初中数学人教版（2024）八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形同步训练题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形同步训练题，共18页。试卷主要包含了下列说法中正确的个数有等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠BDC＝60°，BE＝1，则AD的长为（ ）
A．B．C．2D．
2．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，长方形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该长方形四个顶点中“特征值”最大的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
3．如图，张老师要在足够大的磁性黑板上展示数张形状、大小均相同的长方形作业，将这些作业排成一个长方形（作业不完全重合）．现需要在每张作业的四个角落都放上磁性贴，如果作业有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚磁性贴（例如，4张作业可用9枚磁性贴固定在磁性黑板上）．若有25枚磁性贴可供选用，则最多可以展示（ ）张作业．
A．12B．14C．15D．16
4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（ ）
A．58°B．32°C．35°D．45°
5．在△ABC中，点E、D、F分别在AB、BC、AC上且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
6．如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，下列验证方法不正确的是（ ）
A．AC＝BDB．AB⊥BCC．OB＝ODD．OA＝OD
7．在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，如果再添加一个条件，可得出四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是（ ）
A．AB＝BCB．BC∥ADC．BC＝ADD．AB⊥BC
8．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD，且AG＝BD，交CB的延长线于点G，连接FG，若AD⊥BD，下列结论：①DF∥BE；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④4S△BFC＝S▱ABCD，正确的有（ ）
A．①②③④B．①②C．①③D．①②④
9．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边AB是否和底边BC垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．三个角都是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是矩形
10．下列说法中正确的个数有（ ）
①三角形的三条高一定都在三角形内
②有一个角是直角的四边形是矩形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共5小题）
11．把一个圆平均分成24份，再拼成一个近似的长方形（如图），如果这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加10cm，那么，这个圆的面积是 cm2．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若∠AOD＝110°，则∠ACD的度数为 ．
13．如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 ．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，BD，相交于点O．请增加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，增加的条件为 （填一个即可）．
15．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）证明：四边形EBFD是菱形；
（2）若BF＝2，∠EBF＝60°，求BD的长．
17．D、E分别是三角形ABC的边AB、AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的关系？若四边形DGFE是矩形，则OA与BC应满足怎样的关系？（直接写出答案，不需要说明理由）
18．如图，在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点E，G，若∠DAG＝∠BCF，AE＝CF，
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形．
（2）添加一个条件使得四边形ABCD为矩形．（不需要说明理由）
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．求证：四边形ADFE是矩形．
20．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AB＝CD，AB∥CD．若四边形EBOA是菱形；
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠E＝60°，AB＝2，求四边形ABCD的面积．
《18.2.1 矩形》同步练习-2024-2025学年第二学期人教版数学八年级下册
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠BDC＝60°，BE＝1，则AD的长为（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∠BDC＝60°，
∴AB∥CD，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠BDC＝60°，
∵AE⊥BD于E，BE＝1，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠ADB＝90°﹣∠ABD＝30°，
∴AB＝2BE＝2，
∴BD＝2AB＝4，
∴AD2，
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，长方形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该长方形四个顶点中“特征值”最大的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【解答】解：设A（a，b），AB＝m，AD＝n，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝n，AB＝CD＝m，
∴D（a，b+n），B（a+m，b），C（a+m，b+n），
∵长方形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，
∴a+m＞a，b+n＞b，
