【详解】由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，
故选：B.
2．D
【分析】根据函数单调性及得到或，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解.
【详解】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，
当时，，此时；
，故；
，；
当时，，此时，，故；
，；
故ABC均错误；
D选项，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，
设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以，所以在且上恒成立，故（且）单调递减，因为，所以，结论得证，D正确
故选：D
3．BC
【分析】两式平方再作差,利用基本不等式即可得大小关系,进而得选项A,B正误,两式相除,由于,将分子分母同时除以,再利用基本不等式即可求出其范围.
【详解】解:由题知,
所以,
当且仅当时取等,
因为,所以,
即,故,
即选项A错误,选项B正确;
因为,
所以,
当且仅当,即时取等,
所以可得,
故选项C正确,选项D错误.
故选:BC
4．AC
【分析】将已知转化为，通过构造函数法，结合导数判断当时，，进而构造函数，根据单调性即可判断选项CD；同理利用构造函数和求导即可判断AB.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
构造
，
所以，
当，即时，
分析即可，
所以在上单调递减，
所以，所以，
所以，
所以，
由，
所以，
构造，，
则，
所以在上单调递增，
所以由得，
所以，
故此时， D选项错误；
当时，，此时，
所以可能成立，故C选项可能正确，
由，即，
构造，
所以，设，
当时，，所以在单调递减，在上单调递增，
且，所以当时，
即，
所以，
构造，
则，所以在上单调递增，
所以，故A可能正确，B项错误；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数思想与逻辑推理能力，属于难题.注意事项：利用构造法，关键在于构造函数以及，利用导数以及参数的范围进行判断.
5．
【分析】构造函数，利用函数的单调性比较出与的大小，再用作差比较出与的大小，即可得出结果.
【详解】根据题意，设，则其导数.
令，
故在区间上，恒成立，则有，即恒成立
在上恒成立，函数在上单调递减，
则有，即
又，而，
，即
故答案为：
【点睛】方法点睛：构造适当的函数，利用函数的单调性来比较大小是一种常用的方法.
6．（答案不唯一）
【分析】根据幂函数的性质可写出一个符合①②的幂函数，利用作差法说明其也满足③，即可得答案.
【详解】由题意可知的定义域为，且在上为增函数；
下面证明该函数满足③：
取任意的，，
，
则，
当且仅当时取等号，
即，即满足③，
故答案为：
反思提升：
1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.
2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.
3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.
4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.
【考点2】不等式的基本性质
一、单选题
1．（22-23高一下·云南玉溪·期中）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·辽宁·一模）设则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2021·江苏扬州·模拟预测）已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换得到一系列不等式，叠加后有这些不等式体现了数学之美.运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2023·山西大同·模拟预测）已知，，，，则的最小值为 ．
6．（2024·河北承德·二模）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，则以下1003个方程中，有实数解的方程至少有 个.
参考答案：
1．A
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，可得，即充分性成立；
反之：由，可得，又因为，所以，所以必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
2．B
【分析】利用导数证明不等式，可得；根据不等式的性质可证得，则，即可求解.
【详解】对于函数，，
令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，即.
所以，.
由，得，所以，则，
所以，即.
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
3．AC
【分析】对四个选项一一验证：
对于A：利用为增函数直接证明；
对于B：取特殊值判断；
对于C：若时，利用同向不等式相乘判断；若时，有，直接判断；若时，利用不等式的乘法性质进行判断
对于D：取特殊值判断；
【详解】对于A：因为两个不为零的实数，满足，所以，而为增函数，所以，即；故A正确；
对于B：可以取，则有，所以；故B不正确；
对于C：若时，则有根据同向不等式相乘得：，即成立；
若时，有，故成立；
若时，则有，，因为，所以，即成立；
故C正确；
对于D：可以取，则有，所以；故D不正确；
故选：AC
【点睛】（1）判断不等式是否成立：①利用不等式的性质或定理直接证明；②取特殊值进行否定，用排除法；
（2）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
（3）要证明一个命题是真命题，需要严格的证明；要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例否定就看可以了.
4．BC
【分析】通过取特殊值确定AD错误，通过证明当时，，由此证明B，通过证明时，，由此证明C.
【详解】选项：，当时不成立，A错误
B选项：等价于，
故要证明只需证明，且，
只需证明，只需证明，
故考虑构造函数，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，，即，当且仅当时取等号，
当时，，
将中的替换为，
可得，即，
所以，，，，
所以，B选项正确
选项，设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，，即，当且仅当时取等号，
将中的替换为，因为，
所以
所以，
又，
所以，
当时，，
故，C正确；
选项：因为，D错误，
故选：BC.
