新高考数学二轮复习能力拓展练习06 利用导数研究双变量问题（6种考向）（2份，原卷版+解析版）

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命题方向一：双变量单调问题
命题方向二：双变量不等式:转化为单变量问题
命题方向三：双变量不等式:极值和差商积问题
命题方向四：双变量不等式:中点型
命题方向五：双变量不等式:剪刀模型
命题方向六：双变量不等式:主元法
【方法技巧与总结】
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
【典例例题】
命题方向一：双变量单调问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．
【解析】（1）当时，，，切点为
求导，切线斜率
曲线在处的切线方程为．
（2），的定义域为，求导，
在上单调递减．
不妨假设，∴等价于 ．
即．
令，则．
，，．
从而在单调减少，故，即，
故对任意 ．
例2．（2023·安徽·校联考三模）设，函数.
（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（Ⅰ）的定义域是.
.
（1）当时，，的定义域内单增；
（2）当时，由得，.
此时在内单增，在内单减；
（3）当时，，的定义域内单减.
（Ⅱ）因为，所以，.
此时.
由（Ⅰ）知，时，的定义域内单减.
不妨设，
则，即，
即恒成立.
令，，则在内单减，即.
，，.
而，当且仅当时，取得最小值，
所以，故实数的取值范围是.
命题方向二：双变量不等式:转化为单变量问题
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为，，
当时，，当且仅当即“=”，则，在上单调递减，
当时，方程有两个正根为，，
当或时，，当时，，
于是得在、上单调递减，在上单调递增；
（2）因存在两个极值点，且，由(1)知，即，则，
显然，对是递增的，从而有，
，
令，
，
令，，
即在上单调递增，，则，于是得在上单调递增，
从而得，即，
所以的取值范围.
例4．（2023·湖南长沙·高二湘府中学校考期末）已知函数（a为常数）．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．
【解析】（1）当时，，，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为．
（2）若在定义域内有两个极值点，则是方程即的两个不相等的正根，
从而得到，即，
又，故，且
令，则，
，
所以在上单调递减，
所以，即的值域为，
所以的范围是.
例5．（2023·河南洛阳·高二统考期末）已知函数（a为常数）．
(1)若函数是增函数，求a的取值范围；
(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．
【解析】（1）的定义域为，
，
若函数为增函数，则在上恒成立，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
又，当且仅当，即时等号成立，
所以，解得，
故a的取值范围是；
（2）若在定义域内有两个极值点，则是方程，即的两个不相等的实数根，
从而得到，即，
又，故，
，
令，则，
，
所以在上单调递增，
所以，即的值域为，
所以的范围是.
变式1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在两个极值点的取值范围为，求a的取值范围.
【解析】（1）的定义域是，因为，
所以，
令，则.
①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增.
②当，即时，由，得或；
由，得，
在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知当时，有两个极值点，即方程有两个正根，
所以，则在上单调递减，
所以，
，则
，
令，则，，所以在上单调递减，
又，且，
所以，
由，
又在上单调递减，所以且，
所以实数的取值范围为.
命题方向三：双变量不等式:极值和差商积问题
例6．（2023·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）已知函数
(1)若，求不等式的解集；
(2)若存在两个不同的零点，，证明：.
【解析】（1）令，的定义域为，
则，所以在上单调递增.
因为，所以当时，，当时，，
所以原不等式的解集为.
（2）证明:，令，易知在上单调递减，且.
当时，，此时单调递增;
当时，，此时单调递减.
所以.
因为函数存在两个不同的零点，所以，即，由图可知，
由题意知，
所以，
两式相减得.
所以等价于
，
也等价于.
因为，所以由(1)的解题过程知……①
……②
因为，所以，
即……③
①+②+③得，
所以.
例7．（2023·四川成都·校考一模）已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数有两个零点，证明：.
【解析】（1）当时，的定义域为，
则，
因为，则，所以，
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）若函数有两个零点，则，
即，两式相减，可得，两式相加得，
要证，只要证，即证，即证，
只须证，即证，即证，
令，则由得，故须证，
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，即成立，
故原不等式成立.
例8．（2023·海南·高三校联考期末）已知函数
(1)求的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点，，证明：．
【解析】（1）定义域为，且，
当时，，在上单调递减．
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间．
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）因为，是函数的两个不同的零点，所以，，，
显然，，因为，，
所以，，
即，，
所以．
不妨令，设，
则，，
所以，．
又，
所以要证，
只需证，即．
因为，
所以只要证，
即，即．
令，，则，
所以在上单调递减，所以，所以．
变式2．（2023·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数，其中.
