2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上学期10月月考数学学情检测试题

这是一份2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上学期10月月考数学学情检测试题，共6页。试卷主要包含了 选择题的作答， 非选择题的作答， 已知的展开式中，常数项为，则， 已知复数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，若，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2. 如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（ ）

A. B.
C. D.
3. 在等比数列中，记其前项和为，已知，则的值为（ ）
A 2B. 17C. 2或8D. 2或17
4. 每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知为偶函数，，则下列结论不正确的是（ ）
A.
B. 若的最小正周期为，则
C. 若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为
D. 若，则的最小值为2
7. 已知的展开式中，常数项为，则（ ）
A −2B. 2C. D. 1
8. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（ ）
A. 正三角形的的费马点是正三角形的中心
B. 若P为的费马点, 且 ，则一定为正三角形
C. 若三边长分别为，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为
D. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b， c， ，若点P为的费马点，则
11. 在四面体ABCD中，棱AB的长为4，，，，若该四面体的体积为，则（ ）
A. 异面直线AB与CD所成角的大小为
B. AC的长可以为
C. 点D到平面ABC的距离为
D. 当二面角是钝角时，其正切值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，，则的最大值是________．
13. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．我们把平面四边形外的点连接顶点、、、构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为______．
14. 过双曲线的上焦点，作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的上､下两支分别交于，若，则双曲线的离心率__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设为数列的前n项和，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求.
16. 如图，正四棱台中，上为上下底面中心连线，且与侧面所成的角的正切值为.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值.
17. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本标准差S.
（ⅰ）利用该正态分布，求；
（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E（Z）；
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布，则，.
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点的概率为，试证明数列是等比数列，求出数列的通项公式，并比较和的大小.
18. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知直线是曲线在点处的切线，求证：当时，直线与曲线相交于点，其中.
19. 蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆的方程为，直线与圆M交于，，直线与圆交于，．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点．
（1）当，，，时，分别求线段和长度；
（2）①求证：．
②猜想OP和OQ的大小关系，并证明．