热点12 空间中的平行与垂直（8题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（北京专用）

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题型1直线与平面平行的判定
1．（2024·北京西城·三模）如图.在四棱锥P-ABCD中.平面.底面ABCD为菱形.E.F分别为AB.PD的中点.
(1)求证：平面；
2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
(1)若为线段中点，求证：平面．
3．（2024·北京通州·二模）如图，几何体ABCDE中，，四边形ABDE是矩形，，点F为CE的中点，，．
(1)求证：平面ADF；
4．（2024·上海虹口·二模）如图，在三棱柱中，，为的中点，，.
(1)求证：平面；
5．（2024·北京西城·一模）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点．
(1)求证：平面；
题型2线面平行证明线线平行
1．（2024·北京海淀·三模）如图，在四棱锥中，直线平面PCD，，，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点．
(1)证明：；
(2)证明：；
2．（2024·北京顺义·三模）如图在几何体ABCDFE中，底面ABCD为菱形，，，，.
(1)判断AD是否平行于平面CEF，并证明；
3．（2024·北京·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，．
(1)设平面平面，求证：；
4．（2024·北京丰台·二模）在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点．
(1)证明：为的中点；
5．（2024·北京房山·一模）如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，．

(1)求证：；
题型3面面平行证明线线、线面平行
1．（2024·北京大兴·三模）如图（1），在中，，，将沿折起到的位置，E，F分别为，上的动点，过作平面，交于点Q，使得平面，如图（2）.
(1)证明：；
2．（2024·北京昌平·二模）如图，在棱长均为2的四棱柱中，点是的中点，交平面于点．
(1)求证：点为线段的中点；
3．（2023·北京丰台·二模）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四点共面，，．
(1)求证：；
4．（2023·北京顺义·一模）如图，在长方体中，，，E是的中点，平面与棱相交于点F．
(1)求证：点F为的中点；
5．（2022·北京·模拟预测）如图，三棱柱中，面面，．过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
题型4空间平行关系的探索性问题
1．（2022·23高三上·北京海淀·期末）如图，三棱柱中，侧面底面，分别为棱的中点.
(1)求证：；
(2)求三棱柱的体积；
(3)在直线上是否存在一点，使得平面.若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
2．（2023·北京朝阳·二模）如图，在五面体ABCDEF中，面是正方形，，，，且．
（1）求证：平面；
（3）设M是CF的中点，棱上是否存在点G，使得平面ADE？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由．
3．（2025·广东茂名·一模）如图，中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到.
(1)线段上是否存在点，使得平面，并说明理由；
4．（2025·云南昆明·模拟预测）如图1，在△ABC中，将沿EF折起，使点A到达点位置，连接，得到四棱锥.如图2.
(1)若平面平面，在线段上是否存在一点P，使得，如果存在，指出点P的位置；如果不存在，说明理由；
5．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，，，，分别是，上的点，且，现将四边形沿向上折起成直二面角，设.
(1)若，在边上是否存在点，满足，使得平面？若存在，求出；若不存在，说明理由.
题型5线面垂直的性质定理及判定定理
1．（2024·北京顺义·三模）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为AB的中点，四边形EFDC为矩形，且，，，当时，多面体ABCEF的体积为（ ）

A．B．C．D．
2．（2024·北京石景山·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，．

(1)求证：平面；
3．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；
4．（2024·北京·三模）如图，四边形ABCD为菱形，，把沿着BC折起，使A到位置.
(1)证明：；
5．（2024·北京顺义·二模）在直三棱柱中，，D，E分别为棱，的中点.

(1)求证：；
题型6面面垂直的判定定理
1．（2024·北京·模拟预测）如图，在四棱锥中，，.
(1)求证：平面平面；
2．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在三棱锥中，，，，.

(1)证明：平面平面；
3．（2021·北京西城·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点．

(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；
4．（2023·北京丰台·三模）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
(1)求证：平面平面；
5．（2025·福建厦门·一模）如图，在三棱柱中，，，．

(1)证明：平面平面；
题型7面面垂直的性质定理
1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A．1B．2C．D．
2．（2024·北京朝阳·一模）如图，在三棱锥中，侧面底面，，.

