2025年中考数学几何专项复习专题13几何变换之翻折(轴对称)巩固练习(提优)(原卷版+解析)

这是一份2025年中考数学几何专项复习专题13几何变换之翻折(轴对称)巩固练习(提优)(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了如图，在△ABC中等内容，欢迎下载使用。
（1）面出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1向下平移5个单位长度得到的△A2B2C2；若点B的坐标为（4，2），请直接写出B2的坐标．
2．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB＝6，AC＝4，BC＝7，
（1）求PA+PB的最小值，并说明理由；
（2）求△APC周长的最小值．
3．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠MNA的度数是 ．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
4．如图，△ABC是等边三角形，点C关于AB的对称的点为E，点P是直线EB上的一个动点，连接AP，作∠APQ＝60°，交射线BC于点Q．
（1）如图1，连接AQ，求证：△APQ为等边三角形；
（2）如图2，当点P在线段EB延长线上时，请你补全图形，并写出线段BQ、AB、BP之间的数量关系（无需证明）．
5．国庆期间，广场上对一片花圃做了美化造型（如图所示），整个造型构成花的形状．造型平面呈轴对称，其正中间“花蕊”部分（区域①）摆放红花，两边“花瓣”部分（区域②）摆放黄花．
（1）两边“花瓣”部分（区域②）的面积是 ．（用含a的代数式表示）
（2）已知a＝2米，红花价格为220元/平方米，黄花价格为180元/平方米，求整个造型的造价（π取3）．
6．如图，在▱ABCD中，AD的垂直平分线经过点B，与CD的延长线交于点E，AD与BE相交于点O，连接AE，BD．
（1）求证：四边形ABDE为菱形；
（2）若AD＝8，问在BC上是否存在点P，使得PE+PD最小？若存在，求线段BP的长；若不存在，请说明理由．
7．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，连接DF，且DF＝6．
（1）求证：AF⊥DF．
（2）求BE的长．
8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°．D是边AB上一点，点D关于直线AC的对称点为E，连接EC并延长EC至点F，且CF＝EC．连接AE，BF．
（1）依题意补全图形；
（2）猜想线段AB，AE，BF的数量关系并证明．
9．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．
（1）求证：△ABE≌△GFE；
（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；
（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．
10．如图，在直角坐标系中，A（5，0），B（3，4），C（0，4），点D在OA上，∠ABD＝∠1，BH⊥OA于H．
（1）判断△OAB的形状，并说明理由．
（2）求点D的坐标．
（3）若P是BH上的动点，当△PCD的周长最小时，求△PCD的面积．
11．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积及AE与CF之间的距离．
12．问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，若AD＝3，则AE的最小值为 ；
（2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E，DE＝1cm，求△ABD的周长；
问题解决：
（3）如图③，某公园管理员拟在园内规划一个△ABC区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路AB、BC和AC，满足∠BAC＝90°，点A到BC的距离为2km．为了节约成本，要使得AB、BC、AC之和最短，试求AB+BC+AC的最小值（路宽忽略不计）．
几何变换之翻折（轴对称）巩固练习
1．已知，在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）．
（1）面出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1向下平移5个单位长度得到的△A2B2C2；若点B的坐标为（4，2），请直接写出B2的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出点A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．B2（﹣4，﹣3）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB＝6，AC＝4，BC＝7，
（1）求PA+PB的最小值，并说明理由；
（2）求△APC周长的最小值．
【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论；
（2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．
【解答】解：（1）PA+PB＝AB＝6；
原因：两点之间，线段最短；
（2）∵m是BC的垂直平分线，点P在m上，
∴点C关于直线m的对称点是点B且PB＝PC，
∵C△ABC＝AP+PC+AC，
∵AC＝4，
要使△APC周长最小，
即AP+PC最小，
当点P是m与AB的交点时，PA+PB最小，
即PA+PB＝AB，此时C△ABC＝AB+AC＝6+4＝10．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
3．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠MNA的度数是 50° ．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
【分析】（1）依据△ABC是等腰三角形，即可得到∠ACB的度数以及∠A的度数，再根据MN是垂直平分线，即可得到∠ANM的度数，进而得出∠AMN的度数；