(1)讨论函数在上的极值；
(2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围.
【解析】（1）由知，
1）当时，且有，，单调递增，故无极值；
2）当时，有，，单调递减，而，，单增，故，无极大值.
综上，当时，无极值；
当时，极小值为，无极大值；
（2）由（1）可知当时，，，
且，
由零点存在定理可知，而题设可知，消去a可得
，令，且，即，，
将其代入，整理可令得，
而，
1)当时，且，有，单调递增，，满足题设；
2)当时，且，有，单调递减，，不满足题设；
综上，的取值范围为.
命题方向四：双变量不等式:中点型
例9．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数．
（1）已知为的极值点，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，若对于任意，都存在，使得，证明：．
【解析】（1），由为的极值点.
所以，解得,
由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增. 满足在处取得极值.
则，
所以过点的切线方程为
(2) ,则
当时，，则在上单调递增.
令,，，对称轴方程为
当时，开口向下，对称轴方程为，
所以在上单调递减，所以，所以.
则在上单调递增.
当时，，
有两个不等实数根，
所以得出，得出
则在上单调递增，在上单调递减
综上所以：当时，在上单调递增.
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）

所以
又
所以
即
则
由，则，设
设，则
所以在 上单调递减,所以
所以恒成立,即
由，则
由，则在时恒成立.
所以在上单调递增.
所以由，可得成立.
例10．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数 .
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，证明：当时， ；
（Ⅲ）设是的两个零点，证明 .
【解析】（Ⅰ）求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间．
（Ⅱ）构造函数，利用导数求函数当时的最大值小于零即可．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ，从而，于是，由（Ⅰ）知， .
试题解析：（Ⅰ）的定义域为 ，
求导数，得 ，
若 ，则，此时在上单调递增，
若 ，则由得，当时， ，当时， ，
此时在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ）令，则

.
求导数，得 ，
当时，，在上是减函数.
而， ，
故当时，
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当时，函数至多有一个零点，
故，从而的最小值为，且，
不妨设，则， ，
由（Ⅱ）得 ，
从而，于是，
由（Ⅰ）知， .
命题方向五：双变量不等式:剪刀模型
例11．（2023·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数在点(，)处的切线方程为．
(1)求a、b；
(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；
(3)若关于的方程有两个实数根、，且，证明：．
【解析】（1）将代入切线方程中，有，
∴，即，
又，
∴．
若，则，与矛盾，
故．
（2）由(1)可知，，，
令，有或，
故为．
曲线在点处的切线方程为，
则，
令，
则，
∴，
令g(x)＝，则，∴在R上单调递增，
∵，
∴当时，，单调递减，
当x＞－1时，，单调递增．
∴，即成立．
（3）由(2)知在处的切线方程为，且f(x)≥h(x)，
则，
设，则，
故，∵单调递减，∴，
设在处的切线方程为，易得，
令，
则，
令，则，
当时，,单调递减，，
当时，,单调递增，
又∵，
∴当时，，T(x)单调递减，
当时，，T(x)单调递增，
∴，即，∴，
设，则，
故，∵单调递增，故，
又，
则.
例12．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求，；
（2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；
（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．
【解析】（1）将代入切线方程中，
得，所以，
又或，
又，
所以，
若，则（舍去）；
所以，则；
（2）由（1）可知，，
所以，
令，有或，
故曲线与轴负半轴的唯一交点为
曲线在点处的切线方程为，
则，
因为，
所以，
所以，．
若，，
若，，，
所以.
若，，
，
，所以在上单调递增，
，函数在上单调递增．
当时，取得极小值，也是最小值，
所以最小值．
（3），设的根为，
则，又单调递减，
由（2）知恒成立．
又，所以，
设曲线在点处的切线方程为，则，
令，
．
当时，，
当时，，
故函数在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即，
设的根为，则，
又函数单调递增，故，故．
又，所以．
命题方向六：双变量不等式:主元法
例13．（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数．
(1)求函数的单调区间和最小值；
(2)当时，求证：（其中为自然对数的底数）；
(3)若，求证：．
【解析】(1)
令得：，
，；
令得：；
在上为增函数；在上为减函数；
.
(2)由（1）知：当时，有，
，即：，.
