湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期月考（六）数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期月考（六）数学试卷（Word版附答案），共13页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
得分_______
本试卷共 8 页．时量 120 分钟．满分 150 分．
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
★1．若 （i 为虚数单位），则
A． B．1 C． D．
★2．已知向量 ．若 ，则实数 的值是
A．－2 B．2 C． D．
★3． 的展开式中 的系数为
A．2 B．6 C．4 D．－4
★4．设 a 为实数，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
★5．若存在 满足 ，则 a 的取值范围是
A． B． C． D．
★6．．A，B 为随机事件，已知 ，下列结论中正确的是
A．若 A，B 为互斥事件，则
B．若 A，B 为互斥事件，则
C．若 A，B 是相互独立事件，则
D．若 ，则
7．已知 ，则这三个数的大小关系为
A． B． C． D．
8．已知 分别是椭圆 的左，右顶点， 是椭圆在第一象限内一点．若 ，
则 的值是
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
★9．下列说法中正确的是
A．回归直线 恒过样本中心点 ，且至少过一个样本点
B．用决定系数 刻画回归效果时， 越接近 1，说明模型的拟合效果越好
C．将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大
D．基于小概率值 的检验规则是：当 时，我们就推断 不成立，即认为 和 不独立，该推断
犯错误的概率不超过
★10．在平面直角坐标系中，已知定点 和定直线 ，若到点 与直线 的距离之和等于 10
的点的轨迹记为曲线 ．给出下列四个结论，其中正确的是
A．曲线 关于 轴对称
B．若点 在曲线 上，则
C．若点 在曲线 上，则
D．若点 在曲线 上，则
11．已知函数 ，则下面说法正确的是
A． 是 的一个周期 B． 的最大值为
C． 是 的对称轴 D． 是 的对称中心
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12．已知 ，删除数列 中所有能被 2 整除的数，剩下的数从小到大排成数列 ，则
_______．
13．已知 ，集合 中的元素恰有 2 个整数，则 的取值范围是_______．
14．为美化环境，某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛，花坛分为两部分，中间小圆部分种植草坪，
周围的圆环分为 等份种植红，黄，蓝三色不同的花．要求相邻两部分种植不同颜色的花．如
图①，圆环分成的 3 等份分别为 ，有 6 种不同的种植方法．
① ② ③
（1）如图②，圆环分成的 4 等份分别为 ，有_______种不同的种植方法；
（2）如图③，圆环分成的 等份分别为 ，有_______种不同的种植方法．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
★ 15．（ 本 小 题 满 分 13 分 ） 如 图 ， 四 边 形 中 ， ，
，且 为锐角．
（1）求 ；
（2）求 的面积．
★16．（本小题满分 15 分）已知函数 ．
（1）若 ，求函数 过点 的切线方程；
（2）证明：当 时， ．
17．（本小题满分 15 分）已知 在椭圆 上，过点 的直线 交椭圆 于 两
点（异于点 ），过点 作 轴的垂线与直线 交于点 ，设直线 的斜率分别为 ．
（1）试探究 是否为定值，并给出理由；
（2）证明：直线 过线段 的中点．
18．（本小题满分 17 分）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ，且平面
平面 ． 分别是 的中点， ．
（1）求证： 是直角三角形；
（2）求四棱锥 体积的最大值；
（3）求平面 与平面 的夹角余弦值的范围．
19．（ 本 小 题 满 分 17 分 ） 记 集 合 的 元 素 个 数 为 ， 若 ， 定 义 集 合
，我们称集合 为集合 A 的积集．
（1）当 时，写出集合 的积集 及 ；
（2）若 是由 4 个有理数构成的集合，积集 ，求集合
中的所有元素之和；
（3）现给定一个正实数集合 ，试求满足 的非空有限正数集合 的个数的最大可能值．
大联考长郡中学 2025 届高三月考试卷（六）
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B B A A D D C BD CD ABD
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
7．D【解析】由 1n ，令 且 ，则 ，
所以 在 上递减，则 ，即 ，
所以 ，
由 ，只需比较 与 的大小，
根据 与 ，相交于 两点，图象如图，
由 ，结合图知 ，故 ，
综上， ，
8．C【解析】由题意知 ，设 ，直线 的斜率分别为 ，
则 ，
又 ，即 ，即 ，
由正弦定理得 ．
又 ，则 ，
联立解得 ，即 ，
所以 ，即 ．
二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．）
