初中数学人教版（2024）七年级下册8.1 二元一次方程组课时练习

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册8.1 二元一次方程组课时练习，文件包含人教版数学七年级下册同步题型归纳练习专题115期末专项复习之二元一次方程组十四大必考点原卷版doc、人教版数学七年级下册同步题型归纳练习专题115期末专项复习之二元一次方程组十四大必考点解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc7499" 【考点1 二元一次方程（组）的概念】 PAGEREF _Tc7499 \h 1
\l "_Tc3648" 【考点2 二元一次方程组的解】 PAGEREF _Tc3648 \h 2
\l "_Tc19488" 【考点3 解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc19488 \h 2
\l "_Tc8567" 【题型4 同解方程组】 PAGEREF _Tc8567 \h 3
\l "_Tc28932" 【题型5 二元一次方程组的错解复原问题】 PAGEREF _Tc28932 \h 3
\l "_Tc24146" 【题型6 构造二元一次方程组求解】 PAGEREF _Tc24146 \h 4
\l "_Tc25203" 【考点7 二元一次方程的整数解】 PAGEREF _Tc25203 \h 4
\l "_Tc4643" 【考点8 二元一次方程组的特殊解法】 PAGEREF _Tc4643 \h 5
\l "_Tc11854" 【考点9 二元一次方程组的新定义问题】 PAGEREF _Tc11854 \h 6
\l "_Tc31174" 【考点10 二元一次方程（组）的规律探究】 PAGEREF _Tc31174 \h 7
\l "_Tc4705" 【考点11 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc4705 \h 8
\l "_Tc1723" 【考点12 二元一次方程（组）的应用】 PAGEREF _Tc1723 \h 9
\l "_Tc8606" 【考点13 三元一次方程组的解法】 PAGEREF _Tc8606 \h 10
\l "_Tc4559" 【考点14 三元一次方程组的应用】 PAGEREF _Tc4559 \h 11
【考点1 二元一次方程（组）的概念】
【例1】（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团七年级阶段练习）方程①2x﹣3y＝1，②xy＝﹣2，③＝5，④x﹣+2＝0中，为二元一次方程的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式1-1】（2022·上海·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（ ）
①；②；③；④．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式1-2】（2022·全国·八年级单元测试）已知是关于，的二元一次方程，则的值为________．
【变式1-3】（2022·浙江·杭州市大关中学七年级期末）关于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常数），b=a+1，c=b+1，对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为_________．
【考点2 二元一次方程组的解】
【例2】（2022·浙江·华东师范大学附属杭州学校七年级期末）方程组的解为，则被遮盖的两个数和分别为( )
A．，B．，C．，D．，
【变式2-1】（2022·陕西·商洛市山阳信毅九年制学校七年级阶段练习）乐乐，果果两人同解方程组时，乐乐看错了方程①中的a，解得，果果看错了方程②中的b，解得，求的值．
【变式2-2】（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）若和是某二元一次方程的解，则这个方程为（ ）
A．x+2y= -3B．C．D．
【变式2-3】（2022·陕西汉中·七年级期末）已知关于、的方程组，则下列结论中正确的有( )
①当时，方程组的解也是方程的解；
②当时，；
③不论取什么数，的值始终不变．
A．个B．个C．个D．个
【考点3 解二元一次方程组】
【例3】（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期末）关于，方程组满足，的和为2，则的值为______．
【变式3-1】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组的解也是方程组的解求的值．
【变式3-2】（2022·山东·聊城市东昌府区水城双语学校七年级阶段练习）解方程组
(1)
(2)
【变式3-3】（2022·江苏泰州·七年级期末）在等式y＝ax2＋bx＋1中，当x＝－1时，y＝6；当x＝2时，y＝11．
（1）求a，b的值；
（2）当x＝－3时，求y的值．
【题型4 同解方程组】
【例4】（2022·山东济宁·七年级期末）已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2022·湖北武汉·七年级期末）已知方程组与有相同的解，则_______．
【变式4-2】（2022·黑龙江·大庆市高新区学校七年级期末）关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2022·陕西安康·七年级期末）已知关于，的二元一次方程组和的解相同，求的值．
【题型5 二元一次方程组的错解复原问题】
【例5】（2021·山东滨州·七年级期末）解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式5-1】（2022·四川巴中·七年级期末）甲、乙两人解关于x、y的方程组时，甲因看错a得到方程组的解为，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为．
(1)求a、b的值；
(2)求原方程组的解．
【变式5-2】（2018·江西宜春·七年级期末）已知方程组由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为；乙看错了方程②中的得到方程组的解为，若按正确的，计算，请你求原方程组的解．