（2）①依据垂直平分线的性质，即可得到AM＝BM，进而得出△BCM的周长＝AC+BC，再根据AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，即可得到BC的长；
②依据PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，即可得到当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小，进而得出△PBC的周长最小值．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∴∠A＝40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM＝90°，
∴∠NMA＝50°，
故答案为：50°；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴△BCM的周长＝BM+CM+BC＝AM+MC+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，
∴BC＝14﹣8＝6（cm）；
②当P与M重合时，△PBC的周长最小．
理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，
∴当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，
∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝8+6＝14（cm）．
【点评】本题主要考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
4．如图，△ABC是等边三角形，点C关于AB的对称的点为E，点P是直线EB上的一个动点，连接AP，作∠APQ＝60°，交射线BC于点Q．
（1）如图1，连接AQ，求证：△APQ为等边三角形；
（2）如图2，当点P在线段EB延长线上时，请你补全图形，并写出线段BQ、AB、BP之间的数量关系（无需证明）．
【分析】（1）如图1中，作∠BPF＝60°交AB于点F，连接AQ．证明△PBQ≌△PFA（ASA），可得结论．
（2）结论：BQ＝BP+AB．如图2中，在BD上取一点F，使得BF＝PB，连接AQ．证明△BPA≌△FPQ（SAS），推出AB＝QF，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，作∠BPF＝60°交AB于点F，连接AQ．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵点E与点C关于AB对称，
∴∠EBA＝∠CBA＝60°＝∠BPF，
∴∠PFB＝60°．
∴△PBF是等边三角形，
∴PB＝PF，AFP＝120°＝∠PBQ．
∵∠BPQ+∠QPF＝60°，∠APF+∠QPF＝60°，
∴∠BPQ＝∠APF，
在△PBQ和△PFA中，
∠BPQ=∠APFPB=PF∠PBQ=∠PFA，
∴△PBQ≌△PFA（ASA），
∴PQ＝PA，
∵∠APQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
（2）解：补全图形，如图2所示：
②解：结论：BQ＝BP+AB．
理由：如图3中，在BD上取一点F，使得BF＝PB，连接AQ．
∵∠FBP＝60°，BF＝BP，
∴△FBP是等边三角形，
∴∠BPF＝∠APQ＝60°，
∴∠APB＝∠FPQ，
∵PB＝PF，PA＝PQ，
∴△BPA≌△FPQ（SAS），
∴AB＝QF，
∴BQ＝BF+FQ＝BP+AB．
【点评】考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．国庆期间，广场上对一片花圃做了美化造型（如图所示），整个造型构成花的形状．造型平面呈轴对称，其正中间“花蕊”部分（区域①）摆放红花，两边“花瓣”部分（区域②）摆放黄花．
（1）两边“花瓣”部分（区域②）的面积是 2a2+π2•a2 ．（用含a的代数式表示）
（2）已知a＝2米，红花价格为220元/平方米，黄花价格为180元/平方米，求整个造型的造价（π取3）．
【分析】（1）区域②的面积＝三个正方形的面积+应该半圆的面积．
（2）分别求出区域①，②的面积，再乘以单价即可．
【解答】解：（1）区域②的面积＝2a2+12•π•a2＝2a2+π2•a2．
故答案为：2a2+π2•a2．
（2）整个造型的造价：220（2×22−π2×22）+180（2×22+12•π•22）＝2960（元）．
【点评】本题考查轴对称，正方形的性质，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．如图，在▱ABCD中，AD的垂直平分线经过点B，与CD的延长线交于点E，AD与BE相交于点O，连接AE，BD．
（1）求证：四边形ABDE为菱形；
（2）若AD＝8，问在BC上是否存在点P，使得PE+PD最小？若存在，求线段BP的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得出AO＝DO，AD⊥BE．根据平行四边形的性质得出AB∥CD．即可得出∠ABE＝∠BED．从而证得△AOB≌△DOE（AAS），得到BO＝EO．即可证得四边形ABDE是平行四边形．由AD⊥BE，证得四边形ABDE是菱形；
（2）作点D关于BC的对称点D'，DD′交BC于点G，延长EB，过D'作DM⊥BE于点M，连接ED'交BC于点P，此时PD+PE最小；根据题意得到BO＝DG．BM＝GD．即可得到MD'＝DO=12AD＝4．进一步得到BO＝EO＝BM．通过证得△BEP∽△MED′，得到BPMD'=BEEM=23，进而证得BP=83．
【解答】（1）证明：∵BE垂直平分AD，
.∴AO＝DO，AD⊥BE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠ABE＝∠BED．
∵∠AOB＝∠DOE，
又AO＝DO，
∴△AOB≌△DOE（AAS），
∴BO＝EO．
又AO＝DO，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∵AD⊥BE，
∴四边形ABDE是菱形；
（2）解：如图所示：作点D关于BC的对称点D'，DD′交BC于点G，延长EB，过D'作DM⊥BE于点M，连接ED'交BC于点P，此时PD+PE最小；
