热点11数列的通项公式及求和（8题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（北京专用）

这是一份热点11数列的通项公式及求和（8题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（北京专用），文件包含热点11数列的通项公式及求和8题型高分技法限时提升练-2025年高考数学热点重点难点专练北京专用原卷版docx、热点11数列的通项公式及求和8题型高分技法限时提升练-2025年高考数学热点重点难点专练北京专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
题型1累加、累乘法
1．（2023·北京大兴·三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球数构成一个数列，，，，…，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得，
时，，，，…，，
以上各式相加可得
，所以，
且，所以，
所以，，
则.
故选：B.
2．（2024·北京西城·一模）在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为 ，的最小值为 .
【答案】
【详解】由题意，又等差数列的公差为1，所以；
故，所以当时，，当时，，
所以，显然的最小值是或.
又，所以
，即的最小值是.
故答案为：，
3．（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由，得，
所以，
所以，即①．
又因为②，
①②两式相乘，得．
故选：A．
4．（2023·陕西咸阳·模拟预测）数列满足，且（且），若的前项和为，则满足的最小正整数的值为 .
【答案】
【详解】因为（且），
所以，所以，，，，
所以，
即，又，所以，
所以，则，
所以
，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以数列单调递减，
又当时，
又当时，
所以，则最小正整数的值为.
故答案为：
5．（2024·25高三上·广东深圳·阶段练习）定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列．已知“等比差”数列中，，，则（ ）
A．1763B．1935C．2125D．2303
【答案】B
【详解】因为数列是“等比差”数列，所以，
因为，，所以，
所以有，，…，，
累和，得，
因此有，，…，，
累积，得，
所以.
故选：B.
题型2待定系数法
1．（2023·四川乐山·三模）已知数列满足，，则 ．
【答案】
【详解】由得，又，
所以，即是等比数列，
所以，即．
故答案为：．
2．（2024·四川·模拟预测）已知正项数列满足，等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由，得．
由，可得，又，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，得到，所以，
设等差数列的首项为，公差为，则，解得，
所以．
（2）由（1）可得，
所以
．
3．（2022·23高二下·河南周口·阶段练习）已知数列满足:.
(1)证明:是等比数列;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由得,
,
又,
故是以为首项,为公比的等比数列.
（2）由（1）知,,
则,
故
.
4．（2024·25高三上·湖北·期中）已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，数列满足：，且.
(1)求和的通项公式；
(2)若为数列的前项和，求.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设的公差为，因为，，成等比数列，
所以，即，
整理有：，解得（舍），
所以，；
因为，所以，
又，，
所以为首项为，公比为的等比数列，
所以，
（2）因为，
①，
②
两式相减，得：
，
所以.
5．（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，
由于，即，
可得数列是首项为，公比为的等比数列，
则，因为数列是递增数列，可得，
即对任意的正整数都成立．
当为偶数时，恒成立，由于数列单调递减，
可得，则；
当为奇数时，恒成立，由于数列单调递增，
可得，则；
综上可得的取值范围是．
故选：B ．
题型3同除法与取倒数法
1．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知数列的前n项和为，若，，则不正确的是（ ）
A．B．数列为等比数列
C．D．
【答案】A
【详解】数列中，，，则，，
整理得，而，因此数列是首项、公比均为的等比数列，B正确；
，解得，
对于A，，A错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，
，D正确.
故选：A
2．（2024·25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，易知，
所以，即，
又，所以，
故是以为首项，为公差的等差数列，
则，故，
所以.
故选：A.
3．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【详解】数列中，，，显然，
则有，即，而，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
故答案为：
4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【详解】，令，
则，又，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
得，所以，
∴，
由，解得.
故选：B
5．（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 .
【答案】/0.5
【详解】由，得，
则，
又，则，则，
，，
，
故答案为：.
题型4已知an与Sn关系求通项
1．（2023·北京·模拟预测）设数列的前项和，则 ；使得命题“，都有”为真命题的一个的值为 .
【答案】 3（答案不唯一，）
【详解】数列的前项和，当时，，
当时，，显然不满足上式，
所以；
当时，，不等式不成立，
当时，，
不等式，而，解得，
因此对，不等式恒成立，
所以“，都有”为真命题的，取的一个值为3.
