高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列练习

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1、随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2、离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量；通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z.
【注意】离散型随机变量的特征：
（1）可以用数值表示；
（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；
（3）试验结果能一一列出．
3、“三步法”判定离散型随机变量
（1）明确随机试验的所有可能结果；
（2）将随机试验的试验结果数量化；
（3）确定实验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是。
二、离散型随机变量的分布列
1、定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个的概率，为X的概率分布列，简称分布列．
离散型随机变量的分布列可以用表格表示：
2、离散型随机变量分布列的意义和作用
（1）离散随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础。
（2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和。
3、离散型随机变量的分布列的性质
（1）；
（2）
三、0-1分布
1、定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，
定义如果，则，那么X的分布列如表所示．
我们称X服从两点分布或0－1分布．
【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是．
2、两点分布的适用范围
（1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律；
（2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。
如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。
题型一 随机变量与离散型随机变量
【例1】（2022春·陕西渭南·高二渭南市华州区咸林中学校考期中）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（ ）．
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到球的个数
【答案】C
【解析】选项A，B是随机事件；选项D是定值2；
选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示．故选：C．
【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）（多选）一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌（大王和小王），从中任取4张，则随机变量可能为（ ）
A．所取牌数 B．所取正牌和大王的总数
C．这副牌中正牌数 D．取出的副牌的个数
【答案】BD
【解析】对于A，所取牌数为4，是一个常数，不是随机变量，所以A错误，
对于B，4张牌中所取正牌和大王的总数可能为3，4，所以是随机变量，所以B正确，
对于C，这副牌中正牌数为52，是一个常数，不是随机变量，所以C错误，
对于D，4张牌中所取出的副牌的个数可能为0，1，2，所以是随机变量，
所以D正确，故选：BD
【变式1-2】（2022春·江苏淮安·高二统考期末）（多选）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（ ）
A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X
B．测量一个年级所有学生的体重，在60kg~70kg之间的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在170cm~175cm之间的人数记为X
D．一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X
【答案】AC
【解析】电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，选项A正确；
体重无法一一列举，选项B不正确；
人数可以列举，选项C正确；
数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量；选项D不正确；故选AC.
【变式1-3】（2022·高二课时练习）（多选）下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（ ）．
A．从10张已编好号码的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号码
B．一个袋子中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数
C．某林场的树木最高可达30m，从此林场中任选一棵树，所选树木的高度
D．从某加工厂加工的某种铜管中任选一根，所选铜管的外径尺寸与规定的外径尺寸之差
【答案】CD
【解析】对于A，被取出的卡片的号码是1，2，3，…，10，共有10个值，是随机变化的，
符合离散型随机变量的定义；
对于B，从10个球中取3个球，所含白球的个数有0，1，2，3，共有4个值，
是随机变化的，符合离散型随机变量的定义；
对于C，所选树木的高度是随机变化的，它可以取内的一切值，无
法一一列出，不是离散型随机变量；
对于D，实际测量值与规定值之间的差值是随机变化的，它充满了某个区间，
无法一一列出，不是离散型随机变量.故选：CD
题型二 离散型随机变量的分布列
【例2】（2023·全国·高二专题练习）一个袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码．
（1）求的分布；
（2）求的取值不小于4的概率．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）随机变量的可能取值为3、4、5、6，
且，，
，，
所以的分布为：
（2）的取值不小于4的概率为：
．
【变式2-1】（2022春·天津·高二校联考期末）某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】（1），所以.
（2）的可能取值为，
，，.
所以的分布列为：
【变式2-2】（2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习）某城市为了加快“两型社会”（资源节约型，环境友好型）的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】（1）由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，，
租车费相同，即两人都在同一时间段还车，
标记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则，
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为．
（2）由题可知，X可能取的值有0，2，4，6，8，
且；；
；；
．
所以甲、乙两人所付的租车费用之和X的分布列为
【变式2-3】（2022春·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）学校组织解题能力大赛，比赛规则如下：依次解答一道解析几何题和两道立体几何题，解析几何正确得2分，错误得0分；两道立体几何全部正确得3分，只正确一道题得1分，全部错误得0分；总分是两部分得分之和．小明同学准备参赛，他目前的水平是：解析几何解答正确的概率是；每道立体几何解答正确的概率均为．假设小明同学每道题的解答相互独立，
（1）求小明同学恰好有两道题解答正确的概率；
（2）求小明同学获得的总分X的分布列．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】（1）由题意解析几何题解答正确的概率是，立体几何题解答正确的概率为，
所以小明同学恰好有两道题解答正确的概率
；
（2）由题意得的可能取值为0，1，2，3，5，
所以，
，，
，
则的分布列为
题型三 分布列的性质及其应用
【例3】（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）设是一个离散型随机变量，其分布列为
则等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，
解得（大于，舍去）或.故选：C
【变式3-1】（2023·全国·高二专题练习）设X是一个离散型随机变量，则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是（ ）
A．， B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p， D．，，…，
【答案】D
【解析】根据分布列的性质可知，所有的概率之和等于1，且，．
对于A，因为，满足，
所以A选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于B，因为，且满足，
所以B选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于C，因为，且满足，
所以C选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于D，因为，
所以D选项不能成为X的分布列的一组概率取值的数据．故选：D．
【变式3-2】（2022春·山东济南·高二统考期末）已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
所以；
故故选：B
【变式3-3】（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
则等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以.故选：C.
题型四 两点分布
【例4】（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.7
【答案】C
【解析】随机变量服从两点分布，，
根据两点分布概率性质可知：，
解得.故选：C.
【变式4-1】（2022·高二课时练习）若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用描述一次试验的成功次数，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】据题意知，“”表示一次试验试验失败，“”表示一次试验试验成功.
设一次试验失败率为，则成功率为，所以，所以，
所以.故选：C
【变式4-2】（2022·高二课时练习）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为的分布列服从两点分布，所以，
因为，所以
故选：C
【变式4-3】（2022·高二课时练习）（多选）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球､3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
【答案】BCD
【解析】由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，
而抛掷一枚骰子，所得点数的取值为1，2，3，4，5，6，
所以A中的随机变量不服从两点分布.故选:BCDX
…
P
…
X
0
1
X
0
2
4
6
8
P
0
1
2
3
5
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1