新高考数学一轮复习考点讲与练9.1 直线方程与圆的方程（精讲）（2份，原卷版+教师版）

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直线的斜率与倾斜角
1.直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则eq \(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°．
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)．
二．直线方程的五种形式
三．直线的位置关系
1．两条直线的平行与垂直
(1)两条直线平行
若l1∥l2，则l1与l2的倾斜角α1与α2相等，由α1＝α2，可得tan α1＝tan α2，即k1＝k2.因此，若l1∥l2，则k1＝k2．
(2)两条直线垂直
设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，于是l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1.也就是说，l1⊥l2⇔k1k2＝－1．
2．两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
四．三种距离
五．圆的定义和圆的方程
有关圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．
2．直线与圆的位置关系
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
3.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(圆C1方程,圆C2方程))eq \(――→,\s\up7(消元))一元二次方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＞0⇒相交；,Δ＝0⇒内切或外切；,Δ＜0⇒内含或外离Ｗ.))
一．斜率的求法
1.定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率；
2.公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求斜率．
二．倾斜角及斜率取值范围的两种求法
1.数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
2.函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．
三．求圆的方程的两种方法
1.直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程．
2.待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
四．判断直线与圆的位置关系的方法
1.几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．
2.代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．
①如果Δ0，那么直线与圆相交．
五．圆的切线方程
1.过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
3.过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
4．两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
考点一 直线的倾斜角与斜率
【例1-1】（2022秋·吉林·高三校考期末）已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【例1-2】．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【例1-3】．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023·黑龙江哈尔滨）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
2．（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）在等差数列中，，直线过点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
考点二 直线方程
【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例2-2】．（2023·全国·高三专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线和的交点为，则过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知两点，则线段的中垂线的方程为 .
3（2023·全国·高三专题练习）已知一条直线经过点A（2,－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 ；
4．（2023·全国·高三专题练习）过点且与直线平行的直线方程为 .
考点三 两条直线的位置关系
【例3-1】（2024·四川成都·成都七中校考一模）直线：与直线：平行，则（ ）
A．B．C．2D．
【例3-2】（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）已知，则“直线与直线垂直”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件，
【一隅三反】
1．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023·全国·高三专题练习）若直线与垂直，则 .
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线和直线，若，则
考点四 三种距离
【例4-1】（2023·全国·高三专题练习）直线，之间的距离是 .
【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程： .
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）当点到直线的距离取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线：，：，则与间的距离为 .
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）点到直线的距离的最大值是 ．
考点五 圆的方程
【例5-1】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知的三个顶点为，则下列关于的外接圆圆M的说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心坐标为
B．圆M的半径为
C．圆M关于直线x＋y＝0对称
D．点在圆M内
【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023秋·云南临沧·）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·重庆沙坪坝·）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·宁夏银川）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．12
考点六 直线与圆的位置关系
【例6】（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）（多选）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点B．直线被圆截得的弦最长时，
C．直线被圆截得的弦最短时，D．直线被圆截得的弦最短弦长为
【一隅三反】
1．（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考开学考试）（多选）设直线与圆，则下列结论正确的为（ ）
A．可能将的周长平分
B．若圆上存在两个点到直线的距离为1，则的取值范围为
C．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2
D．若直线与圆交于两点，则中点的轨迹方程为
2．（2023秋·山西忻州·高三校联考开学考试）（多选）已知直线与圆，则（ ）
A．直线l过定点
B．圆C的半径是4
C．直线l与圆C一定相交
D．圆C的圆心到直线l的距离的最大值是
3．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）（多选）已知直线及圆，则（ ）
A．直线过定点
B．直线截圆所得弦长最小值为2
C．存在，使得直线与圆相切
D．存在，使得圆关于直线对称
考点七 圆与圆的位置关系
【例7-1】（2023春·江苏扬州）圆与圆的位置关系为（ ）．
A．相交B．内切C．外切D．外离
【例7-2】（2023·全国·高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【一隅三反】
1．（2023春·四川成都·高三统考阶段练习）“”是“圆：与圆：有公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023安徽）（多选）点在圆：上，点在圆：上，则（ ）
A．的最小值为
B．的最大值为
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆公共弦所在直线的方程为
3．（2023·湖南·校联考二模）（多选）已知点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．两圆外离B．的最大值为9
C．的最小值为1D．两个圆的一条公切线方程为
考点八 圆的切线、弦长问题
【例8-1】（2023秋·湖南）已知圆，过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则四边形的面积为（ ）．
A．6B．12C．14D．18
【例8-2】（2023春·山东菏泽·高三校考开学考试）过点与圆相切的两条直线的夹角为则（ ）
A．1B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）圆和圆的交点为A，B，则（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
2．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）（多选）已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．与的公切线恰有4条
B．与相交弦的方程为
C．与相交弦的弦长为
D．若分别是圆上的动点，则
3．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）“”是“圆：与圆：存在公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
考点九 与圆的有关最值问题
【例9-1】（2023·全国·模拟预测）已知圆与圆交于，两点，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（ ）
A．6B．C．D．7
【例9-2】（2023秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考开学考试）已知复数满足，则的最大值为 ．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为 ．
2．（2023春·福建宁德·高三统考阶段练习）已知圆与圆内切，则的最小值为
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）过直线上的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则点到直线距离的最大值为 .
考点十 对称问题
【例10-1】（2023秋·广东湛江·高三校联考阶段练习）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后的光线所在的直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．B．或1C．1D．2
【例10-2】（2023·全国·高三专题练习）在中，的内角平分线方程为，，，则角的正切值为 ．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，一条角平分线所在直线为，则点A坐标为 .
2．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 .
3．（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论不正确的是（ ）
A．圆关于轴的对称圆的方程为
B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为
C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则
D．若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
点点距
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)
点线距
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
线线距
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心C：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
位置
关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与
r1，r2的
关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
(r1≠r2)
0≤d＜|r1－r2|
(r1≠r2)