重庆市育才中学2024-2025学年七年级下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份重庆市育才中学2024-2025学年七年级下学期开学考试 数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了作图请一律用黑色2B铅笔完成；等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应选项的代号涂黑．
1. 的绝对值是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了绝对值化简，掌握绝对值的性质是解题的关键．
根据绝对值的性质化简即可求解．
【详解】解：，
故选：B ．
2. 由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左边看几何体得到的平面图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，解题关键是掌握从左面看得到的图形的特征．
从左面看有2列，左侧一列有3层，右侧一列有2层，据此判断即可．
【详解】解：从左面看这个几何体有2列，左侧一列有3层，右侧一列有2层．
故选：A．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 单项式的次数是9B. 单项式的系数是
C. 是三次三项式D. 不是单项式
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．
【详解】A、单项式的次数是7，原说法错误，不符合题意；
B、的系数是，原说法错误，不符合题意；
C、是四次三项式，原说法错误，不符合题意；
D、不是单项式，原说法正确，符合题意；
故选：D．
4. 如图，的内错角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查三线八角，理解图示，掌握三线八角的定义，数形结合分析是解题的关键．
利用内错角定义可得答案．
【详解】解：A、的内错角是，故此选项符合题意；
B、与是同旁内角，故此选项不合题意；
C、与是同位角，故此选项不合题意；
D、与不是内错角，故此选项不合题意；
故选：A．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 垂线段就是点到直线的距离
D. 直线a，b，c在同一平面内，若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了垂线和平行线．熟练掌握平行公理，垂线性质，点到直线的距离、平行线的判定，是解题的关键．
根据平行公理，垂线性质，点到直线的距离、平行线的判定，，逐一判断求解即可．
【详解】解：A、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
故选项A不符合题意；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选项B符合题意；
C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是这点到这条直线的距离，
故选项C不符合题意；
D、直线，，在同一平面内，若，，则．
故选项D不符合题意．
故选：B．
6. 下列运用等式的性质变形正确的是（ ）．
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查等式的性质，等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等，据此进行逐项判断即可．
【详解】解：A、若，则，故该选项不符合题意；
B、若，则，故该选项不符合题意；
C、若，则，故该选项不符合题意；
D、若，则，故该选项符合题意；
故选：D
7. 围棋源自中国，围棋中棋子与棋盘体现出古代“天圆地方”的东方哲学．下列棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中黑棋、白棋一共有9个，第②个图形中黑棋、白棋一共有14个，第③个图形中黑棋、白棋一共有19个，……，按此规律排列，则第⑧个图形中黑棋、白棋的总个数为（）
A. 36B. 40C. 44D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的变化规律，准确找出图形的变化与数字的关系是解题的关键．观察图形的变化规律，利用规律求解即可．
【详解】解：其中第①个图形中黑棋、白棋一共有（个），
第②个图形中黑棋、白棋一共有（个），
第③个图形中黑棋、白棋一共有（个），
…，按此规律排列，则第⑧个图形中黑棋、白棋的总个数为（个），
故选：C．
8. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：“今有共买琎，人出半，盈四，人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”（琎：似玉的石头）译文：今有人合伙买琎，每人出钱，会多出钱，每人出钱，又差了钱．问人数、琎价各是多少？解设有个人，下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设有个人，由题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设有个人，
由题意得：，
故选：．
9. 如图，已知，，E、F分别为，的中点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，根据线段中点的性质求出的值，然后根据线段的和可得答案．
【详解】解：∵E，F分别为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
10. 十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出“二进制记数法”的人，用“二进制”记数只需数字和．对于整数可理解为逢二进一．例如：自然数在二进制中就表示为，表示为，表示为，表示为，若（为正整数）可表示为二进制表达式为，则，其中，或．下列说法正确的个数为（ ）
二进制数转化为十进制数为；
十进制数转化为二进制数为；
记，则．
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了乘方运算和新定义运算，根据题意，利用二进制数与十进制数的转化方法，逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】二进制数转化为十进制数为：
，故正确；
∵，