∴，
∴该长方形四个顶点中“特征值”最大的是点D，
故选：D．
3．如图，张老师要在足够大的磁性黑板上展示数张形状、大小均相同的长方形作业，将这些作业排成一个长方形（作业不完全重合）．现需要在每张作业的四个角落都放上磁性贴，如果作业有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚磁性贴（例如，4张作业可用9枚磁性贴固定在磁性黑板上）．若有25枚磁性贴可供选用，则最多可以展示（ ）张作业．
A．12B．14C．15D．16
【解答】解：①如果所有的作业展示成一行，25÷（1+1）﹣1＝张．
∴25枚磁性贴最多可以展示11张作业；
②如果所有的作业展示成两行，25÷（2+1）＝，8﹣1＝7，2×7＝14张．
∴25枚磁性贴最多可以展示14张作业；
③如果所有的作业展示成三行，25÷（3+1）＝，6﹣1＝5，3×5＝15张．
∴25枚磁性贴最多可以展示15张作业；
④如果所有的作业展示成四行，25÷（4+1）＝5，5﹣1＝4，4×4＝16张，
∴25枚磁性贴最多可以展示16张作业；
⑤如果所有的作业展示成五行，25÷（5+1）＝，4﹣1＝3，3×5＝15张，
∴25枚磁性贴最多可以展示15张作业；
⑥如果所有的作业展示成六行，25÷（6+1）＝，3﹣1＝2，2×6＝12张，
∴25枚磁性贴最多可以展示12张作业；
⑦如果所有的作业展示成七行，25÷（7+1）＝，3﹣1＝2，2×7＝14张，
∴25枚磁性贴最多可以展示14张作业；
综上所述：25枚磁性贴最多可以展示16张作业，
故选：D．
4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（ ）
A．58°B．32°C．35°D．45°
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
由折叠得∠A′EN＝∠AEN＝32°，∠B′EM＝∠BEM，∠EB′M＝∠B＝90°，
∴∠AEA′＝2∠AEN＝64°，∠BEB′＝2∠B′EM，
∵点A′，B′，E在同一直线上，
∴∠AEA′+∠BEB′＝180°，
∴64°+2∠B′EM＝180°，
∴∠B′EM＝58°，
∴∠EMB′＝90°﹣∠B′EM＝90°﹣58°＝32°，
故选：B．
5．在△ABC中，点E、D、F分别在AB、BC、AC上且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；
如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，
∴∠FAD＝∠ADF，
∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故D正确；
故选：C．
6．如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，下列验证方法不正确的是（ ）
A．AC＝BDB．AB⊥BCC．OB＝ODD．OA＝OD
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故A不符合题意；
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴OB＝OD，
∴由OB＝OD不能验证四边形ABCD是矩形，
故C符合题意；
∵OA＝OC，OB＝OD，且OA＝OD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴OA+OC＝OB+OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故D不符合题意，
故选：C．
7．在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，如果再添加一个条件，可得出四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是（ ）
A．AB＝BCB．BC∥ADC．BC＝ADD．AB⊥BC
【解答】解：∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
若添加AB＝BC，可得平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
若添加BC∥AD，不能说明平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
若添加BC＝AD，不能说明平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
若添加AB⊥BC，则∠B＝90°，故平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD，且AG＝BD，交CB的延长线于点G，连接FG，若AD⊥BD，下列结论：①DF∥BE；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④4S△BFC＝S▱ABCD，正确的有（ ）
A．①②③④B．①②C．①③D．①②④
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DF∥BE，故①正确；
∵AG∥DB且AG＝DB，
∴四边形ADBG是平行四边形，
∵AD⊥BD，
∴四边形ADBG是矩形，故②正确；
连接DG，
∵四边形ADBG是矩形，
∴DG过点E，AB＝GD．
若FG＝AB，则FG＝GD，显然FG与GD不相等，故③不正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵F为边CD的中点，
∴S△BFC＝S△BFD，
∴，
∴4S△BFC＝S▱ABCD，故④正确．
综上可知，正确的有①②④，
故选：D．
9．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边AB是否和底边BC垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．三个角都是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是矩形
【解答】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意．
故选：C．
10．下列说法中正确的个数有（ ）
①三角形的三条高一定都在三角形内
②有一个角是直角的四边形是矩形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外，不符合题意；
②错误，理由：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形，故不符合题意；
③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故符合题意；
④错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形，故不符合题意．
正确的只有③，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．把一个圆平均分成24份，再拼成一个近似的长方形（如图），如果这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加10cm，那么，这个圆的面积是 78.5 cm2．
