长沙市麓山国际实验学校2024-2025学年高三下学期入学考试数学试卷答案

这是一份长沙市麓山国际实验学校2024-2025学年高三下学期入学考试数学试卷答案，共18页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
总分: 150 分 时量: 120 分钟
一、单项选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.
C.D.或
【答案】C
【解析】
【分析】首先通过联立方程，求解的元素，再根据集合的形式，判断选项.
【详解】联立，得，
所以.
故选：C
2.若复数满足，则其共轭复数为（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的除法运算结合共轭复数概念即可求解.
【详解】由，
可得：，
所以，
故选：B
3.等比数列中， ，则 （ ）
A.2B.4C.9D.252
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的定义求解即可.
【详解】因为是等比数列，设其公比为，所以，解得，
所以.
故选：B.
4.设，，是非零向量，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】分别判断充分性和必要性成立情况得出结论.
【详解】若，则，；
若，则，即.
“”是“”的必要而不充分条件；
故选：B.
5.若函数,恰有两个零点，则实数取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析该分段函数在各段上的零点情况，将问题转化为直线与在上有一个交点的问题，结合函数的图象即得参数的范围.
【详解】当时，由可得，
依题意， 时， 有1个零点，
即方程在上有一个实根，
也即直线与在上有一个交点.
如图作出函数的图象.
因在上单调递增，由图可知，此时.
综上，实数的取值范围是.
故选：D
6.过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（ ）
A.B.
C.或D.或
【答案】B
【解析】
【分析】易得，根据题意可得圆心到直线的距离，进而可得出答案.
【详解】⊙M：的圆心，半径，
由，得，
由题意可得圆心到直线的距离，
即，解得.
故选：B.
7.如图，过原点的直线交椭圆于两点，过点分别作轴、的垂线，且分别交椭圆于点，，连接交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，则，由，共线，点在椭圆上，得坐标关系，联立求解即可.
【详解】设，则，
由，则，即，①
由三点共线，则，即，②
又因为，即，③
将①②代入③得，则.
故选：D.
8.已知正数，满足，若恒成立，则实数的最小值为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分离参数可得，即可得到，再结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以等价于，
又，所以，则，
即，
又，
所以，即实数的最小值为.
故选：A
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.
9.下面命题中是假命题的有（ ）
A 中，若，则
B.若，则是第一象限角或第二象限角
C.若一个扇形所在圆的半径为，其圆心角为弧度，则扇形的周长为
D.函数的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用正弦定理结合大边对大角可判断A选项；利用三角函数值的符号与角的终边的关系可判断B选项；利用扇形的弧长公式可判断C选项；取可判断D选项.
【详解】对于A选项，中，若，则，所以，，A对；
对于B选项，若，则是第一象限角或第二象限角或角的终边在轴的非负半轴，B错；
对于C选项，若一个扇形所在圆的半径为，其圆心角为弧度，则扇形的周长为，C对；
对于D选项，若，则，D错.
故选：BD.
10.已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（ ）
A.展开式共有6项
B.二项式系数最大的项是第4项
C.展开式的常数项为540
D.展开式有理项共有3项
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用赋值法求出幂指数，再结合展开式的通项，逐项判断即可.
【详解】由二项式的展开式中各项系数之和是，得当时，，解得，
对于A，展开式共7项，A错误；
对于B，二项式系数最大的项是第4项，B正确；
二项式展开式的通项，
对于C，由，得，则展开式的常数项，C正确；
对于D，由为整数，得，因此展开式的有理项共有4项，D错误.
故选：BC
11.已知等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，最大
B.使得成立的最小自然数
C.
D.数列中的最小项为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用等差数列及，判断出、、，再利用等差数列和等差数列前n项和的性质逐项判断即可.
【详解】若，则，，故，
所以，即等差数列是递减数列，
A：由上分析，数列前7项为正，其余项为负，故时，最大，对；
B：由，，则，，
所以成立的最小自然数，错；
C：，则，对；
D：当或时，，当时，，
由，，所以数列中的最小项为，对.
故选：ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为________．(若，则)
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，即可根据集合的包含关系列出不等式组，从而得解．
【详解】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，
由可得，，
所以，解得：，故σ至多为．
故答案为：．
13.正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为________
【答案】
【解析】
【分析】由直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N，得到五边形为平面截正方体所得的截面，然后根据E，F为中点，利用三角形相似，确定点M，N的位置求解.
【详解】解：如图所示：
直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N，
则五边形为平面截正方体所得的截面，
因为E，F分别是，的中点，
所以易得，
所以，
因为，所以，
可得，同理可得，
所以五边形的周长为，
故答案为：
14.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】将函数的零点问题转化为方程的根的问题，易知的最大值为；
解法一：利用方程根的判别式求出参数的取值范围，并分类讨论是否符合题意即可求出结果；
解法二：结合图象对的两根的分布情况进行分类讨论即可求得参数的取值范围.
【详解】令，得；
设，则方程，即，
易知，所以在上单调递增，在1,+∞上单调递减，可得，
易知当时，gx>0，当时，gx