2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题20任意角和弧度制及三角函数的概念(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题20任意角和弧度制及三角函数的概念(原卷版+解析)，共48页。
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】象限角及终边相同的角4
【考点2】弧度制及其应用6
【考点3】三角函数的定义及应用8
【分层检测】9
【基础篇】9
【能力篇】12
【培优篇】13
考试要求：
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
知识梳理
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
3.任意角的三角函数
(1)定义
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝eq \f(y,r)；cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0).
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.
3.象限角
4.轴线角
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
4．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

5．（2023·全国·高考真题）若，则 ．
6．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
考点突破
【考点1】象限角及终边相同的角
一、单选题
1．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
二、多选题
3．（23-24高一上·吉林长春·期末）下列说法正确的是（ ）
A．“为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件
B．“，”是“”的充要条件
C．设，，则“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
4．（22-23高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（ ）
A．轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为
B．若，则
C．已知为锐角，，角的终边上有一点，则
D．在范围内，与角终边相同的角是和
三、填空题
5．（2022·河南开封·三模）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称.若，则 .
6．（2022·全国·模拟预测）已知的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在第二象限，，则的值为 ．
反思提升：
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在的位置.
【考点2】弧度制及其应用
一、单选题
1．（2023·陕西安康·三模）羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，．若，则下列说法正确的是（ ）

A．当时，的面积为
B．当时，扇形的面积为
C．当时，四边形的面积为
D．四边形面积的最大值为1
4．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）质点A，B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上同时出发做逆时针匀速圆周运动，点A的起点在射线（）与圆O的交点处，点A的角速度为，点B的起点在圆O与x轴正半轴的交点处，点B的角速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．在末时，点B的坐标为
B．在末时，劣弧的长为
C．在末时，点A与点B重合
D．当点A与点B重合时，点A的坐标可以为
三、填空题
5．（2023·上海普陀·一模）若圆上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角的大小为 .
6．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为 百米.
反思提升：
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【考点3】三角函数的定义及应用
一、单选题
1．（2024·湖北·模拟预测）在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点、顺时针旋转角交单位圆于点，若点的纵坐标为，且的面积为，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知角终边上点坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．“是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件
B．若为第一象限角，则
C．在中，若，则为锐角三角形
D．已知，且，则
4．（2024·河北保定·二模）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫作的正弦函数，记作，即；
②把点P的横坐标x叫作的余弦函数，记作，即；
③把点P的纵坐标y的倒数叫作的余割，记作，即；
④把点P的横坐标x的倒数叫作的正割，记作，即.
下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．函数的定义域为
D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，若角的顶点为原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则 .
6．（2023·江西赣州·二模）已知为锐角，满足，则 ．
反思提升：
1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2023·安徽·模拟预测）已知角终边上有一点，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
2．（23-24高一上·山东菏泽·期末）集合，，，则集合中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·北京房山·一模）已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2022·福建·三模）若满足，，则可以是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知函数且的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
7．（22-23高一下·浙江杭州·期末）如图，质点和在单位圆上逆时针作匀速圆周运动.若和同时出发，的角速度为，起点位置坐标为，B的角速度为，起点位置坐标为，则（ ）

A．在末，点的坐标为
B．在末，扇形的弧长为
C．在末，点在单位圆上第二次重合
D．面积的最大值为
三、填空题
8．（2021·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则 ．
9．（2023·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，角以Ox为始边，且．把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则 ；
10．（2024·湖北·模拟预测）函数，设为的最小正周期，若，则 .
四、解答题
11．（2021·上海闵行·二模）某植物园中有一块等腰三角形的花圃，腰长为20米，顶角为30°，现在花圃内修一条步行道(步行道的宽度忽略不计)，将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合.步行道用曲线表示(D､E两点分别在腰､上，以下结果精确到0.01).
（1）如果曲线是以A为圆心的一段圆弧(如图1)，求的长；
（2）如果曲线是直道(如图2)，求的最小值，并求此时直道的长度.
12．（2023·贵州·模拟预测）如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.

(1)求；
(2)若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.
【能力篇】
一、单选题
1．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）“且”是“为第三象限角”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
2．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（ ）
A．B．
C．若，则D．是周期函数
三、填空题
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）用成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为 ．
四、解答题
4．（2022·上海虹口·二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.