【变式5-3】（2022·河南·安阳市第五中学七年级期末）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【题型6 构造二元一次方程组求解】
【例6】（2022·浙江湖州·七年级期末）小王和小明分别计算同一道整式乘法题：，小王由于抄错了一个多项式中的符号，得到的结果为，小红由于抄错了第二个多项式中的的系数，得到的结果为，则这道题的正确结果是_________．
【变式6-1】（2022·山东济宁·七年级期末）对于实数x，y，定义新运算x*y=ax+by+1．其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若2*5=10，4*7=28，则3*6=（ ）
A．18B．19C．20D．21
【变式6-2】（2022·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）当时，多项式的值是32，且当该多项式值为0，则的值是（ ）
A．8B．16C．32D．无法确定
【变式6-3】（2022·安徽安庆·七年级期末）当a、b都是整数时，我们称（a，b）为一个有序整数对，如（-2，2）和（2，-2）是两个不同的有序整数对，则满足|a-b|+|ab|=1的有序整数对有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．6个
【考点7 二元一次方程的整数解】
【例7】（2022·上海市静安区实验中学课时练习）二元一次方程3x+8y=27的所有正整数解为_________；整数解有_______个．
【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的方程有整数解，求满足条件的所有整数k的值．
【变式7-2】（2022·重庆一中八年级开学考试）对任意一个四位数m，若m满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“M数”，将一个“M数”m的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“M数”，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123，这四个新三位数的和为，，所以．
(1)计算：，；
(2)若“M数”（，，x，y都是正整数），也是“M数”，且能被8整除．求的值．
【变式7-3】（2022·重庆涪陵·七年级期末）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数，若的十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个自然数为“三峡数”．当三位自然数为“三峡数”时，交换的百位数字和个位数字后会得到一个三位自然数，规定．例如：当时，因为，所以583是“三峡数”；此时，则．
(1)判断341和153是否是“二峡数”？并说明理由；
(2)求的值；
(3)若三位自然数（即的百位数字是，十位数字是，个位数字是，，，，是整数，）为“三峡数”，且时，求满足条件的所有三位自然数．
【考点8 二元一次方程组的特殊解法】
【例8】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
【变式8-1】（2022·上海市复旦实验中学八年级期末）用换元法解方程组时，可设则原方程组可化为关于u、v的整式方程组为_____．
【变式8-2】（2022·陕西·西大附中浐灞中学八年级期末）解方程组：
【变式8-3】（2022·北京朝阳·七年级期末）阅读下列材料并填空：
（）对于二元一次方程组我们可以将，的系数和相应的常数项排成一个数表，求得一次方程组的解，用数可表示为．用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
．
从而得到该方程组的解为．
（）仿照（）中数表的书写格式写出解方程组的过程．
【考点9 二元一次方程组的新定义问题】
【例9】（2022·贵州·铜仁市第十一中学七年级阶段练习）我们规定：表示不超过的最大整数，例如：，，，则关于和的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-1】（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期末）如果一个正整数m=a²-b²(a,b均为正整数，且a≠b)我们称这个数为“平方差数”，则a,b为m的一个平方差分解，规定：F(m)=,例如：8=81=42，由8= a²-b²=，可得或.因为a,b为正整数，解得，所以F（8）=.试求F（45）的值为_____.
【变式9-2】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非零实数a、b．都有a※b= ax- by．
(1)若2※2 =-3，求x- y的值；
(2)若3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，求x、y的值．
【变式9-3】（2022·江苏南通·七年级期末）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：
，其中（，为常数）．
例如，当，时，．
(1)当，时，__________；
(2)若，求和的值；
(3)如果组成数对的两个数，满足二元一次方程时，总有，则__________，__________．
【考点10 二元一次方程（组）的规律探究】
【例10】（2022秋·四川成都·七年级统考期末）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，遂划天下为九州．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示，洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为（ ）
A．2B．C．4D．6
【变式10-1】（2022春·北京石景山·七年级统考期末）下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系：
按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）.