(1)求证：；
3．（2024·北京平谷·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，平面⊥平面，点M是的中点，N为线段AC上的动点；
(1)若直线平面BCM，求证：N为线段AC的中点；
4．（2023·北京通州·三模）如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.

(1)证明：.
5．（2023·北京东城·二模）如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点.
(1)设为的中点，求证：；
题型8空间垂直关系的探索性问题
1．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别是棱、的中点．

(1)在底面内是否存在点M，满足平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由；
(2)设平面CPQ交棱于点T，平面CPTQ将四棱台，分成上、下两部分，求上、下两部分的体积比．
2．（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且．
(1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明；
3．（2024·黑龙江·二模）如图，在直角梯形ABCD中，，，，于E，沿DE将折起，使得点A到点P位置，，N是棱BC上的动点（与点B，C不重合）.
(1)判断在棱PB上是否存在一点M，使平面平面，若存在，求；若不存在，说明理由；
4．（2023·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.

(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
5．（2023·贵州铜仁·二模）如图，在直三棱柱中，，．
(1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程；
1．（2022·23高三上·北京海淀·期末）设是三个不同平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·北京·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下面结论中正确的是 .（填序号）

①存在点，使得平面平面
②存在点，使得平面
③对任意点的面积都不等于
④分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意点，
3．（2023·北京大兴·三模）如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点.给出下列四个结论:

①存在点，存在点，满足∥平面；
②任意点，存在点，满足∥平面；
③任意点，存在点，满足；
④任意点，存在点，满足.
其中所有正确结论的序号是 .
4．（2024·北京海淀·模拟预测）如图，矩形，，平面，，，，，平面与棱交于点. 再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作为已知.
(1)求证：；
5．（2024·北京海淀·二模）在三棱锥中，为的中点.
(1)如图1，若为棱上一点，且，求证：平面平面；
6．（2024·北京朝阳·二模）如图，六面体是直四棱柱 被过点 的平面所截得到的几何体，底面，底面是边长为2的正方形，

(1)求证: ；
7．（2024·北京东城·二模）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面.
(1)求证：；
8．（2024·北京东城·一模）如图，在五面体中，底面为正方形，.

(1)求证：；
9．（2024·北京·模拟预测）如图所示，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，为的中点.

(1)证明：
10．（2024·北京·模拟预测）如图，在直三棱柱中，已知，分别和的中点.
(1)求证：平面；
(2)判断与是否垂直，并说明理由；
11．（2023·北京西城·模拟预测）如图在几何体中，底面为菱形，，，，.
(1)判断是否平行于平面，并证明；
12．（2022·山东青岛·一模）如图①，在梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，以DE为折痕把折起，连接AB，AC，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题.

(1)证明：；
13．（2023·北京大兴·三模）如图，在三棱锥中，和都是等边三角形，点为线段的中点.

(1)证明:；
14．（2024·北京·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，，，．

(1)若平面，证明：平面；
三年考情分析
2025考向预测
2022年，第17题，考察线面平行的证明
2023年，第16题，考察线面垂直的证明
2024年，第8题，考察线线、线面、面面垂直
2024年，第17题，考察线面平行的证明、线面垂直的性质
该内容依旧是北京高考数学的热门考点，预计会继续考査平行、垂直关系，并要求学生能够加以证明，一般为解答题的第(1)问，难度属于中档
利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤：①在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线；②证明已知直线平行于找到(作出的)直线；③由判定定理得出结论
运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
（1）利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个平面,即有两平面平行,再构造第三个平面与两平行平面都相交.
（2）两个平面平行的另一个重要性质是判断线面平行:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
1.利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论；
2.要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论.
要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直
1.若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.在应用面面垂直的性质定理时,注意三点:①两个平面垂直,是前提条件;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线.
2.先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.