(1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）如图所示，面积为的扇形OMN中，M，N分别在x，y轴上，点P在弧MN上（点P与点M，N不重合），分别在点P，N作扇形OMN所在圆的切线交于点Q，其中与x轴交于点R，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．2
二、多选题
2．（23-24高三上·山东威海·期末）质点和同时出发，在以原点为圆心，半径为的上逆时针作匀速圆周运动.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
3．（2021·上海·模拟预测）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x叫做α的余弦函数，记作cs α，即cs α＝x
正切
eq \f(y,x)叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
专题20 任意角和弧度制及三角函数的概念（新高考专用）
目录
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】7
【考点1】象限角及终边相同的角7
【考点2】弧度制及其应用12
【考点3】三角函数的定义及应用17
【分层检测】21
【基础篇】21
【能力篇】28
【培优篇】31
考试要求：
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
知识梳理
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
3.任意角的三角函数
(1)定义
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝eq \f(y,r)；cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0).
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.
3.象限角
4.轴线角
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
4．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

5．（2023·全国·高考真题）若，则 ．
6．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
2．B
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
3．
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
故答案为：.
4．
【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
5．
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
6．（满足即可）
【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.
【详解】与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
考点突破
【考点1】象限角及终边相同的角
一、单选题
1．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
二、多选题
3．（23-24高一上·吉林长春·期末）下列说法正确的是（ ）
A．“为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件
B．“，”是“”的充要条件
C．设，，则“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
4．（22-23高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（ ）
A．轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为
B．若，则
C．已知为锐角，，角的终边上有一点，则
D．在范围内，与角终边相同的角是和
三、填空题
5．（2022·河南开封·三模）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称.若，则 .
6．（2022·全国·模拟预测）已知的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在第二象限，，则的值为 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角的集合.
【详解】终边落在阴影部分的角为，，
即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是．
故选：B．
2．A
【分析】写出象限角的取值范围，可求出是第一象限角或第三象限角，再由可得出选项.
【详解】因为角第二象限角，所以，
所以，所以角是第一象限角或第三象限角．
又因为，即，所以角是第一象限角，
故选：A．
3．AC
【分析】对于A，利用象限角，求得角的范围，可判定充分性，取，验证必要性即可；对于B，考查时，的取值范围，可判定必要性不成立；对于C，根据集合，的关系即可判定；对于D，根据条件求得的取值范围即可判断.
【详解】对于A,因为为第一象限角，
所以，
则,
当为偶数时，为第一象限角，
当为奇数时，为第三象限角，
所以充分性成立；
当时，为第一象限角，则，为第二象限角，
即必要性不成立，故A正确；
对于B，当，时，
成立，则充分性成立；
当时，或，,
故必要性不成立，则B错误；
对于C，，
而，
则，故则“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D,当时，,
则，
则，故充分性成立，
当时，，
则，
则成立，
所以“”是“”的充要条件，故D错误，
故选：AC.
4．ABD
【分析】对于A，根据扇形相关知识计算即可；
对于B，根据角的范围判断正弦值和余弦值的符号，结合诱导公式和同角三角函数的平方关系化简即可；
对于C，通过同角三角函数关系和三角函数定义求得，，再通过两角和的正切公式代入计算即可；
对于D，根据终边相同的角的概念直接判断.
【详解】对于A，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，设其母线长为，则其底面圆的直径为，
则圆锥侧面展开图的半径（即圆锥母线长）为，弧长（即底面周长）为，
所以其侧面展开图的圆心角的弧度数为，故A正确；
对于B，若，则，则，
则
，故B正确；
对于C，若为锐角，，则，则，
角的终边上有一点，则，
则，故C错误；
对于D，在范围内，与角终边相同的角是和，故D正确.
故选：ABD
5．
【分析】根据给定条件，用表示出，再代入并结合诱导公式、二倍角公式计算作答.
【详解】因在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称，
则有，即，而，
所以，，.
故答案为：
6．
【分析】由题知在第一象限，，，再根据正切的二倍角公式求解即可.
【详解】解：由在第二象限可知，在第一、三象限，
又，所以在第一象限，
所以，故．
因此．
故答案为：
反思提升：
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在的位置.
