江苏省苏北四市（徐连淮宿）2025届高三第一学期期末调研测试数学试题

这是一份江苏省苏北四市（徐连淮宿）2025届高三第一学期期末调研测试数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|y= 1−x}，则A∩B=( )
A. (−1,1]B. [−1,1]C. (−1,1)D. [0,2]
2.已知复数z满足(1+i)z=2i−1，则|z|=( )
A. 22B. 24C. 102D. 12
3.已知向量a=(3,2m)，b=(m+1,−2)，若|a+b|=|a−b|，则m=( )
A. 3B. −3C. 4D. 0
4.在矩形ABCD中，AB=2BC，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为( )
A. 5−12B. 3−12C. 52D. 32
5.若f(x)=x(42ax+1−a)为偶函数，则a=( )
A. 14B. 12C. 1D. 2
6.已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，若f(x1)=f(x2)= 32，且|x1−x2|的最小值为π2，则ω=( )
A. 23B. 1C. 32D. 2
7.已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为4 7，则该四棱锥的外接球的表面积为( )
A. 83πB. 323πC. 24πD. 1283π
8.定义：A(x1,y1)，B(x2,y2)两点间的“M距离”为|x2−x1|+|y2−y1|.把到两定点F1(−c,0)，F2(c,0)(c>0)的“M距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫“M椭圆”，则“M椭圆”的面积为( )
A. 4c(a−c)B. 4a(a−c)C. 2(a2−c2)D. 2(a2+c2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有1个白球和2个红球.现从甲袋中任取1个球放入乙袋，用事件A1，A2分别表示从甲袋中取出的是白球和红球.再从乙袋中随机取出1个球，用事件B表示从乙袋中取出的是白球，则( )
A. A1，A2互斥B. A1与B相互独立C. P(B|A2)=14D. P(B)=920
10.已知α，β为锐角，cs(α+β)=35，tanα+tanβ=1，则( )
A. sinαcsβ=310B. cs(α−β)=1
C. tanαtanβ=14D. tan2(α+β)=−247
11.已知数列a，b，c，d，前三项a，b，c成等差数列，且公差不为0，后三项b，c，d成等比数列，则( )
A. 当a+b+c>0时，d>0
B. 当a0)，满足f(x1)=f(x2)= 32，
不妨令ωx1+φ=π3+2kπ，ωx2+φ=2π3+2kπ，k∈Z，
两式相减得：|ω(x1−x2)|min=π3
又∵|x1−x2|min=π2
∴ω=23.
故选A.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查棱锥的外接球问题，属于一般题.
求出棱锥的斜高和高，求外接球的半径，由球的表面积公式即可求解.
【解答】
解：设正四棱锥的斜高为h0，高为h，外接球的半径为R，
因为正四棱锥侧面积为4 7，则4×12×2×h0=4 7，解得h0= 7，
则正四棱锥的高h= 72−(22)2= 6，
则R2=( 6−R)2+( 2)2，解得R=2 63，
则该四棱锥的外接球的表面积4π×(2 63)2=32π3.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程，直接法求曲线方程，并通过方程研究曲线，属较难题.
直接法求出曲线方程，通过其对称性质先研究它在第一象限的特征，进而得到整个图形特征，求得其面积.
【解答】
解：设M(x,y)，则“M椭圆”方程是x−c+y+x+c+y=2a，即x−c+x+c+2y=2a，
易得“M椭圆”关于x轴，y轴，原点对称，
研究“M椭圆”在第一象限图象，
0≤x≤c，y≥0时方程为y=a−c，是一条线段，端点坐标分别为(0,a−c)，(c,a−c)，
x>c，y≥0时方程为x+y=a，表示一条线段，端点坐标分别为(c,a−c)，(a,0)，
结合曲线的对称性，“ M椭圆”大致图象如图：
四边形OACB是直角梯形，上底长为c，下底长为a，高为a−c，梯形OACB面积为12(a+c)(a−c)=12(a2−c2)，
所以“M椭圆”面积为2(a2−c2).
故选：C.
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查了互斥事件，相互独立事件，条件概率，属于中档题.
由题意A1， A2是两两互斥的事件，可判断A，P(A1)=25，P(A2)=35，P(B|A2)=P(A2B)P(A2)，可判断C，求得P( B|A1)=12，P(B)=P( A1B)+P( A2B)可判断D，求得PA1⋅PB=750，P( A1B)= 15，可判断B.
【解答】
解：由题意 A1， A2 是互斥的事件，故A正确;
且P( A1)= 25，P( A2)= 35，P( B|A2)= P(A2B)P(A2)= 35×1435= 14，故C正确;
P( B|A1)= 12;P(B)=P( A1B)+P( A2B)= 25 × 24+ 35 × 14= 720，故D错误，
PA1⋅PB=25×720=750，P( A1B)= 25 × 24= 15，
∴ PA1⋅PB≠P( A1B)，故B错误；
故选：AC.
