沪科版（2024）七年级下册（2024）6.2 无理数和实数第1课时学案设计

这是一份沪科版（2024）七年级下册（2024）6.2 无理数和实数第1课时学案设计，共6页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
了解无理数和实数的概念，会对一组实数进行分类．
【学习重点】
无理数、实数的概念．
【学习难点】
无理数、实数的概念．
学习过程
一、组织学习，温故知新
1．有理数是怎样分类的？
有理数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(整数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正整数,0,负整数)),分数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正分数,负分数)))) 或有理数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正有理数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正整数,正分数)),0,负有理数\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(负整数,负分数))))
2．把下列各数填在相应的括号里．
－2，－eq \f(3,4)，－2.5，0，0.eq \(3,\s\up6(·))，1，eq \f(4,3)，eq \f(22,7)，eq \f(3,4)，eq \f(1,2)，－0.eq \(81,\s\up6(··)).
整数：{－2，0，1}；
分数：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－2.5，0.\(3,\s\up6(·))，\f(4,3)，\f(22,7)，\f(3,4)，\f(1,2)，－0.\(8,\s\up6(·))\(1,\s\up6(·)) )).
归纳：任何一个有理数，都可以化成有限小数或无限循环小数的形式．反之，任何一个有限小数或无限循环小数都可以写成一个分数的形式．因此，任何一个有理数都可以写成分数的形式．
二、创设情境，引入新课
1．创设情境．
如图是由4条横线、5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1.从这些纵横线相交得出的20个点(称为格点)中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫作格点正方形．
eq \(\s\up7(,题图) ,答图)
问题1：(1)有面积分别是1，4，9的格点正方形吗？分别有几个？边长是多少？
(2)有面积是2的格点正方形吗？把它画出来，有几个？
(3)有面积是5的格点正方形吗？把它画出来，有几个？
解：(1)面积是1的格点正方形有12个，边长是1；面积是4的格点正方形有6个，边长是2；面积是9的格点正方形有2个，边长是3.
(2)因为四个边长为1的相邻正方形的总面积为4，它们的对角线围成的格点正方形的面积是总面积的一半，所以四个边长为1的相邻正方形的对角线围成的格点正方形是一个面积为2的格点正方形(如答图)．题图中有6个面积为2的格点正方形．图略．
(3)因为一个面积为9的格点正方形相邻两边长的eq \f(1,3)点和eq \f(2,3)点的连线为边长依次围成的正方形的面积等于9减去4个三角形的面积，而这4个三角形刚好拼成4个格点正方形，它们的面积为4，所以一个面积为9的格点正方形相邻两边长的eq \f(1,3)点和eq \f(2,3)点的连线为边长依次围成的正方形是面积为5的格点正方形．可以画出4个面积为5的格点正方形．图略．
问题2：(1)一个面积为2的格点正方形边长是多少？
(2)一个面积为5的格点正方形边长是多少？
分析：正方形的面积等于边长的平方，我们已知正方形的面积，求边长，就是已知一个数的平方，求这个数．可以用开平方运算．
解：(1)设边长为x，则x2＝2，因为x＞0，所以x＝eq \r(2).
(2)设边长为x，则x2＝5，因为x＞0，所以x＝eq \r(5).
2．引入新课．
问题3：(1)eq \r(2)，eq \r(5)是怎样的数？
答：eq \r(2)，eq \r(5)分别是面积为2，5的格点正方形的边长．
(2)eq \r(2)介于哪两个整数之间？
答：因为1＜2＜4，所以eq \r(1)＜eq \r(2)＜eq \r(4)，即1＜eq \r(2)＜2.
(3)1和2之间的一位小数有1.1，1.2，…，1.9，那么eq \r(2)是其中的哪个小数呢？如何确定？
答：在这九个数中找出平方最接近2的那两个小数，这两个小数是1.4和1.5.因为1.42＝1.96，1.52＝2.25，1.96＜2＜2.25，所以eq \r(1.96)＜eq \r(2)＜eq \r(2.25)，即1.4＜eq \r(2)＜1.5.
(4)1.4和1.5之间的两位小数有1.41，1.42，…，1.49，那么eq \r(2)是其中的哪个小数呢？如何确定？
答：同样是在这九个数中找出平方最接近2的那两个小数，这两个小数是1.41和1.42.因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4，1.988 1＜2＜2.016 4，所以eq \r(1.988 1)＜eq \r(2)＜eq \r(2.016 4)，即1.41＜eq \r(2)＜1.42.
总结：类似地，可得1.414＜eq \r(2)＜1.415，……，像上面这样逐步逼近，我们可以得到：
eq \r(2)＝1.414 213 5…
它可以根据需要，想算到哪位，就可以算到哪位，即可无限继续算下去．
因此，eq \r(2)是一个无限不循环小数，它不是有理数．同样eq \r(5)也是一个无限不循环小数，它也不是有理数．
3．无理数的概念．
(1)有理数包括整数和分数．
(2)整数可以看作分母为1的分数．因此，整数和分数可以统一写成分数的形式．
归纳：有理数总可以写成eq \f(n,m)(m，n是正整数，且m≠0)的形式．
(3)分数都可以化为有限小数或无限循环小数．因此，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数．
(4)eq \r(2)不是无限循环小数，不是有理数，eq \r(2)是无限不循环小数．(均选填“是”或“不是”)
定义：把无限不循环小数叫作无理数.eq \r(2)是无理数．
此外，eq \r(3)＝1.732 050 807…，eq \r(3,3)＝1.442 249 57…，π＝3.141 592 65….
这些数都是无限不循环小数．开方开不尽的数都是无限不循环小数．圆周率π也是无限不循环小数．
提示：只能说开方开不尽的数是无理数，但不能说无理数就是开方开不尽的数，因为所有无限不循环小数都是无理数，不仅仅是开方开不尽的数才是无理数．
无理数可分为正无理数与负无理数．如eq \r(2)，eq \r(3)，π是正无理数，－eq \r(2)，－eq \r(3)，－π是负无理数．
4．实数的概念．
有理数和无理数统称为实数．
5．实数的分类．
可以将实数按如下方式分类．
实数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(有理数\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(正有理数,零,负有理数))\a\vs4\al(有限小数或,无限循环小数),无理数\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(正无理数,负无理数))无限不循环小数))
三、例题分析
【例1】(1)π，eq \r(64)，－eq \r(3,8)都是无理数吗？
解：π是无理数，eq \r(64)＝8、－eq \r(3,8)＝－2都是有理数．
总结：用根号形式表示的数并非都是无理数，必须先认真观察计算，不能一看见用根号形式表示的数就盲目认为是无理数．
(2)用根号形式表示的数与无理数是怎样的关系？
解：用根号形式表示的数，不一定是无理数，无理数不一定是用根号形式表示的数．
【例2】按正负对实数进行分类．
解：因为有理数、无理数都有正、负之分，所以实数也可以有正、负之分，可分为正实数、零和负实数．
四、提升练习
直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点A由原点到达A′，点A′表示的是什么数？
分析：要求出点A′表示的是什么数，只要求出点A从原点沿数轴向右滚动一周到点A′的路程长度就行了．
解：点A′表示的数是π.
总结：无理数π也可以用数轴上的点来表示．