（人教版）数学八年级下册期末提升练习专题16 一次函数与几何综合压轴题型专训（2份，原卷版+解析版）

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题型一 根据两直线的交点求不等式的解集
题型二 两直线的交点与二元一次方程组的解
题型三 一次函数中最短路径问题
题型四 动点问题的函数图象
题型五 一次函数的规律探究问题
题型六 一次函数与全等三角形综合
题型七 一次函数与平行四边形综合
题型八 一次函数综合压轴题
【经典例题一 根据两直线的交点求不等式的解集】
【知识归纳】
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
【例1】（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）一次函数（）与的图像如图所示，当时，，则满足条件的k的取值范围是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．或
【变式训练】
【变式1】（2022·安徽·天长市实验中学八年级阶段练习）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线l分别与函数的图像交于P、Q两点，若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_________．
【变式3】（2022·安徽阜阳·八年级期中）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点C，点P为直线上一点．
(1)求n和k的值；
(2)若点P在射线上，且，求点P的坐标；
(3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集．
【经典例题二 两直线的交点与二元一次方程组的解】
【知识归纳】
一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
要点诠释：
1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.
2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
【例2】（2022·广东·九年级专题练习）已知函数（为常数，）的图象经过点，且实数，，满足等式：，则一次函数与轴的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2021·全国·八年级期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移个单位长度，使其与的交点在位于第二象限，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021·全国·八年级专题练习）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是_____．
【变式3】（2022·黑龙江鹤岗·八年级期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点．
(1)如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点的横坐标为．
①求点的坐标及的值；
②直线、直线与轴所围成的的面积等于多少？
(2)在（1）的条件下直线与轴交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如存在，请直接写出点的坐标．
【经典例题三 一次函数中最短路径问题】
【解题技巧】
我们将“连点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上个点的所有线段中，垂线段最短”这样的问题称为最短路径问题。一次函数背景下的最短路径问题通常表现为：动点在直线上（一次函数或者x轴，y轴上），动点与两定点的距离之和最小，求点的坐标或者线段之和的最小值。
【例3】（2022秋·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．6B．C．9D．
【变式训练】
【变式1】（2022·山东·济南市章丘区第四中学八年级阶段练习）如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（ ）
A．B． C．D．
【变式2】（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学八年级期中）如图，已知，点P在线段上（点P不与点A重合），点Q在线段上，，当最小时，点Q的坐标________．
【变式3】（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）（1）如图①，在中，，，点D为线段上的动点，则最小值为 ．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，D为线段上的一点且平分的面积，请求出D点坐标．
（3）如图③，在平面直角坐标系中，是某地市政施工的一块区域示意图，其中，米，点D坐标为．按设计要求在线段上任取一点C，以为底，在右侧作等腰直角三角形区域，取中点F，连接．现对区域进行围挡施工，为节约材料，设计要求围挡区域的周长最小，请你根据以上信息求出符合设计的的周长，并说明理由．
【经典例题四 动点问题的函数图象】
【解题技巧】
根据一次函数中的点位置关系，找出对应图形中的对应点，分析图形中点的运动状态，代入即可计算；
【例4】（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）如图①，在中，，点D为的中点，动点P从A点出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的图像如图②所示，则的长为（ ）
A．B．13C．D．15
【变式训练】
【变式1】（2022·浙江金华·八年级期末）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点，点P从点A出发，沿着AC﹣CB运动，到达点B停止．设点P的运动路径长为x，连DP，记△APD的面积为y，若表示y与x有函数关系的图象如图②所示，则△ABC的周长为（ ）
A．6+2B．4+2C．12+4D．6+4
【变式2】（2022·湖北孝感·八年级期末）如图1，在矩形ABCD中，E为边BC上一点，连接AE．动点P从点A出发，沿折线A→D→C→E方向匀速运动至点E停止．设点P的运动速度为1cm/s，运动时间为t（s），的面积为，S与t的函数图像如图2所示，则AE的长为______cm．
【变式3】（2022·江苏·昆山市周庄中学八年级阶段练习）在中，，点P为边上的动点，速度为．

(1)如图1，点D为边上一点，，动点P从点D出发，在的边上沿D→B→C的路径匀速运动，当到达点C时停止运动．设的面积为（cm2），的面积为（），点P运动的时间为t（）． ，与t之间的函数关系如图2所示，根据题意解答下列问题：
①在图1中， ， ；
②在图2中，求和的交点H的坐标；
(2)在（1）的条件下，如图3，若点P，点Q同时从点A出发，在的边上沿A→B→C的路径匀速运动，点Q运动的速度为，当点P到达点C时，点P与点Q同时停止运动．求t为何值时，最大？最大值为多少？
【经典例题五 一次函数的规律探究问题】
【例5】（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，直线：与直线：相交于动点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴方向运动，到达直线上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，．．．，照此规律运动，动点C依次进过点，，，，，，…，，则当动点C到达处时，运动的总路径的长为（ ）
A．22022-1B．22022-2C．22023+1D．22023-2
【变式训练】
【变式1】（2022·山东德州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上．，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021·山东·济南市历城区教育教学研究中心八年级期中）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为_______
【变式3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，正方形ABCD、正方形A1B1C1D1、正方形A2B2C2D2均位于第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中点A、A1、A2在直线OM上，点C、C1、C2在直线ON上，O为坐标原点，已知点A的坐标为，正方形ABCD的边长为1.
