数学七年级下册（2024）第七章 相交线与平行线7.1 相交线7.1.1 两条直线相交学案

这是一份数学七年级下册（2024）第七章 相交线与平行线7.1 相交线7.1.1 两条直线相交学案，共6页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，自主学习，合作探究，典型例题等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1. 理解邻补角、对顶角的概念，能运用对顶角相等、邻补角互补的性质进行计算与说理.
2. 通过观察、试验、猜想、说理等活动，初步学会从几何图形中提出问题、发现问题、解决问题的方法.
3. 通过对对顶角、邻补角性质的研究，体会它们在解决实际问题中的作用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
【学习重点】掌握对顶角相等，邻补角互补的性质.
【学习难点】发现两条直线相交时所形成的各类角的位置关系及数量关系
【自主学习】
如图①，在之前的课本中我们学过有关线段和角的知识.如图②，我们将角的两边反向延长，构成一个什么样的图形? 在这个图形中还有其他角吗? 如果有，这个图形中共有几个角? 各角之间有什么样的关系? 这节课我们就来研究这个问题.
【合作探究】
探究点一、邻补角与对顶角的概念.
1.画一画：任意画出两条直线 AB 和 CD 相交于点 O，按如图所示标记.
讨论 1：观察图中的四个角，∠1 和∠2 有怎样的位置关系? ∠1 和∠2 的边所在的位置有什么特点?
归纳1：像∠1 和∠2这样有一条公共边，另一边互为____________的两个角，我们称这两个角互为___________.
【练一练】
1.下列各图中，∠1 与∠2 是邻补角的是 ( )
A B C
讨论 2：邻补角与补角有什么关系?
讨论 3：观察图中的∠1 与∠3 有怎样的位置关系?
归纳2：像∠1 和∠3这样有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的_______________，我们称这两个角互为___________.
思考：上图中还有哪些对顶角。
【练一练】
2.下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是 ( )
3.如图所示，三条直线两两相交，你能说出图中所有的对顶角、邻补角吗？
对顶角：
邻补角：
探究点二、对顶角的性质.
思考：∠1 和∠2有什么样的数量关系?∠1和∠3又有什么样的数量关系呢?
讨论 4：∠1 和∠3 的数量关系还可以通过几何证明的方法得到吗?
证明：
【典型例题】
例1 如图所示，直线 a，b 相交，∠1 = 40°，求∠2，∠3，∠4 的度数.
例2 教材P3 练习T3 变式.
(1)若∠1 + ∠3 = 80°，求各个角的度数.
(2)若∠1∶∠2 = 2∶ 7，求各个角的度数.
课堂检测
A
B
C
D
1.下列图形中，∠1 与∠2 是对顶角的是( ).
2. 下列图形中的∠1 与∠2 互为邻补角的是( ).
A
B
C
D
3. 如图，直线 a，b 相交于一点. 若∠1 = 70°， 则∠2 的度数是( )
A.110° B.70° C.90° D.130°
4. 如图是一把剪刀的简笔画，其中∠1 = 40°，则∠2 的度数为 __________ ，其理由是 : ________________________________.
5.如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，则∠AOD 的对顶角是________，∠AOC 的邻补角是_______, 若∠AOC = 50°，则 ∠BOD =_______; ∠COB =_______.


第3题图 第4题图 第5题图
6. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O. 若∠BOD = 42°，OA 平分∠COE，求∠DOE 的度数.

参考答案
【合作探究】
探究点一、邻补角与对顶角的概念.
讨论1.有一条公共边，另一条边互为反向延长线.
归纳1.反向延长线、邻补角.
【练一练】1.B
讨论2.邻补角是补角的一种特殊情况，不仅在数量上互补，在位置上还有一条公共边，而互补的角与角的位置无关.
讨论3.顶点相同，角的两边互为反向延长线.
归纳2.反向延长线，对顶角.
思考：∠1 和 ∠3；∠2 和 ∠4.
【练一练】2.D 3.符合题意即可
探究点二、对顶角的性质.
思考：∠1＋∠2＝180°；∠1＝∠3
讨论4：因为 ∠1 与∠2 互补，
∠3 与∠2 互补（邻补角的定义），
所以 ∠1=∠3 （同角的补角相等）.
同理 ∠2＝∠4.
【典型例题】
例1 解：由邻补角的定义，得
∠2 = 180°-∠1
=180°- 40°= 140°；
由对顶角相等，得
∠3 =∠1 = 40°，
∠4 =∠2 = 140°.
例2 解：(1) 由对顶角相等得∠1 = ∠3 .
因为∠1 + ∠3 = 80°，
所以 ∠1 = ∠3 = 40°.
由邻补角的定义，得
∠2 = 180° -∠1 = 180°- 40°= 140°.
解：(1) 因为∠1∶∠2 = 2∶ 7，
则令∠1 = 2x，∠2 = 7x.
由邻补角的定义，得∠1 + ∠2 = 180°，
所以 2x + 7x = 180°，x = 20°，
即∠1 = 40°，∠2 = 140°.
由对顶角相等得∠1 = ∠3 = 40°
课堂检测
1.C
2.B
3.A
4.40°，对顶角相等.
5.∠BOC; ∠AOD，∠BOC ; 50 ; 130.
6.解：由对顶角相等得∠AOC = ∠BOD = 42°.
因为 OA 平分∠COE，
所以 ∠COE = 2∠AOC = 84°.
由邻补角的性质得
∠DOE = 180° - ∠COE = 180° - 84° = 96°.