人教A版高中数学(选择性必修第三册)同步讲义+练习第六章：计数原理 重点题型复习（2份，原卷版+解析版）

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第六章：计数原理重点题型复习题型一 两种计数原理综合应用【例1】（2022春·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（ ）A．5 B．7 C．8 D．12【变式1-1】（2022春·广西百色·高二统考期末）某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲､乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为（ ）A．16 B．24 C．12 D．36【变式1-2】（2021秋·北京·高二北师大实验中学校考期中）马路上有依次编号为的9盏路灯，为节约用电，某个时段可以把其中3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法的种数为（ ）A． B． C． D．【变式1-3】（2022秋·上海杨浦·高二校考期末）有8种不同型号的手机供4位顾客选购，每人只购一台，则共有______种不同的选法.【变式1-4】（2022秋·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）从3个女生4个男生中选取3人参加某项活动，男生女生都要有人参加，共有_______种选法．题型二 排列数与组合数的计算【例2】（2022春·江苏·高二校联考阶段练习）不等式的解为（ ）A． B． C． D．【变式2-1】（2022秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）（多选）已知，则的可能取值是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【变式2-2】（2022春·江苏苏州·高二校考期中）（多选）已知正整数满足不等式，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．【变式2-3】（2022·高二课时练习）若，则的取值范围是______．【变式2-4】（2022·高二课时练习）（1）若，则________；（2）不等式的解集为________．题型三 排列组合之排数问题【例3】（2022秋·甘肃兰州·高二兰州一中校考期中）4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（ ）A．288 B．336 C．368 D．412【变式3-1】（2022春·广东清远·高二统考期末）回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（ ）A．25 B．20 C．30 D．36【变式3-2】（2022春·山西吕梁·高二校考阶段练习）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个．（1）六位奇数；（2）能被5整除的四位数.【变式3-3】（2022春·江苏苏州·高二星海实验中学校考期中）从1到7的7个数字中取出两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数.（1）求包含3和6的四位数的个数；（2）求两个奇数排在一起的四位数的个数；（3）求奇数和偶数均不相邻的四位数的个数.（注：所有结果均用数值表示）【变式3-4】（2021秋·江苏南京·高二南京市第十三中学校考阶段练习）已知集合A={1，2，3，4，5，6}．（1）从集合A中任取4个数字组成无重复数字的四位数，共有多少个偶数？（2）从集合A中任取3个不同的数，其和为偶数，共有多少种不同的取法?（3）从集合A中任取2个奇数和2个偶数，可构成多少个奇数字相邻的四位数?（4）从集合A中任取4个数字组成无重复数字的四位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列，则这个数列中第135项是多少?题型四 排列组合之排队问题【例4】（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？A．72 B．36 C．24 D．12【变式4-1】（2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习）甲乙丙丁戊名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端､丙和丁相邻的不同排列方式有（ ）A．种 B．种 C．种 D．种【变式4-2】（2022春·广东潮州·高二饶平县第二中学校考阶段练习）（多选）、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）A．若、两人站在一起有种方法 B．若、不相邻共有种方法C．若在左边有种排法 D．若不站在最左边，不站最右边，有种方法【变式4-3】（2022秋·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数.（1）选5名同学排成一排：（2）全体站成一排，甲、乙不在两端：（3）全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；（4）全体站成一排，男生彼此不相邻；题型五 排列组合之涂色问题【例5】（2022·高二单元测试）用红、黄、蓝3种颜色给如图所示的6个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂2个圆，且相邻2个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂法种数为（ ）A．24 B．30 C．36 D．42【变式5-1】（2022春·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.【变式5-2】（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考期中）如图所示的五个区城中，现要求在五个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区城所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为________（用数字作答）．【变式5-3】（2022·高二课时练习）如图，用5种不同的颜色给图中的、、、、、6个不同的点涂色，要求每个点涂1种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有______种.【变式5-4】（2022秋·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有5种颜色可供选择，则共有_______种不同的染色方案．题型六 排列组合之分组分配问题【例6】（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到3个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（ ）A．360种 B．240种 C．150种 D．90种【变式6-1】（2022秋·甘肃庆阳·高二统考期末）现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动．（1）若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；（2）若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数．【变式6-2】（2023·高二课时练习）6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（2）分为三份，每份两本；（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．【变式6-3】（2023·高二课时练习）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．（1）四个小球不同，每个盒子各放一个；（2）四个小球相同，每个盒子各放一个；（3）四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；（4）四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．题型七 排列组合之定序问题【例7】（2022·全国·高三专题练习）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）A．