∴十进制数转化为二进制数为，故正确；
③记，
则，
，
∴，故错误；
正确，共个，
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11. 如果关于x的方程有整数解，且关于y的多项式为三次四项式，则所有符合条件的整数a的和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先解含有字母参数a的一元一次方程，求出x，然后再根据方程有整数解，列出关于a的方程，解方程求出a，最后根据关于y的多项式为三次四项式求出符合条件的所有整数a的值，再相加计算即可．
【详解】解：
，
∵关于x的方程有整数解，
∴或或或，
解得或或或或或或或，
又∵关于y的多项式为三次四项式，
∴，
解得，
∴所有符合条件的整数a为－1，，，
∴它们的和为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式和解一元一次方程，解题关键是根据一元一次方程解的定义和条件求出a．
12. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年12月中旬，上线慕课数量超过万门，学习人数达人次，建设和应用规模居世界第一．数据用科学记数法表示为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
13. 有理数，，的位置如图所示，化简_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，正确根据数轴得到，是解题的关键．根据数轴上点的位置得到，由此化简绝对值即可．
【详解】由数轴可知，，
得，
则
，
故答案为：．
14. 若，则代数式___________．
【答案】1994
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，把所求代数式整理成已知条件的形式，然后计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：1994．
15. 如图，，平分且，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角的计算，先利用角平分线的定义得到，然后计算即可．
【详解】解：∵平分且，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
16. 如果关于x的方程是一元一次方程，则_______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得出关于的方程是解题的关键．
根据一元一次方程的定义得出且，求解即可得到答案．
【详解】解：关于x的方程是一元一次方程，
且，
解得：，
故答案为： ．
17. 如果代数式与的差是单项式，那么______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了整式的减法，同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．
根据同类项的定义列出方程，求出m、n值，再代入计算即可．
【详解】解：∵代数式与的差是单项式，
∴，，
解得，，
．
故答案为：6．
18. 一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位正整数（其中，且，，，为正整数），若满足，则称该数为“恒常数”，规定．例如：四位正整数1827，，是“恒常数”，．如果是一个“恒常数”，且，，，则为____________．若是一个“恒常数”，令，，其中，当取最大值且为整数时，的值为_______________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算、整式的加减的应用．由题意得到，，，结合，求得，，，的值，再计算即可得解；由，当取最大值时，最大，，尽可能小，推出，，，再分类求解即可．
【详解】解：∵为“恒常数”，，
又∵，，，
∴，
解得，
∴，，，
∴，
∴；
∵且，，，为正整数，，
又，
当取最大值时，最大，，尽可能小，
又∵，
∴，，
∴，
①当，则时，，不是整数，舍去；
②当，则时，，不整数，舍去；
③当，则时，，不是整数，舍去；
④当，则时，，是整数，符合题意；
∴的值为；
故答案为：；．
三、解答题（本大题共8小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分．解答每小题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的加减计算：
（1）根据有理数的加减计算法则求解即可；
（2）先计算乘方，再根据乘法分配律去括号，接着计算乘法，最后计算加减法即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了解一元一次方程知识，掌握了以上知识是解题的关键；
（1）原方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，即可求出解．
【小问1详解】
解：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
【小问2详解】
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：．
21. 如图所示，已知线段和线段．
（1）尺规作图：在线段上截取，使在的左侧（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若．点、分别是线段、的中点，求线段的长，请补充完善下列推理过程．
∵点是的中点，且，
∴①．
∵，
∴②
∵是的中点，
∴
∴③．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作线段，线段中点的性质和线段的和差计算．
（1）根据题意画出对应的几何图形；
（2）根据线段中点的性质得到，然后求出，然后得到，进而求解即可．
【小问1详解】
如图所示，，即为所求；
【小问2详解】
∵点是的中点，且，
∴．
∵，
∴，
∵是的中点，
∴
∴．
22. 先化简再求值：
，其中
【答案】，44
【解析】
【分析】本题考查了整式加减中的化简求值、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先去括号，再计算整式的加减，然后根据绝对值和偶次方的非负性求出的值，代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，，
∴，
则原式．
