高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理课时作业

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1、定义：公式称为二项式定理
（1）二项展开式：
（2）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数
（3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为：
（4）在二项式定理中，若设，，则得到公式
2、二项展开式的特点
（1）展开式共有项；
（2）各项的次数和都等于二项式的幂指数；
（3）字母的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到为0，字母的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为。
3、对通项公式的两点说明
（1）通项公式是的展开式中的第项，这里；
（2）二项式的第项和的展开式第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的与不能随便交换位置。
二、运用二项式定理的解题策略
1、正用：求形式简单的二项展开式时，可直接由二项式定理展开，展开式注意二项展开式的特点（即前一个字母是降幂，后一个字母是升幂）。
形如的展开式中会出现正负间隔的情况，对教繁杂的式子，先化简，再用二项式定理展开。
2、逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数。
【注意】逆用二项式定理时，如果项的系数是正负相间的，则原式是的形式。
三、求二项展开式中的特定项或特定项的系数的方法
求展开式中的特定项，主要考查的展开式的通项公式的运用，一般需要借助方程的思想求未知数，再将的值代回通项公式求解，注意的取值范围（）
（1）求第项，此时令，即，代回通项公式求解；
（2）求常数项，即这项不含变量，令通项中变量的幂指数为0，建立方程求解；
（3）求有理项，令通项中变量的幂指数为整数，建立方程求解；
【补充】求特定项的系数及相关参数值，可依据上述方法求解。
四、求形如展开式中特定项的求解方法
1、因式分解法：将三项式利用因式分解变为两个二项式的积，再利用二项式定理求解问题；
2、逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题；
3、组合知识法：把看成个的乘积，利用组合知识分析项的构成。
五、求形如的式子中与特定项相关的量
第一步：分别写出与的二项展开式的通项；
第二步：根据特定项的次数，分析特定项可由与的展开式中的哪些项相乘得到（如可由常数项与项或项与项等相乘得到）；
第三步：把相乘后的项相加即可得到特定项，从而解决问题。
题型一 二项展开式的正用
【例1】（2022春·吉林通化·高二统考期中）二项式的展开式中共有（ ）项.
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】二项式的展开式的项数为，
本题，所以.故选：C.
【变式1-1】（2022·高二课时练习）用二项式定理展开______．
【答案】
【解析】．
故答案为：
【变式1-2】（2022·高二课时练习）求的展开式．
【答案】
【解析】
【变式1-3】（2022·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
．
（2）
．
题型二 二项展开式的逆用
【例2】（2022春·北京大兴·高二统考期末）化简等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
所以.故选：B
【变式2-1】（2022春·江苏南京·高二校考期中）化简的结果为（ ）
A．x4 B． C． D．
【答案】A
【解析】
.
【变式2-2】（2022·高二课时练习）已知，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】由得
则，即，解得.故选：B.
【变式2-3】（2022春·山西朔州·高二校考阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
两边求导数，，
令，得，
取，得.故选：D.
题型三 二项展开式中特定项问题
【例3】（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第三十二中学校校考期中）展开式中第5项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】展开式中第5项为.故选：B
【变式3-1】（2023·高二课时练习）求的二项式展开式中的倒数第4项．
【答案】
【解析】的二项展开式中共有11项，倒数第4项为第8项，
所以．
【变式3-2】（2023秋·河北石家庄·高二校联考期末）的展开式中的系数是（ ）
A． B．840 C．210 D．
【答案】B
【解析】由题意可得的展开式通项公式为 ，
故展开式的系数为 ，故选：B
【变式3-23】（2022·高二单元测试）若展开式中含有常数项，则的最小值是______．
【答案】4
【解析】由二项式展开项通项公式可得，
要含有常数项且最小，则，即，
∵，则当时，取得最小值，为4.
【变式3-4】（2022春·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）已知二项式的展开式中，第7项为常数项．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有有理项．
【答案】（1）8；（2）有理项为，，
【解析】（1）,
∴，
∵第7项为常数项，∴n－8＝0，∴n＝8．
（2）由（1）知,
要使为有理项，只需为整数，且 ,
∴当k＝0，3，6时，为有理项,
，，,
∴有理项为，，．
题型四 三项展开式中特定项问题
【例4】（2022春·河南郑州·高二统考期末）的展开式中的系数为（ ）
A．90 B．180 C．270 D．360
【答案】C
【解析】展开通项为：，
当，，
所以的系数为：.故选：C.
【变式4-1】（2022春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考阶段练习）的展开式中，的系数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可知，
展开式的通项为.
因为求的系数，所以，.
所以的系数为.故选：B.
【变式4-2】（2022春·广东佛山·高二校考阶段练习）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．21 B．15 C．9 D．-6
【答案】C
【解析】，
可知含项的系数是．故选：C．
【变式4-3】（2022·高二课时练习）展开式中的常数项为（ ）
A．20 B．-20 C．-12 D．-8
【答案】B
【解析】因，
则展开式的通项公式为，
由解得，所以展开式中的常数项为.故选：B
题型五 多项积展开式中特定项问题
【例5】（2023·全国·高二专题练习）的展开式的常数项为（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
【答案】D
【解析】由题意得的展开式的通项为，
令，则，
所以的展开式的常数项为.故选：D.
【变式5-1】（2022春·河南新乡·高二统考期中）展开式中的常数项为（ ）
A．－70 B．－56 C．56 D．70
【答案】D
【解析】的通项公式为，
当时，得到展开式的常数项为，故选：D
【变式5-2】（2022秋·浙江·高二金华第一中学校考阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由二项式定理：
观察可知的系数为.故选：B.
【变式5-3】（2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习）已知的展开式中的系数为10，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】的展开式的通项公式为，，
∵，
∴，解得，故选：B.