湖北省武汉市武昌区2024-2025学年高三上学期期末数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省武汉市武昌区2024-2025学年高三上学期期末数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.若复数z满足，则
A. 2B. C. 2iD.
3.已知双曲线C的渐近线方程为，则C的离心率为
A. B. C. 或D. 不能确定
4.已知等差数列的前n项和为，且，则
A. 8B. 10C. 13D. 15
5.中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭浇铸过程体积无变化，该铁锭的上、下底面的边长分别为和，则该铁锭的高为
A. 30 cmB. C. 36 cmD.
6.已知函数在与上的最小值均为，最大值也相同，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知平面向量，，，满足，则的最小值是
A. 0B. 3C. D. 2
8.已知函数在定义域上单调递减，，均有，则函数的最小值是
A. 8B. 6C. 4D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某射击运动员在一次训练中一共进行了10次射击，成绩依次为6，5，7，8，6，7，9，7，9，单位：环，则下列说法中正确的是
A. 这组数的众数为7
B. 这组数的第80百分位数为8
C. 若每个数都减去2，则这组数的均值也会减去2
D. 若每个数都乘以2，则这组数的方差也会乘以2
10.已知函数，则
A.
B. 若函数单调递增，则
C. 当时，函数的图象关于点中心对称
D. 若存在，使得，则a的最大值是1
11.已知非常数数列，其前n项和为，若N，N，，使得，则称为包容数列．下列说法错误的是
A. 数列0，0，1，1，，是包容数列
B. 任何包容数列的前三项中一定存在两项互为相反数
C. 若一个包容数列从第k项开始连续三项可以构成一个各项均为正数的等差数列，则k的最小值为5
D. 由，0，1三个数生成的包容数列中，如果去掉一项后依然是包容数列，这项一定是0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中只有第7项的系数最大，则 .
13.已知随机变量X，Y均服从分布，若，且，则 .
14.设圆与抛物线交于点，AB为圆O的直径，过点B的直线与抛物线C交于不同于点A的两个点D，E，则直线AD与AE的斜率之积为 .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题12分
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足
求B；
若的面积为，，求中线BD的长．
16.本小题12分
如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，
已知G为AF的中点，求证：平面DCF；
若直线BF与平面ABCD所成的角为，二面角的余弦值为，求点B到平面DCF的距离．
17.本小题12分
已知函数
当时，求函数的单调区间；
当时，，求实数a的取值范围．
18.本小题12分
已知椭圆C：的长轴长是短轴长的2倍，焦距为，点A，B分别为C的左、右顶点，点P，Q为C上的两个动点，且分别位于x轴上、下两侧，和的面积分别为，，记
求椭圆C的方程；
若，求证直线PQ过定点，并求出该点的坐标；
若，设直线AP和直线BQ的斜率分别为，，求的取值范围．
19.本小题12分
有五张背面完全相同的数字卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，将它们背面朝上随机放在桌子上不叠放，翻开这些卡片时，要求按照从小到大的数字顺序依次翻开，如果翻开了一张卡片其顺序不符合要求，应该立刻将它翻回至背面朝上翻回不计入次数并记住此卡片出现的数字，以保证翻卡片的次数尽可能少，直到所有卡片正面朝上为止．
求第三次恰好翻开数字为2的卡片且不再翻回的概率；
记X为需要翻开的次数，求X的分布列及数学期望；
将卡片数量改为n张N，并依次写上数字1，2，3，…，n，记为翻开这些卡片需要的平均次数，求证：
附：数学期望具有线性可加性，即
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合 ，
，
则
2.【答案】B
【解析】解：因为，
所以，
所以
所以
故选：
3.【答案】C
【解析】解：当双曲线方程为 时， ，则离心率 ；
当双曲线方程为 时， ，则离心率 ；
综上所述：双曲线的离心率为 或 .
故选
4.【答案】C
【解析】解：根据题意得， ，
解得
故选
5.【答案】B
【解析】解：设实心铁球的半径为R，则 ，解得，
则实心铁球的体积为 ，
设正四棱台的实心铁锭的高为h，
因为实心铁球的体积和正四棱台的实心铁锭体积相等，
则 ，解得
故选
6.【答案】D
【解析】解：由题，，
当时，；
当时，；
要使在与上的最小值均为，最大值也相同，
显然，且，
则有，解得，
故实数a的取值范围是，
故选
7.【答案】D
【解析】解：向量满足，
则不妨设，
则，
则，且，
则
，
当时，
故选
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性和利用配方法求最值，属于难题.
首先求出的解析式，再利用配方法求最值即可求解.
【解答】
解：记 ，
用y替换 中的x得 ，且，
，
由函数单调性知 ，
因为，
所以 ，
或 ，又函数在定义域上单调递减
所以有 满足题设条件.
所以，，
所以时，函数的最小值是
故选
9.【答案】AC
【解析】解：将成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，7，8，9，9，
对于A、这组数的众数为7，故A正确；
对于B、因为，则这组数的第80百分位数为，故B错误；
对于C、若每个数都减去2，则这组数的均值也会减去2，故C正确；
对于D、若每个数都乘以2，则这组数的方差会乘以4，故D错误
10.【答案】BCD
【解析】【分析】本题考查函数的单调性、对称性，属于中档题.