∵∠B0D＝∠OBC＝∠BGD＝90°，
∴四边形ODGB是矩形．
∴BO＝DG．
同理BM＝GD．
∴MD'＝DO=12AD＝4．
又BO＝EO，
∴BO＝EO＝BM．
∵∠EBP＝∠M＝90°，∠BEP＝∠MED'，
∴△BEP∽△MED′，
∴BPMD'=BEEM=23，
∴BP4=23，即BP=83．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，三角形求得的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握性质定理是解题的关键．
7．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，连接DF，且DF＝6．
（1）求证：AF⊥DF．
（2）求BE的长．
【分析】（1）由折叠的性质和勾股定理的逆定理证出△ADF是直角三角形即可；
（2）设BE＝x，则EF＝x，DE＝6+x，EC＝10﹣x，在Rt△DCE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，
∴AF＝AB＝8，
∵AF2+DF2＝62+82＝100＝102＝AD2，
∴△ADF是直角三角形，∠AFD＝90°
∴AF⊥DF；
（2）解：由折叠的性质得：BE＝FE，∠B＝∠AFE＝90°，
又∵∠AFD＝90°，
∴∠AFE+∠AFD＝180°，
∴点D，F，E在一条直线上，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠C＝90°，
设BE＝x，则EF＝x，DE＝6+x，EC＝10﹣x，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CE2+CD2＝DE2，
即（10﹣x）2+82＝（6+x）2．
解得：x＝4．
∴BE＝4．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理的逆定理、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理以及逆定理是解题的关键．
8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°．D是边AB上一点，点D关于直线AC的对称点为E，连接EC并延长EC至点F，且CF＝EC．连接AE，BF．
（1）依题意补全图形；
（2）猜想线段AB，AE，BF的数量关系并证明．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）结论：AB＝AE+BF．想办法证明AD＝AE，BD＝BF即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）结论：AB＝AE+BF．
理由：∵D，E关于AC对称，
∴DE⊥AC，CE＝CD，AE＝AD，
∵EC＝CF，
∴CD＝CE＝CF，
∴∠EDF＝90°，
∴ED⊥FD，
∴AC∥DF，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∴DF⊥BC，
∵CD＝CF，
∴CB垂直平分线段DF，
∴BD＝BF，
∵AB＝AD+BD，AD＝AE，BD＝BF，
∴AB＝AE+BF．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．
（1）求证：△ABE≌△GFE；
（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；
（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．
【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可．
（2）求出FG的长，利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）证明点F与点C关于直线PD对称，推出当点P与D重合时，△PAF的周长最小，最小值＝△ADF的周长．
【解答】（1）证明：如图1中，∵GD∥AB，
∴∠B＝∠EFG，
在△ABE和△GFE中，
∠B=∠EFG∠AEB=∠GEFAE=EG，
∴△ABE≌△GFE（AAS）．
（2）解：如图1中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠B，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DC＝DF＝1，
∵DG＝3，
∴FG＝DG﹣DF＝2，
∵△ABE≌△GFE，
∴AB＝GF＝2．
（3）解：如图2中，∵AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∵AB∥FD，
∴∠FDC＝∠BAC＝90°，即FD⊥AC
∵AC＝AB＝2，CD＝1，
∴DA＝DC，
∴FA＝FC，
∴∠C＝∠FAC＝45°，
∴∠AFC＝90°，
∴DF＝DA＝DC＝1，
∴AF=2，
∵DH⊥CF，
∴FH＝CH，
∴点F与点C关于直线PD对称，
∴当点P与D重合时，△PAF的周长最小，最小值＝△ADF的周长＝2+2．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
10．如图，在直角坐标系中，A（5，0），B（3，4），C（0，4），点D在OA上，∠ABD＝∠1，BH⊥OA于H．
（1）判断△OAB的形状，并说明理由．
（2）求点D的坐标．
（3）若P是BH上的动点，当△PCD的周长最小时，求△PCD的面积．
【分析】（1）依据勾股定理即可得到OB的长，依据点A的坐标即可得到OA的长，进而得出△AOB是等腰三角形；
（2）依据四边形BCOH是矩形，即可得到OH＝BC＝3，进而得出AH＝AO﹣HO＝2，再根据△ABD是等腰三角形，即可得到DH的长，进而得到点D的坐标；
（3）连接AC，交BH于P，连接PD，依据PD＝PA，可得PC+PD+CD＝PC+PA+CD＝AC+CD，此时，△PCD的周长最小，求得PH=85，再根据S△PCD＝S梯形PHOC﹣S△COD﹣S△PHD进行计算即可．
【解答】解：（1）△AOB是等腰三角形，理由如下：
∵B（3，4），C（0，4），
∴BC∥OA，OC＝4，
∴Rt△BOC中，OB=32+42=5，
∵A（5，0），
∴OA＝5，
∴OA＝OB，即△AOB的等腰三角形；
