初中数学湘教版（2024）七年级下册（2024）第1章 整式的乘法1.2 乘法公式导学案及答案

这是一份初中数学湘教版（2024）七年级下册（2024）第1章 整式的乘法1.2 乘法公式导学案及答案，共5页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，情景导入，初步认识，思考探究，获取新知，运用新知，深化理解等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1．熟练地运用乘法公式进行计算．
2．能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算．
【学习重难点】
重点：正确选择乘法公式进行运算．
难点：综合运用平方差公式和完全平方公式进行多项式的计算．
【学习过程】
【情景导入，初步认识】
1．什么是平方差公式？
2．什么是完全平方公式？
3．在应用乘法公式时应注意些什么？
【思考探究，获取新知】
1．我们在学习的过程中会碰到很多的“难题”，其实我们只要经过仔细的观察、认真的思考，我们会发现大部分的难题是由简单的因素构成的，下面我们一起来处理两个问题．
(1)(a＋1)(a2＋1)(a－1)
＝(a＋1)(a－1)(a2＋1)(乘法的交换律)
＝(a2－1)(a2＋1)＝(a2)2－1
＝a4－1.
(2)(a＋b＋1)(a＋b－1)
＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1
＝a2＋2ab＋b2－1.
2．运用乘法公式计算：
(1)[(a＋3)(a－3)]2；
解：[(a＋3)(a－3)]2
＝(a2－9)2＝(a2)2－2·a2·9＋92
＝a4－18a2＋81.
(2)(a－b＋c)(a＋b－c)．
解：(a－b＋c)(a＋b－c)
＝[a－(b－c)][a＋(b－c)]＝a2－(b－c)2
＝a2－(b2－2bc＋c2)＝a2－b2＋2bc－c2.
3．运用乘法公式计算：(a＋b＋c)2.
解：(a＋b＋c)2
＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2
＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
归纳结论
遇到多项式的乘法时，我们要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以达到简化运算的目的．
【运用新知，深化理解】
1．见教材例题．
2．下列运算中，正确的是( C )
A．(a＋3)(a－3)＝a2－3
B．(3b＋2)(3b－2)＝3b2－4
C．(3m－2n)(－2n－3m)＝4n2－9m2
D．(x＋2)(x－3)＝x2－6
3．若一个4位数abcd能被4整除，则c，d满足的条件为2c＋d＝4k(k为整数)．
4．解方程：
5x＋6(3x＋2)(－2＋3x)－54eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))＝2.
解：5x＋6(9x2－4)－54eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,9)))＝2，
5x＋54x2－24－54x2＋6＝2，
5x＝20，
x＝4.
5．计算：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,22)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,24)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,28)))＋eq \f(1,215).
解：原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,22)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,24)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,28)))＋eq \f(1,215)
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,216)))＋eq \f(1,215)
＝2.
6．计算：(2－x)3.
解：原式＝(2－x)(2－x)2
＝(2－x)(4－4x＋x2)
＝8－8x＋2x2－4x＋4x2－x3
＝－x3＋6x2－12x＋8.
7．计算：(x＋y－2)(x－y－2)．
解：原式＝[(x－2)＋y][(x－2)－y]
＝(x－2)2－y2
＝x2－4x＋4－y2.
8．观察下列各式的规律．
12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；
22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；
32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；
…
(1)写出第2 025行的式子；
(2)写出第n行的式子，并验证你的结论．
解：(1)(2 025)2＋(2 025×2 026)2＋(2 026)2＝(2 025×2 026＋1)2.
(2)n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.
因为n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2
＝n2＋n2(n＋1)2＋n2＋2n＋1
＝n2＋n2(n2＋2n＋1)＋n2＋2n＋1
＝n2＋n4＋2n3＋n2＋n2＋2n＋1
＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1.
而[n(n＋1)＋1]2＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1
＝n2(n2＋2n＋1)＋2n2＋2n＋1
＝n4＋2n3＋n2＋2n2＋2n＋1
＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1，
所以n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.