山西省太原市山西大学附属中学校2024-2025学年高一下学期2月开学考试 数学试题

这是一份山西省太原市山西大学附属中学校2024-2025学年高一下学期2月开学考试 数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数 学 试 题
考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：必修一全部
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数（，且）满足对任意当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则的最小值为（ ）
A．B．6C．D．
7．如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列命题中正确的是（ ）
A．化成弧度是
B．关于的不等式的解集为，则
C．命题“，”的否定是，
D．若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
10．设，函数，则（ ）
A．函数的最小值是0B．函数的最大值是2
C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减
11．已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ）
A．若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
B．若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6
C．若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是
D．若在上有且仅有5个零点，则在单调递增
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知，则_____.
13．已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则_____.
14. 已知，，，，则_____.
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)（1）已知用表示；
（2）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
求的值.
16．(本小题满分15分)已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在上的最值．
17．(本小题满分15分)已知，，，，求：
(1)的值；
(2)的值.
18．(本小题满分17分)已知函数．
(1)证明函数为奇函数；
(2)设函数，若，使得，求实数的取值范围．
19．(本小题满分17分)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论：_____________.（只写出结论即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.
山西大学附中
2024～2025学年第二学期高一（2月）开学考试（总第一次）
数学评分细则
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．A 3. D 4．B 5.D 6.D 7.A 8.C
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.AC 10. BCD 11.ABD．
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 13.0 14.1
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（1）因为所分
所以分
（2）分
分
因为角的终边经过点，所以分
所以分
16.（1）因为 分
所以函数的最小正周期，分
由，得：，
所以的单调递减区间为分
（2）因为，所以分
所以当，即时分
所以，即时分
17.（1）因为，，
所以，，分
所以，分
，分
所以分
分
（2）因为，，
所以，
所以，分
所以分
18.（1）由，得，解得，
即的定义域为，关于原点对称，分
，分
所以函数为奇函数分
（2）由题意得，，分
由（1）知，，由为上的增函数，为增函数，
所以在上单调递增，分
故分
，
令，，分
所以,分
对称轴为，所以当,即时
，分
由题意得，分
解得，即实数的取值范围为分
19.（1）分
（2）依题意，，不等式分
函数在上单调递增，，令，分
显然函数在上单调递减，在上单调递增，，分
又，
于是，，分
因此，，分
显然函数在上单调递减，分
当时，， 分
从而，所以实数的取值范围是分
（3），分
证明:依题意，，
， 分
当时，，
于是，而，因此，分
当时，，则，，
即，而，因此，分
于是，，所以分