【解答】解：设圆的半径为r cm，
∴近似长方形的周长比原来圆的周长增加10cm，
∴2r＝10，
解得r＝5，
∴原来圆的半径长为5cm，
∴这个圆的面积是3.14×52＝78.5（cm2），
故答案为：78.5．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若∠AOD＝110°，则∠ACD的度数为 55° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，对角线AC，BD相交于点O，
∴OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD+∠COD＝180°，∠AOD＝110°，
∴∠COD＝70°，
∵∠ODC+∠OCD+∠COD＝180°，
∴∠ODC+∠OCD＝180°﹣70°＝110°，
∴∠ODC＝∠OCD＝55°，
∴∠ACD＝55°，
故答案为：55°．
13．如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 对角线相等的平行四边形为矩形 ．
【解答】解：依题意，∵两组对边分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
则只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是对角线相等的平行四边形为矩形．
故答案为：对角线相等的平行四边形为矩形．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，BD，相交于点O．请增加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，增加的条件为 此题答案不唯一，∠ABC＝90°或∠ADC＝90°或∠BAD＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD等 （填一个即可）．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC＝90°或∠ADC＝90°或∠BAD＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD时，四边形ABCD是矩形．
故答案为：此题答案不唯一，如∠ABC＝90°或∠ADC＝90°或∠BAD＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD等．
15．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： 对角线相等的平行四边形是矩形 ．
【解答】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，
∴书架的两条侧边、上下底边围成的四边形是平行四边形，
∵检查该书架的四个角是否都是直角，就是验证该四边形是否为矩形，
∴检验两条对角线长度是否一致就可确定该四边形是否为矩形，
∴检查过程中用到的定理是：对角线相等平行四边形是矩形，
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）证明：四边形EBFD是菱形；
（2）若BF＝2，∠EBF＝60°，求BD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠FBO＝∠EDO，又∠BOF＝∠DOE，
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF＝DE，又DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形；
（2）解：∵四边形EBFD是菱形，
∴∠FBO∠EBF＝30°，
∵∠BOF＝90°，
∴OFBF＝1，
∴OB，
∴BD＝2OB＝2．
17．D、E分别是三角形ABC的边AB、AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的关系？若四边形DGFE是矩形，则OA与BC应满足怎样的关系？（直接写出答案，不需要说明理由）
【解答】（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点．
∴，
∵G，F分别是OB，OC的中点，
∴，
∴DE//GF，DE＝GF，
∴四边形DGFE是平行四边形；
（2）解：若四边形DGFE是菱形，则DG＝GF，
由（1）中位线可知GF平行且等于BC，DG平行且等于AO，
∴OA＝BC，
若四边形DGFE是矩形，则DG⊥GF，
∵DG∥AO，GF∥BC，
∴OA⊥BC．
18．如图，在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点E，G，若∠DAG＝∠BCF，AE＝CF，
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形．
（2）添加一个条件使得四边形ABCD为矩形．（不需要说明理由）
【解答】（1）证明：∵CF⊥BD，AG⊥BD，
∴CF∥AG，
∴∠BGA＝∠BCF，
∵∠DAG＝∠BCF，
∴∠BGA＝∠DAG，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠CBF，
∵CF⊥BD，AG⊥BD，
∴∠CFB＝∠AED＝90°，
又AE＝CF，
∴△DAE≌△BCF，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴当∠ABC＝90°时，四边形ABCD为矩形．
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．求证：四边形ADFE是矩形．
【解答】证明：∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
又∵∠DFC＝90°，
∴四边形ADFE是矩形．
20．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AB＝CD，AB∥CD．若四边形EBOA是菱形；
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠E＝60°，AB＝2，求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD的对角线相交于点O，AB＝CD，AB∥CD，四边形EBOA是菱形，
∴OA＝OB，
∴，，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形EBOA是菱形，
∴∠AOB＝∠E＝60°，AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝AB＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO＝4，∠ABC＝90°，
∴，
∴．
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D
B
C
C
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D
C
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