（人教版）数学八年级下册期末提升练习专题01 二次根式重难点题型专训（2份，原卷版+解析版）

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题型一 二次根式有意义的条件
题型二 求二次根式的值
题型三 求二次根式中的参数
题型四 复合二次根式的化简
题型五 已知最简二次根式求参数
题型六 同类二次根式的运用
题型七 分母有理化
题型八 二次根式的综合应用
【经典例题一 二次根式有意义的条件】
知识点.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【例1】（2022·全国·八年级专题练习）若时，无意义，当时，是二次根式，则a的值可能是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【变式训练】
【变式1】（2022秋·八年级单元测试）如果，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021春·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）已知、为实数，，则的值等于______．
【变式3】（2022春·四川凉山·八年级校考阶段练习）已知实数x、y满足，，求9x＋8y的值．
【经典例题二 求二次根式的值】
【解题技巧】掌握二次根式的加减乘除运算法则，是求二次根式的值的关键；
【例2】（2020·浙江杭州·九年级期末）已知，那么的值是（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
【变式训练】
【变式1】（2022春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数
【变式2】（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 _____．
【变式3】（2022·河南·模拟预测）求代数式÷的值，其中x＝．
【经典例题三 求二次根式中的参数】
【例3】（2022秋·河北邯郸·九年级统考期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式训练】
【变式1】（2021秋·八年级单元测试）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1B．1和2C．2和2D．1和1
【变式2】（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 _____．
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）若实数a，b，c满足|a-|+=+．
（1）求a，b，c；
（2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
【经典例题四 复合二次根式的化简】
【解题技巧】把二次根式中套叠着二次根式的情形叫做复合二次根式。
公式法
配方法
方程组求解法
解出x、y即可；
【例4】（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022·全国·八年级专题练习）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2020秋·四川·八年级四川师范大学附属中学校考阶段练习）完成下列各题，
（1）若，那么的值是_______．
（2）化简：_______．
【变式3】（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝ ．
【经典例题五 已知最简二次根式求参数】
如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式。
【例5】（2022秋·四川遂宁·九年级校联考期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·广西贺州·八年级统考期中）已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（2021秋·安徽宿州·八年级统考期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则________．
【变式3】（2020春·山东济南·八年级校考阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值．
【经典例题六 同类二次根式的运用】
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。
【例6】（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）能够使与是同类最简二次根式的x值是（ ）
A．B．C．或D．不存在
【变式训练】
【变式1】（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
【变式2】（2022春·甘肃武威·八年级校考期中）若最简二次根式和能合并，则＝__．
【变式3】（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）阅读下面的解题过程：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
解：因为与能合并，
所以为正整数）．
所以，
所以．
又为正整数，所以为偶数，
所以为奇数．
所以当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）
请根据上面的信息，回答问题：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
【经典例题七 分母有理化】
【解题技巧】分母有理化，又称"有理化分母"，指的是在二次根式中分母原为无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。
【例7】（2022春·山东德州·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）．
A．﹣2B．2C．2D．-2
【变式训练】
【变式1】（2022·八年级单元测试）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；
乙：设有理数，满足：，则；
丙：；
丁：已知，则；
戊：．
以上结论正确的有
A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁
【变式2】（2022秋·广西贵港·八年级校考期末）在进行二次根式化简时，我们可以将进一步化简，如：
===
则_____．
【变式3】（2023秋·河北保定·八年级校考期末）材料阅读：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式.
例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是.
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.
例如：，.
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式为______，的有理化因式为______；（均写出一个即可）
(2)将下列各式分母有理化：（要求：写出变形过程）
①；②；
(3)化简：
【经典例题八 二次根式的综合运用】
【例8】（2022春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）有依次排列的一列式子：，，，小明对前两个式子进行操作时发现：，，根据操作，小明得出来下面几个结论：
①；
②对第n个式子进行操作可得；
③前10个式子之和为；
④如果前n个式子之和为，那么．
小明得出的结论中正确的有（ ）
A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④
【变式训练】
【变式1】（2022秋·九年级单元测试）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x(x+5)=24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25=121，边长为11，故得x(x+5)=24的正数解为x= =3．小明按此方法解关于x的方程x2+mx－n=0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（ ）
A．－1B．+1C．D．－1
【变式2】（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）如图，点O为等边内一点， ，，连接并延长交于点D．若，过点B作交延长线于点F，连接，则_____．
【变式3】（2021春·四川凉山·八年级校考期中）已知三条边的长度分别是记的周长为．
(1)当时，的最长边的长度是___________（请直接写出答案）．
(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）．
(3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．若x为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
【培优检测】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）若，，则a与b的大小关系是（ ）
A．a>bB．a