（1）求直线ON的表达式；
（2）若点C1的横坐标为4，求正方形A1B1C1D1的边长；
（3）若正方形A2B2C2D2的边长为a，则点B2的坐标为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
【经典例题六 一次函数与全等三角形综合】
【例6】（2022秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM 与△AOB全等时，移的时间t是（ ）
A．2B．4C．2或4D．2或6
【变式训练】
【变式1】（2021秋·八年级单元测试）如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（ ）
A．2或+1B．3或C．2或D．3或+1
【变式2】（2022秋·浙江·八年级期末）如图，直线y＝－x＋8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与y轴交于点D．则△BDC的面积=____．若P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合)，写出所有满足要求的点Q坐标______．
【变式3】（2021秋·山东济南·八年级统考期中）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作长方形．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；
(2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，求点D的坐标；
(3)在第一象限内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题七 一次函数与平行四边形综合】
【例7】（2022春·福建厦门·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴和轴分别交于，两点，直线与轴交于点，过点作轴，与直线交于点．当以，，，四个顶点围成的四边形为平行四边形时，点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）已知四个点、、、能组成平行四边形，则的最小值为（ ）
A．5B．10C．D．
【变式2】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点B的坐标为，直线l：恰好将平行四边形OABC的面积平分，则b的值为______．
【变式3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，与直线相交于点．
(1)求点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，是否存在一点M，使得以O，A，M，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由；
【经典例题八 一次函数综合压轴题】
【例8】（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·江苏·八年级统考期末）如图．直线：与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴负半轴交于点，且，则直线的函数表达式为______．
【变式3】（2022秋·广西百色·八年级统考期中）如图，已知直线的函数关系式为，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线平移得直线，直线分别交x轴、y轴于点C、D，且经过点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)在直线上是否存在点E，使得？若存在，请求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【培优检测】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（ ）
A．22B．20C．18D．16
2．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图（1），在中，，动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点，图（2）是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象，其中点为曲线部分的最低点，若的面积是，则的值为（ ）．
A．18B．16C．20D．15
3．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，直线交轴，轴于点，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·江苏镇江·八年级校联考期末）如图，△ABC中，，把△ABC放在平面直角坐标系xOy中，且点A，B的坐标分别为（2，0），（12，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线上时，线段AC扫过的面积为（ ）
A．66B．108C．132D．162
5．（2022·河南许昌·统考二模）如图1，点是的中线上的一动点，点是的中点，连接，设，，图2是点运动时随变化的关系图象，其中点是函数图象的最低点，则的值为（ ）
A．33B．34C．35D．36
6．（2022秋·八年级课时练习）如图，点A、B的坐标分别为、，点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·河南·模拟预测）如图，正方形OABC中，点A（4，0），点D为AB上一点，且BD＝1，连接OD，过点C作CE⊥OD交OA于点E，过点D作MN∥CE，交x轴于点M，交BC于点N，则点M的坐标为（ ）
A．（5，0）B．（6，0）C．（，0）D．（，0）
8．（2022秋·重庆·八年级西南大学附中校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于B、A两点，以线段AB为边在AB右侧作等边三角形ABC，边AC与x轴交于点E，边BC与y轴交于点F，点D是y轴上的一个动点，连接AD，BD，CD．下面的结论中，正确的个数有（ ）个
①；②；③当时，；④点C的坐标为；⑤当时，；
A．2B．3C．4D．5
9．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，直线与直线交于点，且，直线与直线交于点，则点的坐标是_____．
10．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）如图，一次函数与轴交于点，点在直线上且横坐标为．点为轴上一点，，若点是轴上的动点，在直线上找在一点（点与点不重合），使与全等，点的坐标为______．
11．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，……，则点的横坐标是__________．
12．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期中）如图，已知，点P在线段上（点P不与点A重合），点Q在线段上，，当最小时，点Q的坐标________．
13．（2022秋·北京·九年级北大附中校考开学考试）如图，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点．从点P（1，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点，则光线第一次的反射点Q的坐标是________．
14．（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）已知直线与轴，轴分别交于点A，，点是射线上的动点 ，点在坐标平面内 ，以O，A，C，D为顶点的四边形是菱形．则点的坐标为______．
15．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）定义：叫做关于直线的“分边折叠函数”．
(1)已知“分边折叠函数”
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；
②若直线与该函数只有一个交点，求t的取值范围；
(2)已知“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，则k的值为___________．
16．（2023秋·广东梅州·八年级丰顺县丰顺中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，.
(1)点C的坐标为
(2)求原点O到直线的距离；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标.
17．（2023秋·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为，
(1)求的值；
(2)若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出的取值范围______；
(3)求的面积．
18．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过和．
(1)求这个一次函数的表达式．
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，直接写出m的取值范围．
19．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C为坐标轴上的三个点，且，过点A的直线交直线于点D，交y轴于点E，的面积为8．
(1)求点D的坐标．
(2)求直线的表达式．
(3)过点C作，交直线于点F交与G，求的面积．
20．（2023秋·福建福州·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，点，，，点D在第四象限，其中，，，，．
(1)如图1，求证：；
(2)若，且．
①如图1，求四边形的面积；（用含a的式子表示）
②如图2，交y轴于点E，连接，当E关于的对称点K落在x轴上时，求的长．