【变式10-2】（2022秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n(n＞1)盆花，每个图案花盆的总数为s．按此规律推断，以s，n为未知数的二元一次方程为______．
【变式10-3】（2022秋·湖北省直辖县级单位·七年级统考期中）观察表一，寻找规律，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则a+b﹣m＝_____．
【考点11 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】
【例11】（2022秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）阅读下列材料，回答问题．
对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，因为，所以．
(1)计算： ， ；
(2)若，都是“相异数”，其中，，，且，都是正整数，规定，当时，求的最小值．
【变式11-1】（2022春·广西南宁·七年级统考期末）【阅读理解】我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例如：由2x+3y＝12，得：（x、y为正整数）．
要使为正整数，则为正数可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入．
所以2x+3y＝12的正整数解为．
(1)【类比探究】请根据材料求出方程3x+2y＝8的正整数解．
(2)【拓展应用】把一根长20米的钢管截成2米长和3米长两种规格的钢管，在不造成浪费的情况下，共有几种截法？
【变式11-2】（2022春·重庆·八年级重庆八中校考期末）阅读以下材料，并利用材料知识解决问题．
材料一：如果实数a，b满足，那么就称a和b是一组“创意数对”，用有序数对表示．例如：由于，所以是“创意数对”．
材料二：任何一个自然数M都能分解成两个因数的乘积：，对于M的所有分解，当最小时，我们称此分解为M的“和值分解”，并记．例如：对于，∵，∴是18的“和值分解”，．
(1)是否存在实数m，使得是“创意数对”？如果存在，请求解出m的值；若不存在，请说明理由；
(2)一个两位数N的十位数字为x，个位数字为y，若是“创意数对”，请求解的最小值．
【变式11-3】（2022春·重庆大渡口·七年级统考期末）阅读下列材料，并根据材料回答以下问题
材料一：一个三位数，各个数位均不相等且不等于0，满足这样条件的数叫“无独数”．任选无独数的两个数字，组成六个新的两位数，并把这六个两位数相加得到的和再除以11，得到的结果记作．例如：无独数351，得到的六个两位数分别为：35，31，53，51，13，15，则．
材料二：一个三位数，各个数位上的数字均为偶数，且百位数字最大，称这样的三位数为“有偶数”．
(1)______；最小的有偶数为______；
(2)试说明任意一个无独数m，的值均能被2整除；
(3)若一个三位数，，既是无独数，又是有偶数，且的结果为6的倍数，求满足条件的所有n．
【考点12 二元一次方程（组）的应用】
【例12】（2022·河南·南阳市第十九中学七年级阶段练习）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
(2)现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
(3)若1辆甲种货车需租金120元/次，1辆乙种货车需租金100元次．请求出（2）中哪种租车方案费用最少，最少费用是多少？
【变式12-1】（2022·重庆大足·七年级期末）今年“五一”劳动节期间，某手机专卖店上架了甲、乙两款手机．前三天售出的甲款手机的数量比乙款手机的数量多50%，后两天售出的甲款手机的数量比前三天售出的甲款手机的数量少40%，结果后两天售出的甲乙两款手机的总数量比前三天售出的甲乙两款手机的总数量多12%，若后两天甲、乙两款手机的销售总额比前三天甲、乙两款手机的销售总额多24%，在整个销售期间甲乙两款手机的单价不变，则甲款手机的单价与乙款手机的单价的比值为______．
【变式12-2】（2022·重庆铜梁·七年级期末）端午节临近，某超市热销A、B、C三种粽子，其中其每千克B种粽子的成本价比每千克A种粽子的成本价高50%，每千克C种粽子的成本价是每千克A种粽子的成本价的2倍．最近，超市打算将三种粽子混装配成甲、乙、丙三种礼品盒进行销售（礼品盒的盒子成本价不计）．其中甲礼品盒有A种粽子3千克、B种粽子2千克、C种粽子2千克；乙礼品盒有A种粽子2千克、B种粽子3千克、C种粽子3千克；丙礼品盒有A种粽子4千克、B种粽子2千克、C种粽子4千克．销售时，每个丙礼品盒在成本价基础上提高后销售，甲、乙礼品盒的利润率都为20%．端午节前一天，该超市售出这三种礼品盒后获利25%，已知售出甲、丙礼品盒两种共25盒，且甲礼品盒不低于12个．则该超市当天售出三种礼品盒共______个．
