2024-2025学年广东省广州市高三上册10月月考数学学情检测试题

这是一份2024-2025学年广东省广州市高三上册10月月考数学学情检测试题，共23页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（ ）

A．B．C．24D．48
3．设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为，下列统计量中不能刻画数据与直线的“整体接近程度”的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知a､b为异面直线，则下列命题正确的是（ ）
A．过直线a､b外一点P一定可以作一条与a､b都平行的直线
B．过直线a､b外一点P一定可以作一个与a､b都平行的平面
C．过直线a一定可以作一个与直线b平行的平面
D．过直线a一定可以作一个与直线b垂直的平面
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆的方程为，焦距为，直线与椭圆交于，两点，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．或D．
7．已知等差数列的前n项和为，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．我国古代数学家李冶在其著作《测圆海镜》中系统地介绍了天元术，即利用未知数列方程的一般方法，与现代数学中列方程的方法基本一致.先“立天元一为……”，相当于“设为……”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，最后通过合并同类项得到方程
.设
若，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9．设，为一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知等比数列an的公比为，前项和为，若且，，则（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱、分别交于点、，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．线段长度的取值范围是0,1
C．当点与点重合时，四棱锥的体积为
D．设截面、、的面积分别为、、，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．二项式的展开式中的系数为 ．
13．设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面，截球的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角的平面角为，则球的半径为 .
14．已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个正整数，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，
(1)求的值；
(2)延长到点，使得，求的长度
16．已知函数，，是常数.
(1)若在存在单调递减区间，求的取值范围.
(2)若函数在处有极大值，求的值.
17．如图，三棱台，平面平面，与相交于点，且平面．
(1)求三棱锥的体积；
(2)平面与平面所成角为与平面所成角为，求的值．
18．已知抛物线是上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，则称三角形为抛物线的外切三角形．
(1)当点的坐标为为坐标原点，且时，求点的坐标；
(2)设外切三角形的垂心为，试判断是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；
(3)证明：三角形与外切三角形的面积之比为定值．
19．给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.
(1)当，时，写出所有满足的数对序列；
(2)当时，证明：；
(3)当为奇数时，记的最大值为，求.
1．A
【分析】求出集合B的补集，再利用并集的结果求出的范围.
【详解】由，得或，而，，
则，所以的取值范围是.
故选：A
2．D
【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得.
【详解】由直观图可得如下平面图形：
其中，，，轴，且，
所以.
故选：D