故答案为：；3
2．（2023·北京朝阳·二模）已知数列的前n项和是，则（ ）
A．9B．16C．31D．33
【答案】B
【详解】设数列的前n项和为，则，
则.
故选:B.
3．（2023·北京丰台·二模）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．5C．7D．8
【答案】B
【详解】因为，所以.
故选：B
4．（2023·北京东城·一模）已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则 ， .
【答案】 /0.25
【详解】由题意知，，由，得，，
又等差数列的公差为，
所以，
即，解得，
所以，解得，
当时，，
得，
当时，，与题意中的相符，
所以.
故答案为：；.
5．（2024·25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)若，求；
(2)若数列是单调递增数列，求首项的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，则，
可得，
若，则，
可知是以首项为2，公比为3的等比数列，
则，所以.
（2）因为，
当时，则；
当时，则，
两式相减可得，则，
若数列是单调递增数列，则，解得，
且，解得，
综上所述：首项的取值范围为.
题型5错位相减法
1．（2024·25高三上·江苏南京·阶段练习）已知是等差数列，其项和为，是等比数列，且，，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和.
【答案】（1），，．（2），
【解析】（1）利用数列的通项公式与前项和公式，得到首项和公比、公差的方程，求出数列的首项公比和公差，得到数列的通项；
（2）本小题是一个等差与等比的积形成的数列，可以利用错位相减法求和．
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由，得，，．
由条件，，得方程组解得
所以，，．
（2）由题意知，．
记．
则
，
，
所以，
即，．
【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，前项和公式，以及错位相减法求和，有一定的综合性，计算量也较大，属于中档题．
2．（2023·北京·模拟预测）已知数列的前n项和为，在数列中，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，求的最值．
【答案】(1)，
(2)最小值为，最大值为1
【详解】（1）由已知得，当时
.
∴
当时，，也满足上式．所以
当时，，∴
当时，，符合上式
当时，，所以，也符合上式，综上，
∴，.
（2）由（1）可得：
∴
两式相减：
∴
当n为奇数时，不妨设，则
∴单调递减，
当n为偶数时，不妨设，则
∴单调递增，
∴的最小值为，最大值为1.
3．（2023·广东广州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，可得，可得①，
由可得，整理可得②，
联立①②可得，，所以，.
（2）因为，则，
所以，，
，
上式下式得
，
因此，.
4．（2022高三·全国·专题练习）已知数列中，，.
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)数列满足，设为数列的前n项和，求使恒成立的最小的整数k.
【答案】(1)证明见解析，；
(2)4.
【详解】（1）在数列中，由，得，则，
所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，
则，解得，
所以的通项公式.
（2）由（1）知，
，
，
两式相减得，
因此，由恒成立，得，
所以使恒成立的最小的整数k为4.
5．（2024·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，且分别满足：，.
(1)求通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1）令得，
当时，由得：
，两式相减得：
，
整理得，即，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，得，
当时，，
时，上式也成立，所以，
所以，即.
（2）记，其前项和为，
则，
，
两式相减得
所以
题型6分组求和与并项求和法
1．（2024·北京通州·二模）已知数列为等比数列，，，则 ；数列的前4项和为 ．
【答案】 81 48
【详解】等比数列中，由，得数列的公比，通项，
所以；
数列的前4项和为.
故答案为：81；48
2．（2024·北京顺义·二模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（ ）
A．511B．61C．41D．9
【答案】B
【详解】由可得，
即，所以，两式相除可得；
即，
由可得，因此数列的奇数项是以为首项，公比为2的等比数列，
偶数项是以为首项，公比为2的等比数列，
所以
.
故选：B
3．（2023·北京·模拟预测）已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，，
，，，
所以，
所以，，，，
，
所以数列的前项和为.
故选：A.
4．（2025·海南·模拟预测）设数列的前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，得.
当时，，所以.
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
故.
（2）由已知得，
所以
.
5．（2024·广东深圳·一模）已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ）
A．624B．625C．626D．650
【答案】C
【详解】数列中，，，
当，时，，即数列的奇数项构成等差数列，
其首项为1，公差为2，则，
当，时，，即数列的偶数项构成等比数列，
其首项为1，公比为，则，
所以.
