河北省石家庄辛集中学2024-2025学年高一上学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省石家庄辛集中学2024-2025学年高一上学期第二次月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，选做题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知命题，，则为（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】这是一个全称命题,写否命题时,””改成””,大于等于改成小于.
命题，，则为:，.
【点睛】本题考查了命题的否定,关键是抓住全称量词和特称量词进行互化.属基础题.
2. 下列函数中，在上为增函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出各选项中函数的单调区间，从而可得正确的选项.
对于A，因为在2,+∞上单调递增，在上单调递减，故A错.
对于B，因为在上单调递增，在-∞,1上单调递减，故B对.
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，故C错.
对于D，因为在上单调递减，在上单调递增，故D错.
故选：B.
【点睛】本题考查具体函数的单调性，此类问题一般根据函数解析式的具体形式求出单调区间即可，本题属于基础题.
3. 设全集,则的值为（）
A. 2或－4B. 2C. －3或1D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集的定义计算即可.
由题意可知或，
当或，此时都有，符合题意.
故选：A
4. 下列选项是真命题的是（）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
取特殊值可判断ABC错误，根据不等式的性质可判断D正确.
对于A，若，当时，，故A错误；
对于B，令，此时，故B错误；
对于C，令，此时，故C错误；
对于D，若，则，故D正确.
故选：D.
5. 函数的定义域是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算具体函数定义域列不等式组计算求解.
由题意可得，解得或.
故选：D.
6. “”是“对任意的正数，”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
已知“对任意的正数x，”利用分离参数，求出a的范围, 再根据充分必要条件的定义进行判断.
由对任意的正数，成立时，
可得，
，
即对任意的正数，成立推不出，
当成立时，可推出，
即能推出对任意的正数，，
所以“”是“对任意的正数，”的充分不必要条件，
故选：A
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，二次函数的最值，均值不等式，属于中档题.
7. 如果函数在区间上是单调函数，那么实数的取值范围是（）
A. 或B. 或
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出二次函数的对称轴，讨论在区间上单调递减和单调递增，列不等式即可求解.
函数的对称轴为，
若函数在区间上单调函数，
若在区间上单调递减，则，解得：，
若在区间上是单调递增，则，解得：，
故实数的取值范围是：或，
故选：A.
8. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的解集求出、和的关系，代入不等式中，化简求出不等式的解集．
解：不等式的解集为，
方程的实数根为和2，且；
，
解得，；
则不等式变为，
即，
解得：，
所求不等式的解集为．
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，属于基础题．
9. 函数的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求定义域，再判断函数的单调性，最后求得值域.
要使函数有意义，需满足，解得：，
所以函数的定义域为，
根据函数的解析式，增大时，增大，减小，增大，所以增大，即该函数为增函数，
所以最小值为，最大值为，
所以值域为，
故选：.
【点睛】本题考查具体函数值域求解，判断定义域是前提，根据函数单调性求解最值是解题关键，属于基础题
10. 已知集合为正整数}，则的所有非空真子集的个数是（）
A. 30B. 31C. 510D. 511
【答案】C
【解析】
【分析】根据为正整数可计算出集合中的元素，然后根据非空真子集个数的计算公式（是元素个数）计算出结果.
因为为正整数，所以{−，0，，1，，2，，3，}，
所以集合中共有9个元素，所以的非空真子集个数为29-2=510，
故选C.
【点睛】本题考查用列举法表示集合以及计算集合的非空真子集的个数，难度较易.一个集合中含有个元素则：
集合的子集个数为：；
真子集、非空子集个数为：；
非空真子集个数为：.
11. 函数的单调递增区间是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，令，可知该函数在上单调递减，由单调性的性质即可得出答案.
解：由，解得,
所以函数的定义域为，
令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为，
该函数在上单调递减，
则函数的单调递增区间是.
故选：C.
12. 若，满足，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化，利用对应系数解方程求得，再利用不等式性质求范围即可
，则，则
故选：B
【点睛】本题考查不等式的性质，考查方程思想的应用，是基础题
二、多选题（共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
13. 有以下判断，其中是正确判断的有（）
A. 与表示同一函数
B. 函数的图象与直线的交点最多有1个
C. 若，则
D. 函数的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】A根据相等函数的概念来判断；B根据函数的定义来判断；C直接带值计算；D基本不等式求最值时的适用条件来判断.
对于A，的定义域为，的定义域为，故不是相等函数，A错误；
对于B，根据函数的定义可知，当的定义域中含有1时，函数与有一个交点，
当的定义域中不含1时，函数与没有交点，故B正确；
对于C，因为，则，所以，故C正确．
对于D，函数，
当且仅当时取等号，该方程无解，即该等号不成立，故D错误；
故选：BC．
14. 已知函数的定义域为，值域为，则的可能的取值是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】BCD
【解析】
【分析】分析函数的单调性，求得在R上的最小值为，且，分类讨论当时，求得的范围；当时，求得的范围，即可求得的范围，进而得解.
