高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式综合训练题

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1、定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
2、乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则.
3、条件概率的性质：设，则
（1）；
（2）如果B和C是两个互斥事件，则；
（3）设B和B互为对立事件，则
4、两点说明
（1）一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件），求另一事件在此条件下发生的概率；
（2）通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的。
二、全概率公式
1、全概率公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.
2、全概率公式的来由：
不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算。
3、另一个角度理解全概率公式
（1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是.
（2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式。
（3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。
三、贝叶斯公式
设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件，，有，．
题型一 利用定义求条件概率
【例1】（2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习）在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解学情，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ）
A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75
【变式1-3】（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型二 条件概率的性质及应用
【例2】（2023·全国·高二专题练习）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022春·广东佛山·高二统考期末）设A，B是两个事件，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和4个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，第一次取出的球是红球的概率（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022·高二课时练习）设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，试按：
（1）有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率；
（2）不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率.
题型三 全概率公式及其应用
【例3】（2023·全国·高二专题练习）盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·高二单元测试）某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为（ ）
A．0.785 B．0.845 C．0.765 D．0.215
【变式3-2】（2022春·福建厦门·高二厦门海沧实验中学校考期中）某游泳小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员8人，三级运动员8人．现在举行一场游泳选拔比赛，若一、二、三级运动员能够晋级的概率分别是0.9，0.7，0.4，则在这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ）
A．0.58 B．0.60 C．0.62 D．0.64
【变式3-3】（2022春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电.
（1）假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率；
（2）若甲、乙、丙3个车间的产量依次占全厂的、、，且各车间的次品率分别为、、，.现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少?
题型四 贝叶斯公式及其应用
【例4】（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）一道考题有4个，要求学生将其中的一个正确选择出来．某考生知道正确的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·高二课时练习）已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（ ）
A．0.2 B．0.8 C．0.3 D．0.7
【变式4-2】（2022·高二课时练习）（多选）在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%．则（ ）
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
【变式4-3】（2022·高二课时练习）有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4而他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机迟到的概率分别是0.25，0.3，0.1，0，实际上他是迟到了，推测他坐哪种交通工具来的可能性大.（结果保留小数点后两位）