(3)将变形为：
即只证：
设函数
，
令，得：．
在上单调递增；在上单调递减；
的最小值为：，即总有：．
，即：，
令，，则
，
成立．
例14．（2023·全国·高三专题练习）设函数.
(1)求的极值；
(2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若，证明：.
【解析】(1)函数，则，
令，解得：，且当时，，时，
因此：的极小值为，无极大值.
(2)
令，则，
注意到：，若要，必须要求，即，亦即
另一方面：当时，因为单调递增，则当时，恒成立，所以在时单调递增，故；故实数的取值范围为：；
(3)构造函数，，，
，，，在上是单调递增的；
故即：
另一方面，构造函数，
，
在上是单调递减的
故即：
综上，.
【过关测试】
1．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于任意，，，的范围恒定，
只需考虑的情况，
设对应的切点为，，，
设对应的切点为，，，
，，，
只需考虑，，其中的情况，
则，
，其中，
；
又，，
，；
令，则，
在上单调递增，又，
，又，，
；
令，则，
令，则，
在上单调递增，
，
即，在上单调递减，，
，；
综上所述：.
故选：C.
2．（2023·吉林长春·高三长春市第五中学校考期末）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（ ）．
A．1B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意，令，则，，
所以，，，
令，所以，
令，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，有最小值，
即的最小值为.
故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b满足，，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，故，，即；
，故，即.
设，，，函数单调递增，
，故，即，
整理得到，即.
故选：D.
4．（2023·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，
令，，
则，
在上递增，
，
，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
令，，
∴ ，
∴ 是增函数．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述．
故选：D．
5．（2023·全国·高三专题练习）若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，设，
则，，
令
恒成立，故单调递减，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；.
故
所以，得到.
故选:A.
6．（2023·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知函数，若，则可取（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】依题意，由得，
令，函数在上单调递增，
由得，
则，
由得：，又，
于是得，，
令，求导得，
当时，，当时，，
即函数在，上单调递减，在上单调递增，
当时，，且，，
，且，，故
即，显然选项A符合要求，选项B，C，D都不符合要求.
故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，若对于任意的，都存在，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，，，
令，可得或，
当时，，则，，则，
所以函数在上单调递增，函数在上单调递减，
当时，时，，
所以函数在上为减函数，
设，
因为对于任意的，都存在，使得，
所以对于任意的，都存在，使得，
所以函数在上的值域包含与函数在上值域，
当时，，
函数在上为减函数，
函数在上的值域为，函数在上的值域为，
所以函数在上的值域为，
由已知，
所以，又，所以，(注：由此可排除A，B，C)
当时，，，
函数在上单调递增，函数在上单调递减，
函数在上的值域为，函数在上的值域为，
所以函数在上的值域为，与已知矛盾，
当时，，，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，
所以函数在上的值域为，函数在上的值域为，
所以函数在上的值域为，与已知矛盾，
当时，，，
，则，，则，
所以函数在上单调递增，函数在上单调递减，
所以函数在上的值域为，函数在上的值域为，
所以函数在上的值域为，，满足要求
当时，，，
函数在上单调递增，函数在上单调递增
所以函数在上的值域为，函数在上的值域为，
所以函数在上的值域为，，满足要求，
综上所述，，
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
令，所以，对函数求导：
， 由有：，
由有：，所以在单调递增，在
单调递减，因为，由有：，
故A错误；
因为，所以，由有：，
故D错误；
因为，所以，
因为，所以，所以，故C正确；
令 有：
=，当，.所以
在单调递增，当时，，
即，又，所以，
因为，所以，因为在
内单调递减，所以，即，故B错误.
故选：C.
9．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】，，易得在上，则在上单调递增，
又，所以即，，所以，则，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，即时，取得最大值．
故选：A
10．（2023·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测）已知，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得：，又因为，所以，
，即，
所以，
设，
则，
，所以单调递增，
所以，
因为，
所以，
令，，
则，
当时，，当时，，
故在处取得极大值，也是最大值，
，
故.
故选：A
11．（多选题）（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知函数，，则（ ）
A．函数在上存在唯一极值点
B．为函数的导函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
D．若，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A：，令，则，
令，解得：，令，解得：，故在单调递增，在单调递减，
故，故在单调递增，函数在上无极值点，故A错误；
对于B：，令，则，
当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，即，
又时，，作出函数的图象，如图：

若函数有两个零点，得 有两个实根，得函数的图象与直线有两个交点，
由图可知，，故B正确；
对于C：由B得：在上恒成立，则在单调递增，则不等式恒成立，等价于恒成立，故，
设，则，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，故，则实数的最小值为，故C正确；
对于D：若，则，
即，
∵，∴，，，
由A知，在上单调递增，故，
所以，
设，则，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，此时，
故的最大值是，故D正确；
故选：BCD
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】由得.