3．D
【分析】根据统计量的几何意义，为避免在代数上出现正负相抵的情况，需要有绝对值或平方，题干中要求选“不能刻画”的，从而选出符合题意的选项.
【详解】统计量和可以刻画数据点与直线的竖直距离，
进而可以刻画数据与直线的“整体接近程度”，AC选项不符合题意．
统计量可以刻画数据点与直线的距离，
也可以刻画数据与直线的“整体接近程度”，B选项不符合题意．
统计量的计算会出现直线两侧的数据点在代数上正负抵消的情况，
因此不能刻画数据与直线的“整体接近程度”，D选项符合题意．
故选：D.
4．C
【分析】A、用反证法说明a，b为异面直线时，过a，b外一点P引条直线l与a、b不能都平行；
B、当a，b为异面直线时，过两直线外一点P作平面，该平面可能与a，b都平行，这样的平面也可能不存在；
C、当a，b为异面直线时，过a作与b平行的平面有且只有一个；
D、当a，b为异面直线时，过a作一个平面可能与b垂直也可能与b不垂直.
【详解】对于A：当a，b为异面直线，假设过a，b外一点P引一条直线l与a，b都平行，即l∥a， l∥b，则a∥b，这与a、b是异面直线相矛盾，∴假设不成立.故A错误；
对于B：a，b为异面直线，∴a，b不平行.∴过P作a的平行线有且只有一条，设为c，过P作b的平行线有且只有一条设为d，则a、b的平行线只能组成一个平面，设为平面A.
①如果c恰好和b相交或者d与a相交，即当a或者b正好在A平面内时，过P且与a、b都平行的平面不存在；②如果c不与b相交或者d不与a相交，过P且与a、b都平行的平面有且只有一个.故B错误；
对于C：∵a、b为异面直线，∴a、b不平行，在a上任取一点P，过点P作直线c∥b，c是唯一的.又a∩c=P，∴由a、c确定的平面α也是唯一的，∴b∥α，∴.C正确.
对于D：∵a、b为异面直线，但a与b不一定垂直，过a作一个平面可能与b垂直，也可能与b平行，故D错误.
故选：C.
5．C
【分析】利用两角和的正弦公式将式子展开，然后平方得到，
然后利用已知条件得到，并求出和的值，代入所求式子即可求解.
【详解】由可得，
则有，平方可得，则，
因为，所以，
则，
所以，所以，
故选：C.
6．D
【分析】先设出点的坐标，根据直线与椭圆都关于原点对称可得：，由两点间的距离公式列出方程，再由点在直线和椭圆上，列出方程，即可解得离心率.
【详解】设直线与椭圆在第一象限内的交点为，，
由，得，即，解得，
由点在椭圆上，得，即，
整理得，即，而，解得，
所以椭圆的离心率为.
故选：D
7．B
【分析】根据等差数列性质分析可得，进而可得，，结合通项公式可得，即可得结果.
【详解】由题意可得：，即，可知，
设等差数列an的公差为，则，
可得等差数列an为递减数列，则，
由可得，则，
所以.
故选：B.
8．D
【分析】令，结合得到，又，将问题转化为等差数列求和，从而得解.
【详解】令，
当时，，
两式相减可得，当时，，满足上式，
所以.
故选：D
关键点点睛：解决本问题的关键是探求出递推公式.
9．AC
【分析】利用全概率公式结合条件可得，然后利用和事件的概率公式和条件概率公式结合条件逐项分析即得.
【详解】由，，，得，
由，得，
解得，B错误；
对于D，由，得，D错误；
对于A，，A正确；
对于C，，，C正确.
故选：AC
10．CD
【分析】根据给定条件，借助等比数列通项求出公比范围，再结合等比数列的性质逐个分析即可.
【详解】等比数列的公比为，，由对恒成立，
得，即恒成立，则，，因此，B错误；
对于A，，A错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，，D正确.
故选：CD
11．BC
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点、，其中，，利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；求出与的关系式，利用反比例函数的基本性质可判断B选项；利用锥体和台体的体积公式可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.
【详解】因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、
设点、，其中，.
对于A选项，若存在点，使得，且，，
，解得，不合乎题意，A错；
对于B选项，设，其中、，
即，即，可得，
，则，所以，，B对；
对于C选项，当点与点重合时，，则，此时点为的中点，如下图所示：
在直三棱柱中，四边形为矩形，则且，
、分别为、的中点，则且，
所以，且，同理且，且，
所以，，故几何体为三棱台，
，，
，
，
因此，，C对；
对于D选项，，，
则点到直线的距离为，
，则点到直线的距离为
，
所以，，故，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D错.
故选：BC.
方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：
（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；
（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
12．90
【分析】由二项式展开式通项公式可求.
【详解】由题知，当时，，故的系数为90．
故90.
13．##
【分析】通过解三角形，利用转化思想求出球的半径的平方，即可求出半径.
【详解】设直线与圆的公共点为，平面截球的两个截面圆的圆心分别为，连接，
根据题意，在四边形中，,
所以
又因为，设，,
则，整理得，
又因为，所以，
所以，则，
故答案为.
14．
【分析】原不等式的解集有且只有两个整数解等价于的解集中有且仅有两个正整数，利用导数讨论后者的单调性后可求参数的取值范围.
【详解】设，则，
而的定义域为，故为上的奇函数，
（不恒为零），故为上的单调减函数，
又即为：，
也就是，故，
故的解集中有且仅有两个正整数，
若，则当时，，
此时不等式的解集中有无数个正整数解，不合题意；
若，因为，，
故的解集中不会有1,2，其解集中的正整数解必定大于等于3，
不妨设，则的解集中有且仅有两个正整数，
设，，

故在上为增函数，由题设可得，
故，
故答案为.
思路点睛：不等式解集中的正整数解的个数问题，可通过参变分离转化水平的动直线与确定函数图像的位置关系来处理.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用和角的正切公式求出的值.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理求出，再利用相似三角形性质计算即得.
【详解】（1）在中，由，得，
显然，否则，于是，
即，而，所以.
（2）在中，，，
由余弦定理得，
由，得∽，则，，
所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）即在上有解，即可求出求的取值范围.
（2）求导因式分解后可得当时，有极大值，故此时，所以.
【详解】（1）因为，
所以，
当时，，或.
若，当变化时，f′x，的变化情况如下表所示：
由题意，在存在单调递减区间，
所以在上有解，
在上单调递减，所以，
解得，或，即.
若，当变化时，f′x，的变化情况如下表所示：
则在不存在单调递减区间.
若，，在上单调递增，不存在减区间.
综上所述，的取值范围是.
（2）因为.
当，即，或时，函数可能有极值.
由题意，当时，函数有极大值，所以.
由（1）知，当时，有极大值，此时，所以.
当时，，
令f′x>0，可得：或，
令f′x