高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理练习题

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1、对称性：在的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，
即，，…，
2、增减性与最大值
当时，随的增加而增大；当时，随的增加而减小；
二、巧用赋值法解决二项式定理中的系数和问题
1、求二项式系数和：
（1）令，则
（2）令，则，即偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，也即
2、求各项系数和
（1）形如，求各项系数之和，只需令，则各项系数和分别为，；
（2）形如求各项系数之和，只需令，则各项系数之和为；
（3）若，则的各项系数之和为，
奇数项系数之和为，偶数项系数之和为
三、二项式系数的最值与项的系数的最值问题
1、二项式系数的最值问题
如果二项式的幂指数是偶数，中间项时第项，其二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，
它们的二项式系数和相等且最大；
2、项的系数的最值问题
求常规二项展开式中的系数最大项时，可设第项的系数为最大，然后解不等式即可
四、应用二项式定理解决整除问题的方法
用二项式定理处理整除问题，需要构造一个与题目有关的二项式，通常把被除数的幂的底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再利用二次项定理展开，只需考虑后面（或前面）的一项或两项即可。
【注意】在解决问题时要注意余数的范围，（为余数，，是除数），利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转化为正数。
五、杨辉三角：
当n依次取1,2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数可以表示成如下形式：
(a＋b)1………………………………1 1
(a＋b)2……………………………1 2 1
(a＋b)3…………………………1 3 3 1
(a＋b)4………………………1 4 6 4 1
(a＋b)5……………………1 5 10 10 5 1
(a＋b)6…………………1 6 15 20 15 6 1
… …上表称为“杨辉三角”.
从上面的表示形式可以直观地看出“杨辉三角”的特点：
（1）在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；
（2）在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.
由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数.
题型一 二项式系数的和与各项系数的和
【例1】（2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习）已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为（ ）
A．211 B．210 C．29 D．28
【变式1-1】（2022春·陕西渭南·高二统考期末）若，则的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式1-2】（2022秋·上海杨浦·高二校考期末）已知，则（ ）
A．128 B．2187 C．78125 D．823543
【变式1-3】（2023·高三课时练习）若，x∈R，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【变式1-4】（2022春·湖北·高二校联考阶段练习）已知，则___________．
题型二 二项式系数最值问题
【例2】（2022春·陕西宝鸡·高二统考期末）展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C．和 D．和
【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）已知为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，且，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2-2】（2022春·甘肃酒泉·高二统考期末）若展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（ ）
A．160 B．60 C． D．
【变式2-3】（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）（多选）已知的展开式中第6项的二项式系数最大，则的值可以为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
题型三 项的系数最值问题
【例3】（2023·高二课时练习）已知在的二项展开式中，各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992，求该二项展开式中系数最大的项．
【变式3-1】（2022秋·上海·高二校考期末）在的二项展开式中，系数最大的项为______.
【变式3-2】（2022春·江苏常州·高二校联考期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（ ）
A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项
【变式3-3】（2022春·北京·高二校考阶段练习）已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，则展开式中系数最小的项为________.
题型四 用二项式定理解决整除求余问题
【例4】（2022秋·上海徐汇·高二位育中学校考期末）被9除所得的余数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【变式4-1】（2023·高二课时练习）的末尾有（ ）个连续的零．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-2】（2022春·江苏宿迁·高二统考期末）如果今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
【变式4-3】（2022春·河北保定·高二统考期中）已知，且恰能被14整除，则m的取值可以是（ ）
A．1 B．12 C．7 D．27
【变式6-4】（2023·高二课时练习）已知．求证：当为偶数时，能被64整除．
题型五 用二项式定理解决近似计算问题
【例5】（2021春·安徽·高二校联考期末）估算的结果，精确到0.01的近似值为（ ）
A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【变式5-2】（2023·高二课时练习）将精确到0.01的近似值是______．
【变式5-3】（2023·全国·高二专题练习）已知为正整数，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型六 用二项式定理解“杨辉三角”
【例6】（2022秋·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）我国南宋数学家杨辉在所著的《解析九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的第80项为（ ）
A．13 B．14 C．78 D．91
【变式6-1】（2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，第行的第3个数字为，则（ ）
A．165 B．180 C．220 D．236
【变式6-2】（2022春·安徽阜阳·高二安徽省临泉第一中学统考期末）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《解析九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
【变式6-3】（2022秋·上海徐汇·高二位育中学校考期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第2022行中第1011个数最大
C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3