【点睛】在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
5．
【分析】由已知可得，结合基本不等式求的最小值，再求的最小值.
【详解】因为，，
所以，又，，
所以，当且仅当时取等号．
所以，当且仅当时取等号．
所以的最小值为.
故答案为：.
6．
【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到，想要有实根，则，结合根的判别式与基本不等式得，中至少一个成立，同理得到，中至少一个成立，，，中至少一个成立，且，即可解决问题.
【详解】由题意得，，
又因为，，
代入得，要使方程有实数解，则，
显然第个方程有解，设方程与方程的判别式分别为，
则
即，等号成立的条件，
所以，中至少一个成立，
同理可得，中至少一个成立，，，中至少一个成立，且，
综上，在所给的1003个方程中，有实根的方程最少个，
故答案为：.
反思提升：
解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
(2)利用特殊值法排除错误答案；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
【考点3】不等式性质的综合应用
一、单选题
1．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（20-21高三上·江苏·阶段练习）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
4．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
5．（21-22高三·云南昆明·阶段练习）已知实数，，满足则的取值范围是 ．（用区间表示）
6．（2022·上海普陀·一模）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为 .
参考答案：
1．B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D错误.
故选：B.
2．C
【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决
【详解】由，可得，
则，则，令，则
，
又在单调递增，在单调递减
，，
则，即
故选：C
3．ABD
【解析】利用不等式的性质直接求解.
【详解】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.
故选：ABD.
4．AC
【分析】根据不等式的性质，变形求解.
【详解】，两式相乘得，所以，A正确；
由题得，又，两式相乘得，所以，B错误；
因为，所以两式相乘得，C正确；
因为，所以两式相乘得，D错误．
故选：AC
5．
【分析】直接用表示出，然后由不等式性质得出结论．
【详解】,
则解得，则，
又，
∴，
即，
故答案为：．
6．[1,13]
【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.
【详解】二次函数f(x)对称轴为，
∵f(x)值域为，
∴且，n＞0.
，
∵
====
∴，，
∴∈[1,13].
故答案为：[1,13].
反思提升：
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2023·上海金山·二模）若实数、满足，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·湖南长沙·模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·云南贵州·二模）已知，则的大关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）若，则有（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（21-22高三上·湖北·阶段练习）下列命题成立的是（ ）
A．若，，则
B．若不等式的解集是，则
C．若，，则
D．若a，b满足，则的取值范围是
6．（2023·山东·二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·湖南长沙·二模）已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8．（20-21高一上·湖北武汉·期中）购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济.
9．（2022·全国·模拟预测）已知实数、满足，，则的取值范围为 ．
10．（2022·四川泸州·三模）已知x，，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是 （写出所有成立结论的编号）．
四、解答题
11．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求的取值范围.
（2）比较与的大小，其中.
12．（21-22高三·贵州贵阳·阶段练习）已知实数，，满足．
(1)若，求证：；
(2)若，，求的最小值．
参考答案：
1．D
【分析】对于D，结合对数函数的单调性即可判断；对于ABC，取，即可判断.
【详解】由题意，，所以，故D正确；
当，时，，但，，，故A，B，C错误.
故选：D.
2．D
【分析】平均速度等于总路程除以总时间
【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则
，，，
∴，，
故选:D.
3．B
【分析】根据的特点，构造函数，判断其单调性，得到，故有，再运用作差法比较即得.
【详解】设，则，
当时，，在上递增；
当时，，在上递减,
故.
则，即；
由可知，故.
故选：B.
4．B
【分析】由题意首先得，进一步，从而我们只需要比较的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
【详解】，所以，
，
又因为，
所以，即.
故选：B.
5．BC
【分析】根据不等式的性质、一元二次不等式的解法、基本不等式等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A，取，，，，则，则A错误；
对于B，方程的两根分别为1和2，则，，解得，，所以，则B正确；
因为，，所以，则C正确；
由，，得，又，所以，即的取值范围是，则D错误.
故选：BC
6．BC
【分析】根据已知等式可确定，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，，A错误；
对于B，，，，，，，
，即，B正确；
对于C，，，，即，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC.
7．BCD
【分析】根据不等式的性质对各个选项验证.
【详解】因为，所以有，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．
8．乙
【分析】设第一次和第二次购物时价格分别为，每次购n，根据条件，求得按甲策略购买的平均价格x，若按第二种策略，设每次花钱m元钱，则可求得按乙策略购买的平均价格y，利用作差法，即可比较x，y的大小，进而可求得答案.