【考点2】弧度制及其应用
一、单选题
1．（2023·陕西安康·三模）羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，．若，则下列说法正确的是（ ）

A．当时，的面积为
B．当时，扇形的面积为
C．当时，四边形的面积为
D．四边形面积的最大值为1
4．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）质点A，B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上同时出发做逆时针匀速圆周运动，点A的起点在射线（）与圆O的交点处，点A的角速度为，点B的起点在圆O与x轴正半轴的交点处，点B的角速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．在末时，点B的坐标为
B．在末时，劣弧的长为
C．在末时，点A与点B重合
D．当点A与点B重合时，点A的坐标可以为
三、填空题
5．（2023·上海普陀·一模）若圆上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角的大小为 .
6．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为 百米.
参考答案：
1．C
【分析】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，求出小圆锥的母线长后可得展开图圆心角．
【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，
设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为，由相似得，即，
∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为.
故选：C．
2．C
【分析】先求出，，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环的面积可得该梅花砖雕的表面积.
【详解】
延长与交于点．由，，得，．
因为所对的圆心角为直角，所以，．
所以该梅花砖雕的侧面积，
扇环的面积为，
则该梅花砖雕的表面积．
故选：C．
3．AC
【分析】根据三角形面积公式可判断A；由扇形面积公式可判定B；，根据三角形面积公式即可判断C；，借助三角函数恒等式化简即可判断D.
【详解】由题意，得圆的半径，，，．
对于A，由，，得，
则，故A正确；
对于B，当时，因为，
所以扇形的面积，故B错误；
对于C，当时，
，故C正确；
对于D，
，
由，得
，
所以当，即时，取得最大值，为，故D错误．
故选：AC
4．BD
【分析】根据旋转的弧度数，结合三角函数的定义以及弧长公式判断AB；设时刻点A与点B重合，求出则可以判断CD.
【详解】由题意，末时，射线逆时针旋转了，则点B的坐标为，A错；
点A的初始位置为，后，射线逆时针旋转了，
则，所以劣弧的长为，B对；
设时刻点A与点B重合，则，
令，所以在末时，点A与点B不重合，C错；
由C知，时，点A与点B第一次重合，此时射线逆时针旋转了，
射线逆时针旋转了，可得A与点B重合于，
此时点A的坐标为．D对，
故选：BD．
5．1弧度
【分析】根据弧度的定义求解即可．
【详解】圆的内接正六边形的边长等于圆半径，弧长等于半径的弧所对圆心角为1弧度角．
故答案为：1弧度．
6．
【分析】设半圆步道直径为百米，连接，借助相似三角形性质用表示，结合对称性求出步道长度关于的函数关系，利用导数求出最大值即得.
【详解】设半圆步道直径为百米，连接，显然，
由点O为线段的中点，得两个半圆步道及直道都关于过点垂直于的直线对称，
则，又，则∽，有，
即有，因此步道长，，
求导得，由，得，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
因此当时，，
所以步道的最大长度为百米.
故答案为：
反思提升：
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【考点3】三角函数的定义及应用
一、单选题
1．（2024·湖北·模拟预测）在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点、顺时针旋转角交单位圆于点，若点的纵坐标为，且的面积为，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知角终边上点坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．“是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件
B．若为第一象限角，则
C．在中，若，则为锐角三角形
D．已知，且，则
4．（2024·河北保定·二模）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫作的正弦函数，记作，即；
②把点P的横坐标x叫作的余弦函数，记作，即；
③把点P的纵坐标y的倒数叫作的余割，记作，即；
④把点P的横坐标x的倒数叫作的正割，记作，即.
下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．函数的定义域为
D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，若角的顶点为原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则 .
6．（2023·江西赣州·二模）已知为锐角，满足，则 ．
参考答案：
1．B
【分析】利用三角函数定义求出，利用三角形面积公式求出，进而求出，再利用差角的正弦求出即可得解.
【详解】由点的纵坐标为，得，，显然，
而，即，又，
因此， ，有，
，显然点在第四象限，
所以点的纵坐标为.
故选：B
2．B
【分析】先确定角的终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解.
【详解】因为，
所以角的终边在第二象限，
又因为
，
且，
所以.
故选：B.
3．ACD
【分析】对A，根据充分，必要条件的概念判断；对B，利用二倍角余弦公式化简求解；对C，将条件式切化弦结合三角变换求解判断；对D，利用二倍角余弦公式化简条件式，再弦化切求解.
【详解】对于A，若是第二象限角或第三象限角，则.若，取，
此时不是第二象限角或第三象限角，则是的充分不必要条件，故A正确；
对于B，由于为第一象限角，则，
，故B错误；
对于C，在中，若，则，所以，
故，所以，故为锐角三角形，故C正确；
对于D，由，所以，则，
由，知，故D正确.