设，，故，，递减，，，递增，故；
设，，故，，递减，，，递增，故.
于是，的值域是值域的子集，故可以取遍所有正数，B选项错误；
不妨取，则，令，当时，根据上述分析，即存在这样的，使得，若C成立，则，推出，即C不一定成立，C选项错误；
由上述分析，当时，，当时，递增，若，所以，A选项正确；
若，根据指数函数的值域，，即成立；
若，此时，由可得，，故，设，则，故当时，故递增，而，，故，由，于是，D选项正确.
故选：AD
13．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知方程有两个不同的根，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A，B选项：方程等价于方程，
构造函数，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，因此只需满足，即．
当时，
，，
由以上可知，当时，分别在，上各有一个零点，（零点存在定理的应用）
则方程有两个不同的根，，因此选项A正确，选项B错误；
C选项：构造函数，则，
因此在上单调递减，易知，假设,则，即成立，
又，则，因此，即，因此选项C正确；
D选项：由即，得，不一定成立，故选项D错误．
故选：AC
14．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知函数和，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由于和互为反函数，则和的图象关于直线对称，
将与联立求得交点为，则，即，A正确．
易知为单调递增函数，因为，，由零点存在性定理可知，B正确．
易知为单调递增函数，，，由零点存在性定理可知．
因为，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，C错误．
因为，，所以，所以．令，则，当时，，在上单调递增，所以，即，整理得，D正确．
故选：ABD
15．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】BCD
【解析】，且，
则，整理得
设，则只需要在上单调递减即可，
，
令，解得，
则，
所以BCD符合，
故选：BCD.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，
所以，
当时，，当时，，
所以，
因为开口方向向下，
所以在区间上的最小值的端点处取得，
所以要使对，，使得成立，
只需，即或，
即或，
解得，
所以a的取值范围是，
故答案为：
17．（2023·黑龙江大兴安岭地·高三大兴安岭实验中学校考期末）已知函数，若，且恒成立，则实数a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】由题可知当时，函数单调递增，，
当时，，设，则必有，
所以，所以，
所以，
设，则，
则时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
所以的最小值为.
所以恒成立，即，
所以.
故答案为：
18．（2023·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考期中）设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.
【答案】
【解析】因为对任何，，
所以对任何，，
所以在上为减函数.
，，
所以恒成立，即对恒成立，
所以，
所以.
即的取值范围是.
故答案为：.
19．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，，若，则的最小值为______.
【答案】
【解析】设，即，，解得，，
所以，
令，则，
令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，，则_______．
【答案】
【解析】根据题意，显然是正数. 由，两边取对数得，，即，又，即，利用，于是，记，，故在上递减，
由，于是，.
故答案为：
21．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在两个极值点和，则取值范围为____.
【答案】
【解析】令，则，
由且，解得.
.
令，，
在区间上递减，.
所以取值范围是.
故答案为：
22．（2023·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列说法正确的是______.
①；
②；
③；
④.
【答案】①②④
【解析】因为函数和互为反函数，所以函数和的图象关于直线的对称，又因为直线的斜率1与直线的斜率的乘积为，因此直线与直线互相垂直，显然直线也关于直线对称，
解方程组，所以直线和的交点坐标为：，
有，，，.
对①：因为，，
所以，因此本选项正确；
对②：因为，关于对称，
所以有，因此有，
点在直线上，而，所以，
因此，显然函数在上是单调递增函数，所以当时，有，故本选项正确；
对③：因为，，所以，
因此有，
设函数，，因为，所以
因此函数是单调递增的，
当时，有，
即，因此有，故本选项不正确；
对④：因为，关于对称，所以，因此，
所以，
即，故本选项正确；
故答案为：①②④
23．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若，存在满足，且，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，
①当时，对任意恒成立，
所以的单调增区间是，无减区间；
②当时，令，得，令，得，
所以的单调增区间是，单调减区间是；
综上，当时，的单调增区间是，无减区间；
当时，的单调增区间是，单调减区间是.
