初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）8.1 平方根第1课时导学案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）8.1 平方根第1课时导学案，共6页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，自主学习，合作探究，典型例题等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1. 了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根.
2. 体会平方运算到求平方根的演变过程，理解二者的互逆关系，培养勤思考、勤动笔的习惯.
3. 会利用平方和开平方的互逆关系求某些非负数的平方根，对一些特殊的数及其平方根形成记忆.
【学习重点】平方根的概念及平方根的求法.
【学习难点】求非负数的平方根.
【自主学习】
“西兰卡普”是一种土家族织锦的叫法，是土家族浓郁的民族特色和传统文化的代表，亦是国家级非物质文化遗产.如图，这张正方形的“西兰卡普”面积为 4 m²，请问它的边长是多少?
问题 1：你算出的边长是多少?
问题 2：你是怎样算出这个边长的?
【合作探究】
探究点一、平方根的概念
问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少?
问题2：填写下表：
思考1：上述表格得到的 x 值有什么特点?
思考 2：求一个数与自身相乘积的运算叫作平方，那么知道一个数的平方，求这个数的运算叫什么?
知识要点 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作 a 的______或________. 求一个数的平方根的运算，叫作_______.
比较两图中的两种运算的特点，你能发现什么？
总结：平方与开平方互为_________.根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根.
【典型例题】
例1 分别求下列各数的平方根：
(1) 64； (2) 9/100 (3) 0.01.
【练一练】1.分别求下列各数的平方根：
(1) 16/9 (2) 1.44 (3) 121
2.判断对错:
(1) 8 是 64 的平方根； ( )
(2) －8 是 64 的平方根； ( )
(3) ±8 是 64 的平方根； ( )
(4) 一个数的平方等于81，则这个数是9. ( )
探究点二、平方根的性质
思考1：观察以上平方和开平方的过程你有什么发现?
思考2：1，4，9，1/4 的平方根是多少?它们有什么特点？
思考3：0 的平方根是多少?
思考4：－1，－4，－9，－1/4 的平方根是多少?
平方根的性质归纳
性质1：__________________________________；
性质2：__________________________________；
性质3：__________________________________.
追问：前面我们学了一个数的平方的书写方式，那一个数的平方根又该如何表示呢?
正数 a 的正的平方根记为“a”，读作“根号 a ”， a 叫作被开方数；
正数 a 的负的平方根记为“－a ”，读作“负根号 a ”
0 的平方根记为 0 = 0
注意：只有当 a ≥ 0 时， a才有意义. 而当a ＜ 0 时，a无意义.
【典型例题】
例2 下列各数有平方根吗? 如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
(1) 0.36； (2) －5； (3) (－4)2.
【练一练】
3. m－1 与 3－2m 是某正数的两个不同的平方根，则 m 的值是( )
A. 4 B. 2 C. －2 D. －4/3
4. 求下列式子中 x 的值.
(1) x2 = 49 (2) 4x² = 9
课堂检测
1.16的平方根是( )
A.4 B.-4 C.±4 D.±8
2. 下列说法正确的是( )
A. 任何非负数都有两个平方根
B. 一个正数的平方根仍然是正数
C. 只有正数才有平方根
D. 负数没有平方根
3. 求下列各数（式）的平方根：
(1) 124/25 ； (2) 0.0001； (3) (－2)2.
4. 求下列各式中x的值：
(1) 81x2－49＝0； (2) 49(x2＋1)＝50.
5. 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数.
参考答案
【自主学习】
问题1 面积＝边长×边长 边长为 2 m
问题2 通过正方形的面积公式反推出来
【合作探究】
探究点一、平方根的概念
问题1 3或－3 问题2 ±1 ±4 ±0.6 ±7 ±1/5
思考1 都有两个值，且这两个值互为相反数 思考2 开平方
知识要点 平方根 二次方根 开平方
总结 逆运算
【典型例题】
例1 解：(1) 因为 ( ±8 )2 = 64，所以 64 的平方根是 ±8；
(2) 因为 (±3/10)2 = 9/100 ；所以 9/100 的平方根是 ±3/10；
(3) 因为 ( ±0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是±0.1.
【练一练】1.解：(1) 因为 (±4/3)^2 = 16/9 ，所以 16/9 的平方根是 ±4/3.
(2) 因为 ( ±1.2 )2 = 1.44，所以 1.44 的平方根是 ±1.2.
(3) 因为 ( ±11)2 = 121，所以 121 的平方根是±11.
2.（1）√ （2）√ （3）√ （4）×
探究点二、平方根的性质
问题1 平方和开平方是一个互逆的过程
问题2 ±1，±2，±3，±1/2 有两个平方根，且互为相反数
问题3 0 问题4 没有平方根
平方根的性质归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根.
【典型例题】例2 解：(1) 因为 0.36 是正数，所以 0.36 有两个平方根，
±0.36 = ±0.6；
(2) 因为 －5 是负数，所以 －5 没有平方根；
(3) 因为 (－4)2 = 16 是正数，所以 (－4)2 有两个平方根，
±(-4)2 = ±16 = ±4.
3.B 分析：因为 m－1 和 3－2m是某正数的两个不同的平方根，则有 m－1＋3－2m＝0，即 －m＋2＝0，解得 m＝2.
【练一练】4 解：(1) x = ±49 = ±7 .(2) x² = 9/4 ， x = ± 9/4= ±3/2.
课堂检测
1. C 2. D 3.解：(1)因为12425＝49/25 ，(±7/5 )2＝49/25 ，所以12425 的平方根为±7/5 .(2)因为(±0.01)2＝0.0001，所以0.0001的平方根是±0.01.
(3)因为(±2)2＝4＝(－2)2，所以(－2)2的平方根是±2.
4.(1)解：整理81x2－49＝0，得x2＝49/81 ，开平方得x＝±49/81＝±7/9 .
(2)解：整理49(x2＋1)＝50，得x2＝1/49 ，开平方得x＝± 1/49＝±1/7 .
5.解：由于这个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，
即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
x2
1
16
0.36
49
1/25
x