（2）如图1，∵BH⊥AO，BC∥OA，
∴∠BHO＝90°＝∠COH＝∠BCO，
∴四边形BCOH是矩形，
∴OH＝BC＝3，
∴AH＝AO﹣HO＝2，
∵∠ABD＝∠1，
∴∠ABO＝∠CBD，
由BC∥AO可得∠3＝∠CBD，
由（1）可得∠2＝∠ABO，
∴∠3＝∠2，
∴AB＝DB，
∴AH＝DH＝2，
∴OD＝OH﹣DH＝3﹣2＝1，
∴D（1，0）；
（3）如图2，连接AC，交BH于P，连接PD，
由（2）可得，PD＝PA，
∴PC+PD+CD＝PC+PA+CD＝AC+CD，
此时，△PCD的周长最小，
设AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（5，0），C（0，4）代入可得，
0=5k+b4=b，
解得k=−45b=4，
∴直线AC的解析式为y=−45x+4，
当x＝3时，y=85，
∴P（3，85），即PH=85，
∴S△PCD＝S梯形PHOC﹣S△COD﹣S△PHD
=(85+4)×32−12×4×1−12×85×2
=425−2−85
=245．
【点评】本题主要考查了勾股定理、三角形的面积以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积及AE与CF之间的距离．
【分析】（1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB＝CD，AD∥BC，∠ANF＝90°，∠CME＝90°，易得AN＝CM，由平行四边形的判定定理可得结论；
（2）由AB＝6，AC＝10，可得BC＝8，设CE＝x，则EM＝8﹣x，CM＝10﹣6＝4，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠CAB＝∠ACD．
由折叠的性质可得∠EAB＝∠EAC，∠ACF＝∠FCD，
又∵∠CAB＝∠ACD，
∴∠EAC＝∠ACF，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，
则根据勾股定理得，BC＝8．
∵AM＝AB﹣6，
∴CM＝AC﹣AM＝AC﹣AB＝4．
设CE＝x，则BE＝EM＝8﹣x，
在Rt△EMC中，利用勾股定理可得EM2+CM2＝CE2，
即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，
故四边形AECF的面积＝AB•CE＝6×5＝30．
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=35，
设AE与CF之间的距离为h，
则AE•h＝30，
即35ℎ=30，
∴ℎ=25．
【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．
12．问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，若AD＝3，则AE的最小值为 3 ；
（2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E，DE＝1cm，求△ABD的周长；
问题解决：
（3）如图③，某公园管理员拟在园内规划一个△ABC区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路AB、BC和AC，满足∠BAC＝90°，点A到BC的距离为2km．为了节约成本，要使得AB、BC、AC之和最短，试求AB+BC+AC的最小值（路宽忽略不计）．
【分析】（1）根据AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，AD＝3，即可求AE的最小值；
（2）根据AB＝AC，∠BAC＝120°，可得∠B＝∠C＝30°，根据DE是AC的垂直平分线，可得AD＝CD，∠DAC＝∠C＝30°，∠BAD＝90°，根据勾股定理即可求出△ABD的周长；
（3）延长CB到点D，使得AB＝DB，延长BC到点E，使得CE＝AC，连接AD、AE，DE的最小值即为AB+BC+AC的最小值，以DE为斜边向下作等腰直角三角形ODE，以点O为圆心，OD为半径作圆O，180°−12∠DOE＝135°，可得点A在弦DE所对的劣弧，过点A作AP⊥DE于P，过点O作OH⊥DE于H，连接OA，则AP＝2，则AP+OH≤AO，可得2+x≤2x，所以DE的最小值为2x．
【解答】解：（1）∵AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，
AD＝3，则AE的最小值为3，
故答案为：3；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C=12（180°﹣120°）＝30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△CDE中，DE＝1cm，
∴AD＝CD＝2DE＝2cm，
在RtABD中，BD＝2AD＝2CD＝4（cm），AB＝ADtan60°＝23（cm），
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB＝2+4+23=6+23（cm）．
（3）延长CB到点D，使得AB＝DB，延长BC到点E，使得CE＝AC，连接AD、AE，
∴∠ADB＝∠DAB=12∠ABC，∠AEC＝∠CAE=12∠ACB，AB+BC+AC＝DB+BC+CE＝DE，
∴DE的最小值即为AB+BC+AC的最小值．
∵∠DAB+∠CAE=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠BAC）＝45°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝135°，
以DE为斜边向下作等腰直角三角形ODE，以点O为圆心，OD为半径作圆O，∠EAD＝180°−12∠DOE＝135°，
∴点A在弦DE所对的劣弧，
过点A作AP⊥DE于P，过点O作OH⊥DE于H，连接OA，则AP＝2，
设DH＝x，则DE＝2x，OH＝x，OA＝OD=2x，
则AP+OH≤AO，可得2+x≤2x，
∴x≥22−1．
∴DE的最小值为2x=42−1=42+4．
∴AB+BC+AC的最小值为（42+4）km．
【点评】本题是轴对称综合题，解决本题的关键是综合掌握线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、含30度角的直角三角形、勾股定理等知识．