（2）方法一：
当时，，
因为，所以，
又因为，不妨设，
所以.
令，
则问题转化为在上有解.
注意到，
①当，即时，
对任意恒成立，
所以在上单调递增，，
在上无解，不符题意，舍去..
②当，即时，
设，
则在，即上单调递增，所以，
从而在上单调递减.
因为，
所以存在.
从而在上单调递增，上单调递减.
取，
令，
设恒成立，
所以，从而，即，
因为，所以，所以.
此时
因为
且在上单调递增，上单调递减，
所以必有，从而存在，符合题意.
综上，.
方法二：
当时，，
因为，
所以，
因为，且，
所以，
令，
从而，
即，
令，
则问题转化为在上有解.
①若，即时，
在上恒成立，
所以在上单调递增，，
所以在上无解，不符题意，舍去.
②若，即时，
令，
则在上单调递增，，
所以在上单调递增，
因为，
，
所以存在，
从而在上单调递减，在上单调递增.
令，
所以，从而，即，
此时‘’
取，
此时，
所以
因为
且在上单调递减，上单调递增，
所以必有，从而存在，符合题意.
综上，
24．（2023·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）由，
若，则恒成立，即在上单调递增，
若，令得，即在上单调递增，
令得，即在上单调递增，
综上所述当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递增；
（2）由（1）得当时，在上单调递增，
当趋近于时，趋近于，不符合题意，
故，则，
所以，
令，
显然当时，，时，，故在时单调递减，
在上单调递增，即，
所以，即
25．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知，函数．
(1)当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；
(2)当时，若，求证：
【解析】（1），定义域均为，
，
当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；
当时，令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在取极小值，且；
又，
当时：，在单调递减，无极值，与题不符；
当时：令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在取极小值，且；
依题意，
解得：，
（2）当时，，
由题意可知，，两式相减得，
整理为，
要证明，即证明，
不妨设，即证明，即，
设，即证明，
设，
，
所以函数在区间单调递减，且，
即在区间恒成立，即,
即，得证.
26．（2023·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知函数.
(1)讨论极值点的个数；
(2)若函数恰有2个极值点，3个零点，，（），探究：是否存在实数，使得.
【解析】（1）由题知：，
设函数，
当时，，所以在上单调递增，此时无极值点；
当时，开口向下，对称轴为，；
所以，在上单调递增，此时无极值点；
当时，开口向上，；
所以，在上单调递减，此时无极值点；
当时，开口向上，，对称轴为，；
所以在上有两个解，且，，
所以当时，，；当时，，；
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，上单调递减；
此时有两个极值点.
综上所述：当或时，无极值点；当时，有两个极值点.
（2）因为函数恰有2个极值点，
由（1）知：，，，，
又因为函数有3个零点，，（），且在上单调递减，在上单调递增，上单调递减；
所以，因为，所以，
因为，，
，
所以，
因为，
所以，
又因为，
假设存在实数，使得，
则，即，
即，
所以，
所以，
令，，
则，所以在上单调递减，，
所以，
所以不成立，
所以不存在实数满足：.
27．（2023·福建宁德·高三统考阶段练习）已知函数，其中为实数，为自然对数底数，.
(1)已知函数，，求实数取值的集合；
(2)已知函数有两个不同极值点、，证明
【解析】（1）由，得，
当时，因为，不合题意；
当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
要，只需，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，则由得
所以，故实数取值的集合
（2）由已知，则，
因为函数有两个不同的极值点、，所以有两个不同零点，
若时，则在上单调递增，在上至多一个零点，与已知矛盾，舍去；
当时，由，得，
令，所以，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，且当时，，当时，，
如下图所示：
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
不妨设这两个交点的横坐标分别为、，且，
且当或时，，则，
当时，，则.
综上所述，当时，函数有两个极值点；
设，则，
因为，所以，，
则，取对数得，
令，，则，
即，令，则，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
令，
则，在上单调递增，
又，所以当时，，即，
因为，，在上单调递增，所以，
所以，即，
所以，
故成立.
28．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知函数为函数的导函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知函数，存在，证明：．
【解析】（1）的定义域为，，
令，则，
所以函数在单调递增，
又因为，
所以，，
即：，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）由（1），得，
又，即，
所以．
不妨设，所以．
由（1）得当，函数单调递增，所以，
故，
所以，
所以，故．
下证．
即证：，
设，
则，
所以函数在区间上单调递增，
所以，
故，即，
所以，即，
所以，得证．
29．（2023·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知函数有两个零点，且，
(1)求的取值范围；
(2)证明：.