10．CD【解析】设动点 ，根据点 到点 与直线 的距离之和等于 10，
所以 ，即 ，
化简得，当 时， ，
当 时， ，图象如图，
选项 A，根据图象得，曲线 C 不关于 y 轴对称，故 A 错误；
选项 B，若点 在曲线 C 上，则 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，故 B 错误；
选项 C，若点 在曲线 C 上，则 ．C 正确；
选项 D，若点 在曲线 C 上，
当 时， ，得 ，故 ；
当 时， ，得 ，故 ．
所以 ，D 正确．
11．ABD【解析】
．
因为 的最小正周期为 的最小正周有为 ，
所以 的最小正周期为 ，故 A 正确；
．
又 ，令 ， ，
因为 的周期为 ，所以只需讨论 内的 的最大值，
此时当 时， ，当 时， ，
故当 ，即 时， 有极大值，
又 ，因此 的最大值为 ，故 B 正确；
因为 ，
所以直线 不是 图象的对称轴，故 C 错误；
，
所以点 是 图象的对称点，故 D 正确．
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12．861 【解析】由题意可知 ，
观察得从第一个数开始每连续四个数需要删掉后两个数，
， 可被 2 整除，
则 为第 11 组的第一个数，即 ．
13． 【解析】因为集合 中的元素恰有两个整数，
所以 ，解得 ，
当 时，集合 A 中的两个整数分别为 2，3，则 ，解得
当 时， ，此时，集合 A 中元素为整数的只有 3，4，合乎题意，
综上所述，实数 m 的取值范围是
14．（1）18 （2） （第一空 2 分，第二空 3 分）
【解析】（1）18；
（2）如图 3，圆环分为 n 等份，对 有 3 种不同的种法，对 都有两种不同的种法，
但这样的种法只能保证 与 不同颜色，但不能保证 与 不同颜色．
于是一类是 与 不同色的种法，这是符合要求的种法，记为 种；
另一类是 与 同色的种法，这时可以把 与 看成一部分，
这样的种法相当于对 部分符合要求的种法，记为 种，共有 种种法，
这样就有 ，即 ，
则数列 是首项为 ，公比为－1 的等比数列，
则 ，由题意知： ，则 ，
．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．【解析】（1）由已加 Sur ，
．
是锐角， ，
由余弦定理可得 ，则 ．
是四边形 外接圆的直径，
利用正弦定理知 ．
（2）由 ，
则 ，又 ，则 ，
因此 ，
故意 的面积为 ．
16．【解析】（1）若 ，则 ．
设过点 的切线方程的切点为 ，
则 切线方程为 ．
代入点 得 ，
解得 ，故切线方程为 ．
（2）当 时，设 ，则 ，
令 ，得 ；令 ．但 ，
，
设 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，
，即 ．
17．【解析】（1） 为定值．
理由：①当直线的斜率为 0 时，有 ；
②当直线 的斜率不为 0 时，设直线 ，
联立直线 与椭圆 C 的方程 消去 x 整理得 ，
则 ，
所以 ，所以
．
综上， 为定值．
（2）设线段 PM 的中点为 ，易得
可得直线 AQ 的方程为 ，则 ，
直线 的方程为 ，则 ，
所以 ，
由（1）知 ，所以 ，
又直线 的字提为 ，所以点 在直线 上，
即直线 过线段 PM 的中点．
18．【解析】（1）设平面 平两
由于 平面 平面 ，因此 平面 ，
又平面 平面 ，因此 ，
而 ，因此 ．
而平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
因比 平面 PDC，
而 平面 PDC，因此 ，故 是直角三角形．
（2）由于 ， ，因此 是以 为直径的半圆上的点，
而 平面 ，
因此 平面 ，而 平面 ，因此平面 平面 ，
故 到平面 的最大距离为 ，所以四棱锥 的体积最大为 ．
（3）设 EF 中点为 ，在平面 中，作过 垂直 EF 的直线 ．
设平面 PEF 与平面 的夹角为 ．
以 O 为原点，OE，m，过 O 垂直于平面 ABCD 的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 O－xyz
，
则 ．
易知平面 PEF 的一个法向量为 ，
可设 ，则 ， ．
设平面 PBC 的法向量为 ，因此 可取 ，
则 ，
不妨设 ，
因此 随 的增大而增大，因此 ．
19．【解析】（1）图为 ，所以 ．
（2）对一个 4 元集合 A， 中的元素个数最多的情况为 ，是 6 个互不相
同的数．
同时 中没有两个数互为相反数，因此 A 其中没有两个数是互为相反数，
由此知， 的绝对值互不相等，不妨设 ，
那么则有： （ ）中最小的与次小的两个数分别是 及 ，
最大的与次大的两个数分别是 及 ，
从而必须有： ，
于是 ，故 ，
结合 ，只可能取 ，
由此易知， 或 ，
经检验知这两组解均满足问题的条件，故 ．
（3）设 ，不妨设 ，
因为 ，所以有 ，
由于 ，故 为 5 元集．
设集合 的元素为 ， 的元素为 ，
于是 ，
由 知 中有三项分别为 ，已知 ，
下证明至多存在 2 组 满足 ，
假设存在 2 组 记为 ，则 中不存在 0，
否则由 比例给定立即得到 矛盾！
于是 ， 必为（3，4，5）和（4，5，6），这同时也说明了 A 至多只有 2 组．
另一方面，根据上述说明容易给出存在 2 个 A 的构造，
， ，
．
所以，满足 的非空有限正数集合 的个数的最大可能值为 2．