6 B．12 C．15 D．30【变式7-1】（2022春·湖北·高二安陆第一高中校联考期中）某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（ ）A．150 B．300 C．450 D．225【变式7-2】（2022·高二课时练习）某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（ ）.A．42 B．56 C．30 D．72【变式7-3】（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了个歌唱节目和个舞蹈节目如果保持原节目的顺序不变，且要求增加的两个歌唱节目相邻那么不同排法的种数为____．题型八 排列组合之多面手问题【例8】（2022·高二课时练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法A．225 B．185 C．145 D．110【变式8-1】（2022·高二课时练习）有8名学生，其中2名学生会下象棋但不会下围棋，3名学生会下围棋但不会下象棋，3名学生既会下象棋又会下围棋.现从这8名学生中选出2名学生，其中一名学生参加象棋比赛，另一名学生参加围棋比赛，则不同的选派方法有（ ）A．18 B．24 C．27 D．30【变式8-2】（2022春·黑龙江·高二大庆市东风中学校考期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______【变式8-3】（2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习）我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有______种不同的选法题型九 二项展开式的正用与逆用【例9】（2022·高二课时练习）求的展开式的中间项．【变式9-1】（2023·全国·高二专题练习）设，则（ ）A．21 B．64 C．78 D．156【变式9-2】（2022·高二课时练习）设，，则A－B的值为（ ）A．128 B．129 C．47 D．0【变式9-3】（2021·全国·高二专题练习）已知的展开式中第3项、第4项、第5项之和大于25，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【变式9-4】（2022春·山东烟台·高二统考期中）在二项式的展开式中，只有第六项的二项式系数最大.（1）求其展开式的第四项；（2）求的值.题型十 二项展开式中的特定项【例10】（2023秋·浙江·高三期末）二项式的展开式中的常数项是（ ）A． B．15 C．20 D．【变式10-1】（2022秋·甘肃庆阳·高二统考期末）在的展开式中，系数为有理数的项是（ ）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【变式10-2】（2022春·江苏·高二校联考阶段练习）展开式中的系数为（ ）A． B． C． D．【变式10-3】（2022秋·浙江·高二校联考阶段练习）（多选）在的展开式中，有理项恰有两项，则的可能取值为（ ）A． B． C． D．【变式10-4】（江西省上饶市六校2023届高三第一次联考数学（理）试题）若展开式中的系数为30，则________.【变式10-5】（浙江省嘉兴市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）的展开式中的系数为__________（用数字作答）.【变式10-6】（2023秋·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）已知，则______.【变式10-7】（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）在的展开式中，的系数为___________.题型十一 二项式系数与项的系数和问题【例11】（2022春·北京·高二东直门中学校考阶段练习）设，则的值为（ ）A．1 B．0 C．16 D．15【变式11-1】已知，则（ ）．A． B．2021 C． D．0【变式11-2】（2022春·福建厦门·高二厦门一中校考期中）（多选）若，则下列结论中正确的是（ ）A． B． C． D．【变式11-3】（2022春·湖南·高二南县第一中学期中）已知展开式中的第四项为常数项．（1）求n的值；（2）求展开式中所有项的系数和以及所有项的二项式系数和．【变式11-4】（2022春·湖北十堰·高二丹江口市第一中学校考阶段练习）已知．（1）求；（2）求；（3）求．题型十二 二项式系数与项的系数最值【例12】（2022春·黑龙江大庆·高二大庆市东风中学校考期末）在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）A．7 B．8 C．9 D．10【变式12-1】（2022春·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知二项式的展开式的各二项式系数的和等于128，（1）求n的值；（2）求展开式中系数最大的项．【变式12-2】（2022秋·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）已知二项式，且．（1）求的展开式中的第5项；（2）求的二项式系数最大的项．【变式12-3】（2023·高二课时练习）（1）已知在的二项展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求该二项展开式中不含x的项；（2）已知在的二项展开式中，只有第七项的系数最大，求n的值；（3）已知在的二项展开式中，第六项的系数最小，求n的值．【变式12-4】（2022·高二课时练习）在的展开式中，求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数绝对值最大的项．题型十三 二项式定理的应用【例13】（2022春·河北唐山·高二开滦第二中学校考期末）设，且，若能被13整除，则a=___________.【变式13-1】（2022·高二课时练习）设n为正奇数，则被7整除的余数为（ ）．A． B．0 C．3 D．5【变式13-2】（2023·全国·高二专题练习）今天是星期三，再过天是星期（ ）．A．一 B．二 C．四 D．五【变式13-3】（2022·高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）．A．除以90的余数是16 B．能被90整除C．除以100的余数是81 D．除以100的余数是【变式13-4】（2023·全国·高二专题练习）（1）用二项式定理证明能被14整除；（2）除以100的余数．【变式13-5】（2021春·广东珠海·高二珠海市第二中学校考阶段练习）的近似值（精确到）为________．题型十四 杨辉三角的简单应用【例14】（2022春·河南南阳·高二校联考阶段练习）下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《解析九章算法》中，称之为“杨辉三角”，该表中第10行第7个数是（ ）A．120 B．210 C．84 D．36【变式14-1】（2022春·北京·高二北京师大附中校考期中）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在的展开式中，的系数为，则实数的值为（ ）A． B． C． D．【变式14-2】（2022春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.如图所示的杨辉三角中，从第3行开始，每一行除1以外，其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为4∶5∶6，则这一行是第__________行.第0行    1第1行   1  1第2行 1  2  1第3行   1   3  3  1第4行 1   4   6  4  1第5行   1  5  10  10  5  1第6行 1  6  15  20  15  6  1【变式14-3】（2022春·山东济宁·高二校考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则第10条斜线上，各数之和为______.【变式14-4】（2022春·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）（多选）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（ ）A．当是偶数时，中间一项取得最大值，当是奇数时，中间两项相等，且同时取得最大值B．C．D．