故选：ACD.
4．ABD
【分析】根据正余弦函数及余割正割的定义逐一判断即可.
【详解】，A正确；
，B正确；
函数的定义域为，C错误；
，
当时，等号成立，D正确.
故选：ABD.
5．
【分析】先利用三角函数的定义得到，再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得.
【详解】由三角函数的定义，得，所以
.
故答案为：
6．2
【分析】
根据齐次式法运算求解即可.
【详解】因为，
整理得，解得或，
又因为为锐角，则，所以.
故答案为：2.
反思提升：
1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2023·安徽·模拟预测）已知角终边上有一点，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
2．（23-24高一上·山东菏泽·期末）集合，，，则集合中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·北京房山·一模）已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2022·福建·三模）若满足，，则可以是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知函数且的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
7．（22-23高一下·浙江杭州·期末）如图，质点和在单位圆上逆时针作匀速圆周运动.若和同时出发，的角速度为，起点位置坐标为，B的角速度为，起点位置坐标为，则（ ）

A．在末，点的坐标为
B．在末，扇形的弧长为
C．在末，点在单位圆上第二次重合
D．面积的最大值为
三、填空题
8．（2021·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则 ．
9．（2023·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，角以Ox为始边，且．把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则 ；
10．（2024·湖北·模拟预测）函数，设为的最小正周期，若，则 .
四、解答题
11．（2021·上海闵行·二模）某植物园中有一块等腰三角形的花圃，腰长为20米，顶角为30°，现在花圃内修一条步行道(步行道的宽度忽略不计)，将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合.步行道用曲线表示(D､E两点分别在腰､上，以下结果精确到0.01).
（1）如果曲线是以A为圆心的一段圆弧(如图1)，求的长；
（2）如果曲线是直道(如图2)，求的最小值，并求此时直道的长度.
12．（2023·贵州·模拟预测）如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.

(1)求；
(2)若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.
参考答案：
1．C
【分析】根据终边相同角的定义即可求解.
【详解】已知角终边上有一点，即点，
，
为第三象限角.
故选：C.
2．B
【分析】解不等式，得出整数的取值，即可得解.
【详解】解不等式，可得，
所以，整数的取值有、、，
又因为集合，，
则，即集合中的元素个数为.
故选：B.
3．C
【分析】根据给定图形求出圆心角，再利用扇形面积公式计算即得.
【详解】显然为等腰三角形，，
则，，又，
所以，于是，
所以璜身的面积近似为.
故选：C
4．D
【分析】由题意可得，再根据诱导公式及三角函数的定义即可得解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
因为把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，
所以，
所以.
故选：D.
5．AC
【分析】利用特殊角的三角函数值求解.
【详解】因为，，
所以或，
因为，
所以或，
所以
或，
或，
因为范围不定，
当时，，当时，=，
故选：AC
6．AD
【分析】根据函数解析式求出函数过的定点，再利用三角函数的定义求出和即可.
【详解】因为函数的图象经过定点,
令，得或，此时，则或,
当点在角的终边上，则；
当点在角的终边上，则；
综上：或，故AD正确，BC错误.
故选：AD.
7．BCD
【分析】求出末点和的坐标可判断选项AB;求出末点和的坐标，结合诱导公式可判断C；根据三角形面积公式可判断D.
【详解】在末,点的坐标为，点的坐标为；，扇形的弧长为；
设在末，点在单位圆上第二次重合，
则，故在末，点在单位圆上第二次重合；
,经过s后，可得，面积的可取得最大值.
故选:BCD.
8．
【解析】由题意得，然后由求解.
【详解】因为角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，且，
所以，
所以，
故答案为：
9．
【分析】由已知可得，，然后根据诱导公式即可求解.
【详解】依题意.
因为，
所以．
故答案为：.
10．/
【分析】由，代入函数解析式中，结合，可得的值.
【详解】函数，最小正周期，
由于，，
又，可得.
故答案为：.
11．（1）13.82米；（2）的最小值约为28.28米，此时直道的长度约为7.32米.