利用配方法判断A；利用导数判断B；利用中心对称的性质判断C；分类讨论判断
【解答】解：因为，
所以，A错误；
求导数，，
所以，所以，B正确；
当时，，
所以，
所以函数的图象关于点中心对称，C正确；
当时，，满足题意；
当时，，
所以a的最大值是1，D正确.
故选
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，当时，不存在使，
所以数列0，0，1，1，，不是包容数列，故A错误；
对于B，当为包容数列，
则或或，
即或或，故B正确；
对于D，，0，1去掉后，得到0，1仍是包容数列，故D错误；
对于C，可为任意数，
考虑前2项，或，
得或，
所以包容数列的前2项中必有1个数为0，
设包容数列的前2项为m，0或0，m，
考虑前3项，由B项知的前3项中必有2项互为相反数，
则的前3项为m，0，0或0，m，0或m，0，或0，m，
同理可知的前n项中必有项之和为0，
的前4项为m，0，0，0①或m，0，0，②或0，m，0，0③或0，m，0，④或m，0，，n⑤
或0，m，，n⑥，
从第5项开始：
对于①，
对于②，
对于③，；
对于④，；
对于⑤，
对于⑥，
综上所述，中要么会有一个0，要么会有一组相反数，
所以不可能全为正，故C错误.
故选
12.【答案】12
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题．
由题意利用二项式定理，二项式系数的性质，得出结论．
【解答】
解：的展开式中，只有第七项的系数最大，
故展开式共有13项，则，
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：因为随机变量X，Y均服从分布，且，
所以，
因为，所以，且
因为，所以，
因此，
所以
14.【答案】2
【解析】解：将代入圆的方程中，
并结合抛物线的位置可求得点，
则，
由AB为圆O的直径可得，A，B关于O对称，
则，设，，
则由B，D，E三点共线可得，
结合，，
可代换整理得，
所以
故答案为
15.【答案】解：因为，所以，
又因为
所以，，得，
所以，由余弦定理得，
又B为三角形内角，
所以，
因为的面积为，，，
所以，，所以，又，
因为BD为的中线，所以，，
所以，，
所以，
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】【解答】
证明：
取DF的中点K，连接GK、KC，因为G为AF中点，所以，，
因为，，所以，，所以四边形KGBC为平行四边形，
所以，因为平面DCF，平面DCF，故平面DCF；
解：因为平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，所以FA，AD，AB两两垂直，
以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
直线BF与平面ABCD所成的角为，有，设，，
则，，，，所以，，，
设平面DCF的法向量为，所以，即，
令，则，，所以，
所以，，所以，即，
因为，所以点B到平面DCF的距离
【解析】本题考查线面平行的证明、利用空间向量求线面角、二面角、点到平面的距离，属中档题.
取DF的中点K，可证明四边形KGBC为平行四边形，即可证明平面DCF；
由平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，则FA，AD，AB两两垂直，
以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出平面DCF的法向量为，
由，，所以，即，即可求点B到平面DCF的距离.
17.【答案】解：当时，，
则，
令，解得或，
当或时，
当或时，
所以在，单调递增，在，单调递减.
因为时，，
所以，得，
即，
令，
则，
令，且在上单调递增，且，
所以，当时，，即当时，，即
所以，在上单调递减，在上单调递增，
所以，故
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：由题意知，，，又，，，
所以椭圆C的方程为：
证明：由知，，由图形对称性可知，定点M在x轴上，
设直线PQ方程为：，，，，
，解得，
即定点坐标为
设直线PQ的方程为，，
联立可得，
则，，且
于是
，
，，即的范围是
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：前两次一定会翻到1，否则第三次翻到2也会被翻回，
故分两种情况：如果第一张翻出了1，那么第二次一定不能翻2，
因此
如果第二张翻出了1，那么有两种情况，第一种情况第一张翻出了2并翻回，
为了保证最优解，在第三次翻卡片时必须把2翻开;
另一种情况是第一张没有翻出2，第三张恰好翻到2，
因此
所以
根据题意可以推断出下面两点：
首先，错误翻开的卡片即使被翻回至背面朝上，也会知道这张卡片的点数，
因此第二次翻开它时并非随机事件;
其次，如果在翻一张卡片时，点数比它小的所有卡片没有被翻开，那么这张卡片就需要被翻两次.
可以看作是考虑随机对翻开五张卡片的进行排列，
从左往右依次翻开卡片，遇到不符合顺序的进行调整，
因此需要翻开的次数X可取5，6，7，8，9，
①当时，恰好按照从小到大的顺序翻开了所有卡片，
因此，；
②当时，点数为的扑克卡片恰好全部在1之前翻开，
因此，；
③当时，只有一张卡片没有在所有比它小的卡片翻开时翻开了，
因此，；
④当时，有三张卡片错误地翻开了，
因此，；
⑤当时，可以继续用插空法，亦可以利用排除法，
因此，
列出分布列有
因此次
基于第二问的思考，这实际上是对知晓卡片点数的顺序进行排列，
当有n张卡片时，值得注意的是写有数字n的卡片如果是最后一个知晓，那么它就只需要被翻开一次，
如果它不是最后一个知晓，那么它就一定需要被翻开两次，
记为需要翻开写有点数n的纸卡片的次数.
因此，，
所以，
于是，
而，于是，
X
5
6
7
8
9
P
故，
当，2时上式等号成立，于是得证.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】