故选：C
题型7裂项相消法
1．（2023·北京·模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项.设数列满足，则数列的前项和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】根据题意可得，则，解得，所以，，
.
故选：A.
2．（2023·北京西城·三模）已知是数列的前项和，且对任意的正整数，都满足：，若，则 ， ．
【答案】
【详解】由和可得：
即；
由可得：，
累加得，
所以.
故答案为：，
3．（2021·北京·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的最小值；若不存在，说明理由.
设数列为等差数列，是数列的前项和，且___________，.记，为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意的都有
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】选①：的最小值为；选②和③：的最小值为
【详解】由，可知数列是等比数列，且公比，
又，则，所以，所以，
若选①：，，
因为数列为等差数列，设公差为，则，即，
所以，
故，
因为，所以，即的最小值为.
若选②：则，
因为数列为等差数列，设公差为，又，即，
所以，
所以，
易知，所以，即的最小值为.
若选③：则，
因为数列为等差数列，设公差为，则
所以，
故，
所以，
易知，所以，即的最小值为.
4．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知数列满足，则数列的前项和为 ．
【答案】
【详解】因为，则，
所以数列的前项和为，
故答案为：.
5．（2025·广东·一模）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，由韦达定理可得，
因为数列是等差数列，设公差为，
所以，即，
则，解得，
.
（2）由（1），则，
，
，
.
题型8数列的公共项问题
1．（2023·广东广州·一模）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 .
【答案】
【详解】数列：，数列：，
则为：，则，
所以，
故，
故答案为：
2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列通项公式为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
即
所以的前项和.
故选：D.
3．（2024·上海·三模）已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 ．
【答案】
【详解】等差数列2，6，10，…，202中，公差；等差数列2，8，14，…，200中，公差，和的最小公倍数为，
所以新数列的公差，首项，所以，
令，解得，故新数列共有项，
所以新数列的各项之和为，
故答案为：
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1），，
当时，，
当时，，即，
而，满足上式，
所以数列的通项公式为；
若数列满足，（，），
则，
从而数列的通项公式为；
（2）令，解得，这表明，
从而只能，
所以，
所以数列的通项公式为.
5．（2024·全国·模拟预测）已知，，数列和的公共项由小到大排列组成数列，则不正确的是（ ）
A．
B．为等比数列
C．数列的前项和
D．、、不是任一等差数列的三项
【答案】A
【详解】设的第n项与的第m项相等，即，
当时，，
当时，，
当时，，故A错；
令，即，
，不是中的项，即不是的项，
，是中的项，即不是的项，
所以，则，即为等比数列，故B对；
由，
得，
两式相减得，
所以，且，所以单调递增，所以，故C对；
设、、是等差数列的第i、j、p项，的首项为，公差为d，
，
因为是有理数，是无理数
所以原假设不成立，即、、不是任一等差数列的三项
故选：A
1．（2022·23高三上·黑龙江大庆·开学考试）设为数列的前n项和．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】为数列的前n项和，且，
当时，，，，，则，
当时，有，，，则，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2022·北京顺义·二模）设等比数列的前项和为，公比为.若， 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，故可得，
又数列是等比数列，公比为，则，即，解得或；
若，则；
若，则不满足题意，舍去.
故.
故选：C.
3．（2021·北京海淀·模拟预测）已知数列若，，则该数列的前六项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为
可得
又因为,,所以
所以数列的前六项和为.
故选:
4．（2024·北京·三模）已知数列的前n项和为且，给出下列四个结论：①长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形：②；③；④.其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②
【详解】对于①：，则，
则，即，
假设长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形，
则为斜边，所以，
所以，所以或，与矛盾，故①错误；
对于②：，当且仅当等号成立，
所以，所以，
所以，②正确；
对于③：由已知，此时，所以不成立，③错误；
对于④：由已知，此时，所以不成立，④错误.
故答案为：②.
【点睛】关键点点睛：对于数列命题正误的判断，我们可以通过求出部分项，然后观察是否成立，从而达到排除的目的.
5．（2024·北京怀柔·模拟预测）设首项是1的数列的前n项和为，且，则 ；若，则正整数m的最大值是 .