【分析】（1）先求出的面积，再结合题目条件利用扇形面积公式即可求出的值．
（2）设，，由题意可得，再利用基本不等式求出的最小值，以及此时的值，进而求出的值即可．
【详解】（1）设，依题知，扇形的面积为，
又的面积为，
由得：，解得：，
（米），故的长约为13.82米．
（2）如图2，线段平分的面积，设，，
，
，
又（当且仅当时取等号），
此时（米，（米
综上，的最小值约为28.28米，此时直道的长度约为7.32米．
12．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式直接得解；
（2）由已知可得，再利用余弦定理可得，进而可得面积.
【详解】（1）由题知，，
所以；
（2）由题知，，，
，且，所以，
而，则，故，
由正弦定理可知，整理得，
解得，
故，或.
【能力篇】
一、单选题
1．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）“且”是“为第三象限角”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
2．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（ ）
A．B．
C．若，则D．是周期函数
三、填空题
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）用成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为 ．
四、解答题
4．（2022·上海虹口·二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.
(1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？
参考答案：
1．A
【分析】利用二倍角公式以及不同象限角的三角函数值符号，即可判断出结果.
【详解】充分性：由可知，
又由可得可知，
综上，，即为第三象限角．
必要性：若为第三象限角，则，所以，即且；
所以“且”是“为第三象限角”的充要条件．
故选：A．
2．ACD
【分析】根据题意分别求出，，则，，从而可对A判断求解，利用换元法令可对B判断求解，由求出，并结合从而可对C判断求解，由可对D判断求解.
【详解】由题意得在角的终边上，且，所以，，
则，，
对A：，故A正确；
对B：，令，
所以，故B错误；
对C：，解得，
又由，故C正确；
对D：，因为为周期函数，故D正确.
故选：ACD.
3．
【分析】
根据扇形的面积及弧长求出母线及底面圆半径，再由余弦定理求解.
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，
∵扇形的圆心角为
，解得，
∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长，
，
所以圆锥的轴截面中，，，
由余弦定理可得，
故答案为：
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理可得的大小，再根据正弦定理可得，进而求得扇形的半径，从而得到种植花卉区域的面积
（2）设，根据直角三角形中的关系可得关于的表达式，从而得到平行四边形的面积表达式，从而根据三角函数的最值求解即可
【详解】（1）由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半径，故种植花卉区域的面积
（2）设，则，故，，故平行四边形绿地占地面积，因为，故要面积最小，则当，即，时面积取得最小值，即多大时，平行四边形绿地占地面积最小
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）如图所示，面积为的扇形OMN中，M，N分别在x，y轴上，点P在弧MN上（点P与点M，N不重合），分别在点P，N作扇形OMN所在圆的切线交于点Q，其中与x轴交于点R，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．2
二、多选题
2．（23-24高三上·山东威海·期末）质点和同时出发，在以原点为圆心，半径为的上逆时针作匀速圆周运动.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
3．（2021·上海·模拟预测）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是
参考答案：
1．B
【分析】利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，设，用的函数表示，再利用三角变换，结合基本不等式求解即得.
【详解】由扇形的面积为，得，解得，设，
在中，，连接OQ，则，
在中，，，
令，则，且，则
，
当且仅当，即时取等号，而，
所以时，取得最小值．
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.
2．BD
【分析】确定点的初始位置，由题意列出重合时刻的表达式，进而可得点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.
【详解】依题意，点的起始位置，点的起始位置，
则，设当与重合时，用的时间为，
于是，即，
则，所以，
对于A，若，则或，，
解得，或，因为，这样的不存在，故A错误；
对于B，当时，，即，故B正确；
对于C，若，则或，，
解得，或，因为，这样的不存在，故C错误；
对于D，当时，，即，故D正确；
故选：BD.
【点睛】思路点睛：通过设两质点重合时所用时间，得到重合点坐标，结合角度差，根据三角函数周期性以及诱导公式判断选项即可.
3．
【分析】利用单位圆中的终边位置研究，可知，存在正整数,使得，，由此求得的最小值.
【详解】在单位圆中分析，由题意，
的终边要落在图中阴影部分区域
（其中），
必存在某个正整数，使得终边在OB的下面，而再加上，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内，
∴，
∵对任意要成立，所以必存在某个正整数，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了），
故存在正整数,使得，即，，
同时，
∴的最小值为,
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数的性质，主要思想是在单位圆中利用数形结合思想进行研究分析.得出存在正整数,使得，是关键
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x叫做α的余弦函数，记作cs α，即cs α＝x
正切
eq \f(y,x)叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数