23. 已知：如图，、是直线上两点，，平分，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了平行线判定和性质；熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）由邻补角可得，结合题意可得，再由同位角相等两直线平行证得结论；
（2）结合（1）由两直线平行同旁内角互补求得，再由角平分线求得，最后由两直线平行内错角相等可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
，
∴；
【小问2详解】
解：，，
，
平分，
，
∵，
．
24. 随着科技的发展，“低空经济”将成为经济增长的新引擎，重庆作为全国“eVTOL（飞行汽车）”六大试点城市之一，相信不久的未来“飞行汽车”将成为大家出行的新方式．某经销商趁此热度购进A、B两种无人机玩具共300架销售，其中A型无人机进价为30元，A、B两种玩具进价比为，已知该经销商共花费l1000元购进A、B两种无人机玩具．
（1）求购进A、B两种无人机玩具的数量？
（2）一段时间后，经销商发现这批无人机玩具销量很好，决定再次购进A、B两种无人机玩具．购买时，经销商发现A型玩具的进价比第一次购买时的价格增加了，B型玩具的进价比第一次购买时的单价下降了，于是该经销商购买A型玩具的数量比第一次少，购买B型玩具的数量比第一次增加，且购买A、B两种无人机玩具的总费用比第一次多了64元，请求出a的值．
【答案】（1）购买A型无人机玩具200架，购买B型无人机玩具100架
（2）a的值为10．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）设购买A型无人机玩具x架，则购买B型无人机玩具架，利用进货总价=进货单价×购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值；
（2）利用第二次购买A、B两种无人机玩具的总费用比第一次多了64元，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：设购买A型无人机玩具x架，则购买B型无人机玩具架，
由题意得：，
解得：．
B：（架），
答：购买A型无人机玩具200架，购买B型无人机玩具100架；
【小问2详解】
解：由题意得：
解得：．
答：a的值为10．
25. 已知，直线，点E、F分别在直线上，点H是直线与外一点，连接．

（1）如图（1），若，，求的度数；
（2）如图（2），的角平分线的反向延长线交的角平分线于点N，猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图（3），若，，，点P、H、Q在同一直线上，直接写出的值（用含n的式子表示）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线进行角度的和差计算是解题的关键．
（1）过点H作，根据平行线的性质即可求解；
（2）过点N作，过点H作，则，可设，由得到，，，，故，，因此得到，即：；
（3）设，则，过点P作，过点H作，过点Q作，则，则，，，因此，而由，得，因此，代入得，化简得，故．
【小问1详解】
解：过点H作，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：过点N作，过点H作，

∵平分，平分，
∴设，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，，
∴，
即：；
【小问3详解】
解：过点P作，过点H作，过点Q作，

∵，
∴，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
即．
26. 已知：是关于的二次三项式，且、、满足．、、所对应的点分别为、、．
（1）则，_____．
（2）若点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．设运动时间为秒，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
（3）如图，若将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段、、三段距离的和称为，两点间的路程．动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点从点出发的同时，点从点出发，以个单位长度秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的倍，之后在段又以个单位长度秒的速度运动．当点到达点时，点，均停止运动．设运动的时间为秒．在某一时刻，、两点在“折线数轴”上的路程为个单位．求出此时的值．
【答案】（1），；
（2）的值不会随着时间t的变化而改变，理由见解析；
（3）当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．
【解析】
【分析】（1）根据多项式的定义求得，再根据非负数的性质即可求得；
（2）根据数轴表示数的意义，用含有的代数式表示，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可；
（3）设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，分两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵是关于x的二次三项式，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由（1）可得：
，
，
设运动时间为秒，由题意可得：秒后，
，
，
∴，
∴的值不会随着时间t的变化而改变；
【小问3详解】
解：由（1）可知，，，，
∴，
设点运动的路程为，根据题意得：
当时，，此时点表示的数为，
当时，，此时点表示的数为，
设点运动的路程为，根据题意得：
当时，，此时点表示的数为，
当时，，此时点表示的数为，
当时，，此时点表示的数为，
∵P、Q两点在“折线数轴”上路程为8个单位，
当点与点相遇前，即点在点的左侧，
时，，，则，
时，，，则，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
当点与点相遇后，即点在点的右侧，
当时，，
整理得：，
解得：，
当时，，即，
∴此种情况不存在，
综上，当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．
【点睛】本题综合考查了多项式的定义，非负数的性质，数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，掌握相关知识是解题的关键．