10.【答案】BCD
【解析】【分析】本题考查三角恒等变换，属于中档题.
由已知得到csαcsβ=45，sinαsinβ=15可对BCD作出判断，从B出发可得到α−β=2kπ,(k∈Z)，以此，可判断A.
【解答】
解：α，β为锐角，cs(α+β)=35，可得到sin(α+β)= 1−cs2(α+β)= 1−352=45，①
tanα+tanβ=1，得sinαcsα+sinβcsβ=sin(α+β)csαcsβ=1，②，由①②csαcsβ=45，又cs(α+β)=35，得sinαsinβ=15，
则cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=1，B正确；
tanαtanβ=sinαsinβcsαcsβ=14，C正确；
又cs(α+β)=35，sin(α+β)=45，tan(α+β)=sin(α+β)cs(α+β)=43，从而tan2(α+β)=2tan(α+β)1−tan2(α+β)=831−169=−247，D正确；
由B知cs(α−β)=1，则有α−β=2kπ,(k∈Z)，β=α−2kπ,(k∈Z)，sinαcsβ=sinαcs(α−2kπ)=sinαcsα=12sin2α
又sin(α+β)=45，sin(α+α−2kπ)=45，则sin2α=45，所以12sin2α=25，则A错误.
故选：BCD.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查等差数列与等比数列的性质，属于较难题.
根据等差数列与等比数列的性质可判断A；取a=−8,b=−2,c=4,d=−8可判断B；设等差数列的公差为m，m≠0，可得a+a+2m2a+m=42a+3m=3，求解可判断C；由sina，sinb，sinc成等比数列，得sin2b=sinasinc，根据二倍角公式及两角和差的余弦公式可取c−a=2π，从而可判断D.
【解答】
解：因为a，b，c成等差数列，b，c，d成等比数列，
所以a+c=2b，c2=bd.
对于A，当a+b+c>0时，
则3b>0，即b>0.
又c≠0，所以c2=bd>0，所以d>0，故A正确；
对于B，取a=−8,b=−2,c=4,d=−8满足a，b，c成等差数列，b，c，d成等比数列，
又ad，故B错误；
对于C，设等差数列的公差为m，m≠0，
则b=a+m,c=a+2m,d=a+2m2a+m，
因为a+d=4，b+c=3，
所以a+a+2m2a+m=42a+3m=3，解得a=0m=1或a=154m=−32，故C正确；
若sina，sinb，sinc成等比数列，
则sin2b=sinasinc，
所以12(1−cs2b)=sinasinc，
∴1−cs2b=2sinasinc，
∴1=cs2b+2sinasinc，
∴1=cs(a+c)+2sinasinc=cs(c−a)，
∴可取c−a=2π，c=a+2π，
则b=a+π，
取a=−32π，则b=−π2，c=π2，d=−π2，sina=1，sinb=−1，sinc=1，sind=−1，
此时sina，sinb，sinc，sind成等比数列，故D正确.
12.【答案】3
【解析】【分析】
本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.
由同角三角函数的基本关系得sinC，由正弦定理求得BC，再有余弦定理求得AC.
【解答】
解：在△ABC中，由cs C=−17，可得sin C= 1−cs2C=4 37，
由正弦定理得，ABsinC=BCsinA，即84 37=BC 32，解得BC=7，
由余弦定理得，csC=−17=AC2+72−822⋅AC⋅7，整理得，AC2+2AC−15=0，
即AC+5AC−3=0，
解得AC=−5(舍去)或AC=3，
故答案为3.
13.【答案】y=x−12或 y=−x−12(填一个即可)
【解析】【分析】
本题考查了圆与抛物线的公切线问题，点到直线的距离公式等知识，属于中档题.
对抛物线方程求导，设出直线方程，由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可.
【解答】
解：设公切线与抛物线 x2=2y切于点M( x0，12x02)，而y′= x，
所以M处的公切线方程为y−12 x02=x0(x− x0)，
即 x0x−y−12x02=0，
结合公切线与圆x2+y2−3y+14=0，
即 x2+ (y−32)2=2相切得d= |−32−12x02| x02+1=r= 2，
解得 x0= ± 1，
所以公切线的方程为y=x−12或 y=−x−12.
故答案为y=x−12或 y=−x−12(填一个即可).
14.【答案】(−13,13)∪(13,+∞)
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于难题．
根据题意，利用导数研究函数的单调性，对a进行分类讨论，即可求解.
【解答】
解：f(x)=13x3−ax2−3a2x的定义域为R，
f′(x)=x2−2ax−3a2=(x−3a)(x+a)，
①：当a=0时，f′(x)=x2≥0恒成立，故f(x)单调递增，
则不等式恒成立，满足题意；
②：当a>0时，3a>−a，令f′(x)>0，可得x>3a或x