【解析】（1）因为的定义域为，所以.
当时，恒成立，所以在上单调递增，
故不可能有两个零点，故舍去；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，要使有两个零点，则，
解得，
又，
设，，
所以在单调递减，所以，
所以，
所以,
所以当时，在和上各有一个零点,
且，所以，由单调性知：
当时，；当时，；
因为，所以，即，
所以，而，所以，所以，
令，，
则，所以在上单调递增，
所以，所以.
（2）只需证，
由题意：，设，.
所以，即，所以，
，即，所以
∴，
令，，
令，，
设，
所以函数在单调递增，，
∴在单调递增，
∴，∴在单调递增，∴.
∴，∴，
∴，（由于，此处无法取得等号），得证.
30．（2023·福建三明·高二三明市第二中学校考阶段练习）设函数.
(1)求的极值；
(2)已知，有最小值，求的取值范围.
【解析】（1）由题意知：定义域为，，
，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
的极大值为，无极小值.
（2）可化为，
为单调递增函数，
由可得：，即，
令，则，，，，
，
令，
，
令，
；
①当时，恒成立，在上单调递增，
，即，在上单调递增，
此时在上不存在最小值，即不存在最小值，不合题意；
②当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，
又，，又，
存在，使得，且当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
，即有最小值；
综上所述：实数的取值范围为.
31．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)记函数，且的最小值为.
（i）求实数的值；
（ii）若存在实数满足，求的最小值.
【解析】（1），则，又，
所以切线方程为：，即.
（2）
（i），
令，即，则且，
所以有两异号实数根，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以有唯一零点.
所以当时，，当时，，
则在上递减，在上递增.
所以，且.
代入可得，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以，故.
（ii），即，则
不妨令，设，则.
记，则，
令，即，则且，
所以有两异号实数根，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以有唯一零点.且.
所以当时，，当时，，
则在上递减，在上递增，所以.
其中，即，
又在上单调递减，且，得，
又因为在上单调递增，
所以（当时，有），所以的最小值为.
32．（2023·全国·高三对口高考）已知．
(1)若对任意，有，求实数a的取值范围；
(2)当时，的值域为，求实数a的取值范围；
(3)，，使得成立，求实数a的取值范围．
(4)，使得成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）方法一：，
当时，由得，
所以在上单调递增，所以，即，
所以；
当时，令，解得或，
则在单调递减，在和单调递增；
①当，即时，，所以在上单调递增，
所以，即，
所以；
②当，即时，在单调递减，在单调递增，
所以，
所以，
综上所述，．
方法二：因为，有，
所以在上恒成立，
因为在上单调递增，
所以当时，，即，
故．
（2）方法一：，
当时，由得，
所以在上单调递增，所以，即，
当时，令，解得或，
则在单调递减，在和单调递增；
①当，即时，，所以在上单调递增，
所以，即，舍去，
②当，即时，在单调递减，在单调递增，
所以，无解，
综上所述，．
方法二：，
当时，，无解；
当时，，当，，不合题意，舍去；
当时，因为和在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，解得，
所以．
（3）设，，
由，，使得成立，则在有解，
，
因为时，，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即，
因为，
所以在恒成立，
因为在单调递增，
所以当时，，即，
故．
（4）设，，
由（3）得，
所以在上单调递增，
所以，
因为，使得成立，
所以在恒成立，
所以，即，
所以当时，，
所以在恒成立，
因为在上单调递增，
所以当时，，即，
故．
33．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知函数．
(1)若a＝1，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且，求证：．
【解析】（1）由题，，则.
因，则.则在上单调递增；
（2）.
当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，令.
当时，，则只有一个极值点，与题意不合；
当时，.
则.
则.
.注意到，则
要证，即证.
构造函数，.
则，即在上单调递增.
则，即.
34．（2023·广西·校联考模拟预测）已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若有两个不同零点，证明：．
【解析】（1）当时，，
故，，
故在处的切线方程为，即.
（2）证明：不妨设，设，则，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
可知，也是的两个零点，且，，于是，
设，
因为．
设，
当时，，
故在单调递增，
所以，从而，
因此在单调递增．
又，故，故，于是．
又在单调递减，故
即，故
35．（2023·河北·高三统考阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若是的两个不相等的零点，证明：.