【变式12-3】（2022·重庆·模拟预测）唐代诗人杜甫曾到“读书破万卷，下笔如有神”．为了提升全民素养，某书店搞了一次现场促销活动，活动中名著和儿童读物两类图书套装优惠力度较大，其中每一类套装里含有线装本，精装本，平装本三种不同材质的图书，两类图书套装中相同材质图书的售价相同，且每一类套装中数量均为44本，其中名著套装内线装本，精装本，平装本数量之比为4：3：4，儿童读物套装内线装本，精装本，平装本数量之比为3：6：2．已知一套名著套装和一套儿童读物套装的售价之和与62本精装本图书的售价相同，一本精装本图书售价是一本线装本图书售价的2倍，每套名著套装的利润率为20%，每套儿童读物套装的利润率为36%，则当销售名著套装与儿童读物套装的数量之比为9：14时，该书店销售这两类套装的总利润率为______．
【考点13 三元一次方程组的解法】
【例13】（2022·四川·隆昌市知行中学七年级阶段练习）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的和为
A．5B．6C．7D．8
【变式13-1】（2022·全国·七年级课时练习）解下列三元一次方程组：
（1）；（2）．
【变式13-2】（2022·广东·可园中学七年级期末）在等式中，当时，；当时，：当时，．
(1)求，，的值；
(2)求当时，的值．
【变式13-3】（2022·吉林长春·七年级阶段练习）已知三个方程构成的方程组，，，恰有一组非零解，，，则________．
【考点14 三元一次方程组的应用】
【例14】（2022·重庆·华东师范大学附属中旭科创学校九年级期末）新世纪百货推出A，B，C三种零食大礼包，每种礼包都由一定数量的坚果、牛肉干和薄脆饼组合搭配构成．三种大礼包的成本分别为礼包中三种零食的成本之和，同种零食的单价相同．已知袋牛肉干和袋薄脆饼的价格相同，一份A礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼，一份B礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼．若一份B，C礼包的成本相同，均比一份A礼包的成本贵，一份C礼包中的零食袋数与一份A礼包中的零食袋数之比为：，且一份C礼包中坚果袋数比牛肉干袋数多，则一份C礼包中的薄脆饼袋数比牛肉干袋数少______袋．
【变式14-1】（2022·湖北黄冈·七年级阶段练习）购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（ ）
A．元B．元C．元D．元
【变式14-2】（2022·重庆市永川区教育科学研究所一模）某中学科技节颁奖仪式隆重举行，其中小科技创新发明奖共有60人获奖，原计划特等奖5人，一等奖15人，二等奖40人．后来经校领导开会研究决定，在该项奖励总奖金不变的情况下，各等级获奖人数实际调整为：特等奖8人，一等奖18人，二等奖34人，调整后特等奖每人奖金降低40元，一等奖每人奖金降低20元，二等奖每人奖金降低10元，调整前一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多70元，则调整后特等奖每人奖金比一等奖每人奖金多_______元．
【变式14-3】（2022·重庆丰都·七年级期末）全球棉花看中国，中国棉花看新疆．新疆长绒棉花是世界顶级棉花，品质优，产量大，常年供不应求．丰都县某超市为了支持新疆棉花，在“五一节”进行促销活动，将新疆棉制成的A、B、C三种品牌毛巾混装成甲、乙、丙三种礼包销售．其中甲礼包含1条A品牌毛巾、2条B品牌毛巾；乙礼包含2条A品牌毛巾、2条B品牌毛巾，3条C品牌毛巾；丙礼包含2条A品牌毛巾、4条C品牌毛巾，每个礼包的售价等于礼包各条毛巾售价之和．5月1日当天，超市对A、B、C三个品牌毛巾的售价分别打8折、7折、5折销售，5月2日恢复原价，小明发现5月1日一个甲礼包的售价等于5月2日一个乙礼包售价的40%，5月1日一个乙礼包的售价比5月2日一个丙礼包售价少0.8元，若A、B、C三个品牌的毛巾原价都是正整数，且B品牌毛巾的原价不超过11元，则小明在5月1日购买一个丙礼包，应该付________元．序号
1
2
3
……
n
方程组
方程组解
甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
总量（吨）
第一次
4
5
31
第二次
3
6
30