【答案】 8 11
【详解】
，，
当为偶数时，
，
，又，
故，故；
当为奇数时，
，
，又，
故，故；
当为偶数时，
由于
当时，，
当时，，
当为奇数时，，
当时，，
故正整数的最大值是11，
故答案为：8，11．
6．（2023·北京·模拟预测）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【详解】，取得到，
当时，，
，
当时，不满足
所以.
故答案为：.
7．（2023·北京西城·一模）已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列的前项和为，则 ；的最小值为 ．
【答案】
【详解】由题可知，
所以，
，
令，则，
当时，，即，下面用数学归纳法证明
当时，成立，假设时，成立，
当时，，即时也成立，
所以时，，即，
所以时，，时，，
由当时，有最小值，最小值为.
故答案为：；.
8．（2023·北京·模拟预测）已知数列的前n项和为，且对任意正整数，都有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：当时，，所以，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，则，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
（2）解：，所以，，
所以，数列为等差数列，
所以，
所以当或时，取得最大值．
9．（2022·北京丰台·二模）已知数列的前n项和为，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为．若对任意，不等式恒成立，求m的最小值．
条件①：且；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）选条件①：因为，且，即
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列
所以.
选条件②：当时，
当时，
因为当时，上式也成立，
所以.
选条件③：因为，得
当时，，得
当时，
整理得
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列
所以.
（2）由（1）知，，记
因为，
所以是以1为首项，为公比的等比数列
所以
所以m的最小值为2.
10．（2023·24高三上·广东佛山·阶段练习）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为q，且.
(1)求与；
(2)证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）设数列的公差为d，因为，所以，解得或（舍），
故，.
（2）因为，所以.故，
因为，所以，所以，所以，即.
11．（2022·北京海淀·模拟预测）已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？
（3）在（2）的条件下，设，数列的前n项和为，求的最大值.
【答案】（1）；（2）第63项；（3）.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
则，又，得，解得，
所以；
（2）设等比数列的公比为q，
则，，所以，，
所以，令，解得.
故是数列的第63项；
（3）由（2）可知，则，
所以
，
令，则，
由于，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
且，，
所以当时，有最大值且最大值为.
12．（2025·广东惠州·模拟预测）记为等差数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和，并比较与的大小.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为为等差数列，设公差为，
因为，，所以，
解得，故.
（2）因为，
所以
，
则对，，
又，故.
13．（2025·江苏泰州·模拟预测）设等差数列的公差，且，记为数列的前项和.
(1)若成等比数列，且的等差中项为，求数列的通项公式；
(2)若且，比较的大小.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知得，即，化简得，
，，
又，即，所以，故；
（2）易知等差数列的首项，不妨设，
，，
又，所以，，，
，
，.
14．（2025·江西·一模）已知数列满足.
(1)若为递增数列，求的取值范围；
(2)当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，.
【详解】（1）由题设，即，恒成立，
而在上单调递减，则，
所以；
（2）由题设，则，又，
所以是首项为，公比为2的等比数列，故，
所以，则，
所以
.
15．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列的公差，且成等比数列，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）∵成等比数列，∴，
∵数列为等差数列，，
∴，解得或（舍），
∴，
∴.
（2）由（1）得，
∴.
（3）由题意得，，
∴，
，
得，
∴，
∴.
三年考情分析
2025考向预测
2022年，第15题，考察an与Sn关系求通项
2023年，第14题，考察分组求和法
2025年北京高考数学在数列求通项及求和的题目仍然会位于试卷的前半部分，分值可能保持在4分或5分
累加法：适用于，求
具体过程：两边分别相加得
累乘法：适用于，求
具体过程： ，两边分别相乘得
①形如且，化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.
①形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.
①形如整式，两边同时除以
②形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列）
③形如,则有.
所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点).
用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并.
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解．
错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式．
①适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列
②适用于的形式；
③一个数列的前项和，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见的裂项公式：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）
公共项是两个数列中的相同项，所以我们可以选取数列中的项增加“较快”的数列作为参照，假设该数列的第n项是两个数列的公共项，然后逐一递推验证该数列的 n+1项、第n+2项、…，是否是两个数列的公共项，进一步从中找到规律