【解析】（1）
①若，则，故在上单调递增；
②若，则时，时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
③若，则时，时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）知时，
在单调递减，在单调递增，.
令
则，即在上单调递增.
则.
注意到当时，有两个不相等的零点，
则.
得两个零点分别在中.
令，则.
因在单调递增，则.
令，，
因，，
则，则.
故在上单调递减，则.
故，所以.
36．（2023·江西抚州·高三校联考阶段练习）已知函数，其中为实数，为自然对数底数，．
(1)已知函数，，求实数取值的集合；
(2)已知函数有两个不同极值点、．
①求实数的取值范围；
②证明：．
【解析】（1）由，其中，则，
当时，因为，不合题意；
当时，，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
要，只需，
令，其中，则，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
所以，则由得，
所以，
故实数取值的集合.
（2）①由已知，则，
因为函数有两个不同的极值点、，所以有两个不同零点，
若时，则在上单调递增，在上至多一个零点，与已知矛盾，舍去；
当时，由，得，
令，所以，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，且当时，，当时，，
如下图所示：
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
不妨设这两个交点的横坐标分别为、，且，
且当或时，，则，
当时，，则.
综上所述，当时，函数有两个极值点；
②设，由①则，
因为，所以，
则，取对数得，
令，，则，
即，
令，则，
因为，当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
令，则且不恒为零，
所以，在上单调递增，
又，所以当时，，即，
因为，，在上单调递增，
因为，所以，
所以，则，即，
所以，故成立．
37．（2023·陕西西安·统考二模）已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)若有两个零点，，求证：.
【解析】（1）.
因为，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以.
当，即时，的零点个数为0.
当，即时，的零点个数为1.
当，即时，
注意到，.
下面证明.
设，所以，
由解得；由解得.
则在单调递增，单调递减，
所以，即.
所以，所以.
因此，，，使得，所以此时的零点个数为2.
综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.
（2）证明：（证法一）由（1）可知，当时，函数有两个零点，且.
令，，则.
当时，，所以在区间上单调递增，
所以.
所以.因为，所以.
又由（1）可知，在区间上单调递增，所以，故.
（证法二）由，得
则.
由对数平均不等式，得，
所以，
所以.又，所以.
38．（2023·福建三明·高二校联考期中）已知函数．
(1)若，求方程的解；
(2)若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明．
【解析】（1），定义域为，
令，设，
故在上单调递减，在上单调递增，，
故方程的解为.
（2）令，得，设，
故在单调递增，在单调递减，，
当时，当时，
若有两个零点，则，故，
，令，得，
设，则，
故在单调递增，在单调递减，，
当时，当时，
若有两个极值点，则，
综上，.
不妨令，因为且，由与图象得，
由为的两根得，
两式分别乘并整理得，
所以，
要证，即证，
即证：，
由于，所以 ，
只需证，即证，（），
令，（），
当时，所以在上单调递减，
所以，故，得证.
39．（2023·河南开封·统考二模）已知函数图象上三个不同的点．
(1)求函数在点P处的切线方程；
(2)记（1）中的切线为l，若，证明：．
【解析】（1），，，
故在点P处的切线方程为：，
即．
（2）若，则，即，
即，即，
设，，，则，所证为，，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，由的单调性及易知，
①证明：
令，，，
所以在上单调递增，，所以，
所以，即，
又在上单调递减，所以，即．
②证明：
当时，结论显然成立；
当时，令，，，
所以在上先单调递减后单调递增，可证，
所以，即，
又在上单调递增，所以，即．
综上所述，即得证．
40．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)若，，且满足，求证：.
【解析】（1）当时，则，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值为，无极大值.
（2）证明：当时，依题意可得，显然，
先证明，令，则，
所以当时，单调递增，所以，
当时，单调递减，所以，
所以，
又依题意，
令，则，
所以当时，所以在上单调递减，
所以，也即，
当时利用在上单调递减可知，
当时也有，
所以，则，综上可得.
41．（2023·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数，．
(1)求证：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，求证：．
【解析】（1）证明：由题意，得．
记，则．
因为时，恒成立，所以在上单调递增．
因为，所以在上恒小于0，在上恒大于0，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以有唯一零点x=1．
（2）由，得．
记，故，
因为在上单调递增，所以，
则，
设
则，令，
则．
因为在上恒成立，
所以在上单调递增，注意到，
所以的解集为，的解集为，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
又因为，所以．