因为函数在区间-∞,1上单调递减，在上单调递增，
所以在R上的最小值为，且，
（1）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
（2）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
综上可知，
所以的可能的取值为
故选：BCD
15. 已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则（）
A. 的值域为
B.
C.
D. ，不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据待定系数法求出函数的解析式判断C，然后根据图象求解函数值域判断A，代入解析式求值判断B，结合函数值根据图象法解不等式判断D.
根据题意，当时，设解析式为，图象经过，
所以，解得，
当时，设解析式为，图象经过，
所以，解得，所以解析式为，
所以，所以C正确；
对于A选项，根据函数的图象可知的值域为，故A正确；
对于B选项，根据函数图象得，故B错误；
对于D选项，由于，所以当，使得不等式的解集为，
故D正确.
故选：ACD
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
16. 集合，，则________．（填“”“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】通过对，研究集合，与集合比较即可判断．
解：对于，时，；
时，，
，
故答案为：．
17. 已知集合，则集合中元素的个数是______.
【答案】5
【解析】
【分析】分别给进行取值，可计算求得中元素，进而确定集合，得到结果.
当或或时，
当，或时，或，
当，或时，或，
当，或时，或，
综上所述：，共个元素
故答案为：
【点睛】本题考查集合中元素个数求解问题，关键是能够读懂描述法所表示的集合的含义，进而根据要求求得集合.
18. 函数为定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是________________．
【答案】．
【解析】
【分析】根据函数的单调性可得，解不等式组即可求解.
由题意得，解得．
所以实数的取值范围是.
故答案为：
19. 设，，且，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】由，得，又，由乘法，利用基本不等式，即可求解.
因为，，且，则，
则
，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：.
四、解答题（本题共4小题，共52分）
20. 已知命题；命题.
（1）若p为真命题，求实数a的最小值；
（2）若与q恰有1个为假命题，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用不等式的解集为，求解可得实数a的最小值，
（2）利用基本不等式求得为真命题时a的取值范围，为真命题时a的取值范围，进而可求结论.
【小问1详解】
因为为真命题，所以的解集为，
所以，解得，
所以实数a的最小值为；
【小问2详解】
因为，所以，所以，
，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以，
因为，所以当为真命题时，，
由（1）可知为真命题时，，
当为真命题，为假命题时，，所以，
当为假命题，为真命题时，，所以，
综上所述：与恰有1个为假命题，实数a的取值范围为.
21. 解关于x的不等式：.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】利用解一元二次不等式的方法，结合含参讨论思想，即可求出解集.
由得：，
当时，解上式得；
当时，，所以可得一元二次不等式的解集为或；
当时，，所以可得一元二次不等式的解集为；
当时，，所以可得一元二次不等式解集为；
当时，，所以可得一元二次不等式的解集为；
综上可得：
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为；
22. 已知函数经过，两点.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）在上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可；
（2）利用单调性的定义证明即可；
（3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解.
【小问1详解】
，，
，解得，
.
【小问2详解】
在0,1上单调递减，证明如下：
任取，且，
则，
，且，
，，
∴，
，即，
所以函数在0,1上单调递减.
【小问3详解】
由对任意恒成立得，
由（2）知在0,1上单调递减，
函数在上的最大值为，
，
所求实数的取值范围为.
23. 已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若.
（1）判断并证明的单调性;
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）在上为增函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得，然后根据单调性的定义证明；
（2）利用单调性解不等式．
【小问1详解】
设，则
又当时，
在上为增函数.
【小问2详解】
在中，令，则.
，不等式，可转化为，即，
由函数在上为增函数，可得.
，原不等式解集为.
五、选做题（10分）
24. 对于函数，若，则称实数为的“不动点”，若，则称实数为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为和，即，.
（1）对于函数，分别求出集合和；
（2）设，若，求集合.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的“不动点”和“稳定点”的定义，列出方程，即可求解；
（2）由，根据题意，列出方程组，求得的值，得到，再由，列出方程，求得方程的解，即可得到答案.
【小问1详解】
解：由的“不动点”和“稳定点”的集合为，，
令，可得，解得；
令，可得，解得，
所以集合．
【小问2详解】
解：由函数，
因为，可得，即，
解得，所以，
可得，
整理得，即，
所以，解得或或，
所以集合.