【详解】设第一次和第二次购物时价格分别为，
按甲策略，每次购n，按这种策略购物时，两次的平均价格，
按乙策略，第一次花m元钱，能购物物品，第二次仍花m元钱，能购物物品，
两次购物的平均价格，
比较两次购物的平均价格 ，
因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济，
故答案为：乙.
9．
【分析】设，利用待定系数法求出的值，然后根据不等式的性质即可求解.
【详解】解：设，则，解得，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
故答案为：.
10．①④
【分析】根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可.
【详解】①：因为，
所以有，故本结论一定成立；
②：当时，显然成立，但是不成立，故本结论不一定成立；
③：当时，显然成立，但是不成立，故本结论不一定成立；
④：因为，所以，由①可知：
，
所以，因此本结论一定成立，
故答案为：①④
11．（1）； （2）.
【分析】根据不等式的基本性质，逐个运算，即可求解.
【详解】（1）解：由不等式，可得，
因为，所以，即的取值范围为.
（2）解：由，，
因为，所以，
故.
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据不等性质变形证明不等式；
（2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，进而得解.
【详解】（1）证明：由，且，得，，
故，所以，
所以，即；
（2）解：由且，得，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
【能力篇】
一、单选题
1．（2023·江西·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（21-22高一上·重庆·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．，则D．若，则
三、填空题
3．（2024·湖南邵阳·二模）已知，若恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题
4．（2023·陕西宝鸡·一模）已知，求证：
(1)；
(2).
参考答案：
1．A
【分析】利用不等式的基本性质可得出、的大小关系，利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，综合可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，则，
所以，，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上为增函数，所以，，即，
所以，，故.
故选：A.
2．ABC
【分析】根据不等式的性质判断AD，结合作差法比较大小判断BC.
【详解】解：对于A选项，因为，故，故，正确；
对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；
对于C选项，由于，故，故，即，正确；
对于D选项，当时，，故错误.
故选：ABC
3．
【分析】
根据题意，将原不等式分离参数，然后换元，由函数的单调性可得最值，即可得到结果.
【详解】
原不等式等价于，
令.
令，且，
则在上单调递减，
.
故的范围是.
故答案为：
4．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造基本不等式即可证明；（2）利用作商法证明.
【详解】（1）
又因为c>0，所以，
=，（当且仅当时，“=”成立）.
即证.
（2）因为.
因为0，，（>1.
同理>1，
>1，故.
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·吉林·二模）已知a，b，c满足，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题
2．（2023·江苏南通·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
3．（2024·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ．
参考答案：
1．B
【分析】构造函数，利用其单调性，分，，讨论即可.
【详解】由题意得，即，则，则，
令，根据减函数加减函数为减函数的结论知：
在上单调递减，
当时，可得，，两边同取以5为底的对数得
，对通过移项得，
两边同取以3为底的对数得，
所以，所以 ，所以，且，
故此时，，故C,D选项错误，
时，，
，且，故A错误,
下面严格证明当时，，，
根据函数在上单调递增，且，
则当时，有，
，，
下面证明：，
要证：，
即证：，等价于证明，
即证：，此式开头已证明，
对，左边同除分子分母同除，右边分子分母同除得
，
则
故当时，，则
当时，可得，，两边同取以5为底的对数得
，对通过移项得，
两边同取以3为底的对数得，
所以，所以 ，所以，且，
故，故此时，，
下面严格证明当时，，
当时，根据函数，且其在上单调递减，可知
，则，则，
根据函数函数在上单调递增，且，
则当时，，
下面证明：，
要证：
即证：，等价于证，
即证：，此式已证明，
对，左边同除分子分母同除，右边分子分母同除得
，
则，
故时，，则
当时，，则，，
综上，，
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数，利用其单调性及，从而得到之间的大小关系，同时需要先求出的范围，然后再对进行分类讨论.
2．ABD
【分析】证明，放缩可判断A，由，放缩可判断B，先证出，再放缩，根据再放缩即可判断C，可得，令，转化为，构造，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断D.
【详解】由，可得，
，
令，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，即，
由知，A正确；
由可得，可得（时取等号），
因为，所以，B正确；
时，，则，
，C错误；
，
令，则，
，
在单调递增，，，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：比较式子的的大小，要善于对已知条件变形，恰当变形可结合，，放缩后判断AB选项，变形，再令，变形，是判断D选项的关键，变形到此处，求导得最小值即可.
3．/0.2
【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.
【详解】令其中，
所以，
若，则，故，
令，
因此,故,则，
若，则，即，
，
则,故,则，
当且仅当且时等号成立，
如取时可满足等号成立，
综上可知的最小值为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在和前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.