湖北省武汉市2024-2025学年高一上学期1月期末质量检测数学试卷（PDF版附答案）

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一、二、选择题
三、填空题
12．613．14．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）原式⋯⋯⋯⋯⋯2分，共2分
⋯⋯⋯⋯⋯2分，共2分
⋯⋯⋯⋯⋯1分，共5分
（2）因为①
两边平方得
因为② 所以③⋯⋯⋯⋯⋯3分，共8分
②+③得
即 所以⋯⋯⋯⋯⋯2分，共10分
因为是第三、四象限角，所以，
所以
所以④⋯⋯⋯⋯⋯1分，共11分
联立①④，解得⋯⋯⋯⋯⋯1分，共12分
所以⋯⋯⋯⋯⋯1分，共13分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
C
B
A
B
D
D
BCD
BC
ACD
16．解：（1）因为⋯⋯⋯⋯⋯1分，共1分
所以，即⋯⋯⋯⋯⋯2分，共3分
因为，所以⋯⋯⋯⋯⋯2分，共5分
（2）因为，不等式
所以
即①⋯⋯⋯⋯⋯1分，共6分
因为在上单调递减
所以①等价于⋯⋯⋯⋯⋯4分，共10分
由②得，解得⋯⋯⋯⋯⋯2分，共12分
由③得，解得⋯⋯⋯⋯⋯2分，共14分
取交集得不等式的解集是⋯⋯⋯⋯⋯1分，共15分
17．解：（1）的最小正周期⋯⋯⋯⋯⋯1分，共1分
因为，所以
即
所以 ⋯⋯⋯⋯⋯2分，共3分
又
所以取，⋯⋯⋯⋯⋯1分，共4分
（2）由（1）知
因为，所以⋯⋯⋯⋯⋯1分，共5分
因为在上单调递增，在上单调递减⋯⋯⋯⋯⋯1分，共6分
所以，即时，取得最大值⋯⋯⋯⋯⋯2分，共8分
因为
所以，即时，取得最小值⋯⋯⋯⋯⋯2分，共10分
（3）由得
所以⋯⋯⋯⋯⋯2分，共12分
所以⋯⋯⋯⋯⋯1分，共13分
又，所以只能取，得
即⋯⋯⋯⋯⋯2分，共15分
18．解：（1），
设，则⋯⋯⋯⋯⋯2分，共2分
因为，所以⋯⋯⋯⋯⋯2分，共4分
所以，即的值域是⋯⋯⋯⋯⋯1分，共5分
（2）若是定义在上的奇函数
则，即⋯⋯⋯⋯⋯1分，共6分
所以，即⋯⋯⋯⋯⋯1分，共7分
此时，
所以
所以存在，使为奇函数⋯⋯⋯⋯⋯3分，共10分
（3）因为在上的单调递减，设，且，
则，即⋯⋯⋯⋯⋯2分，共12分
⋯⋯⋯⋯⋯2分，共14分
因为，所以
因为，所以只需⋯⋯⋯⋯⋯1分，共15分
即
因为，所以⋯⋯⋯⋯⋯2分，共17分
19．解：（1）令，则，⋯⋯⋯⋯⋯2分，共2分
所以的零点是⋯⋯⋯⋯⋯1分，共3分
（2）
⋯⋯⋯⋯⋯2分，共5分
设，则，
⋯⋯⋯⋯⋯1分，共6分
由二次函数在上的单调性可知
当时，；⋯⋯⋯⋯⋯1分，共7分
当时，；⋯⋯⋯⋯⋯1分，共8分
当时，⋯⋯⋯⋯⋯1分，共9分
所以⋯⋯⋯⋯⋯1分，共10分
（3）由条件可知的最小值不小于的最小值⋯⋯⋯⋯⋯2分，共12分
因为，所以的最小值是⋯⋯⋯⋯⋯1分，共13分
若时，当，取得最小值
所以，且，取交集得
若时，当，取得最小值
所以，且，取交集得⋯⋯⋯⋯⋯3分，共16分
综上所述， ⋯⋯⋯⋯⋯1分，共17分