新高考数学一轮复习考点讲与练9.4 抛物线（精讲）（2份，原卷版+教师版）

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一．抛物线的概念
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．
(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．
2.抛物线的标准方程与几何性质
一．抛物线的定义及标准方程
1.由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可相互转化．
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
二．与抛物线有关的最值问题
1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．
2.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
三．常用的结论
1．与焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有
(1)x1·x2＝eq \f(p2,4).
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角).
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点).
（5）以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
（6）．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)．
考点一 抛物线的定义及标准方程
【例1-1】（2023秋·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解析】如下图所示：

根据题意可得抛物线的准线方程为，
若到直线的距离为，则到抛物线的准线的距离为，
利用抛物线定义可知.
故选：A
【例1-2】（2023·新疆·统考三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为．
故选：C．
【一隅三反】
1．（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）已知点在抛物线C：上，则P到C的准线的距离为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】抛物线的准线为，
将代入得，
故P到准线的距离为2，
故选：C．
2．（2023秋·山东青岛·高三统考开学考试）设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】抛物线的开口向上，
由于在上，且，
根据抛物线的定义可知，
所以抛物线的方程为.
故选：A
3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知点是抛物线C：的焦点，点M在抛物线C上，点，且，则点M到y轴的距离为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【解析】因为点是抛物线C：的焦点，所以，．
又因为，所以，
设，则，
所以，故点M到y轴的距离为8．
故选：B

考点二 抛物线有关的最值问题
【例2-1】（2023·四川成都·校联考二模）已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】因为点是抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线的方程为：．
由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，
结合点与抛物线的位置关系可知，的最小值是点到准线的距离，故的最小值为7．
故选：C.

【例2-2】（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点的距离最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，所以抛物线的方程为，
且，所以抛物线的方程为，
设，则，
所以当时，取得最小值为.
故选：B
【一隅三反】
1．（2023·全国· 专题练习）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）．
A．13B．12C．10D．8
【答案】A
【解析】，故,
记抛物线的准线为，则：，
记点到的距离为，点到的距离为，
则.
故选：A.

2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【解析】由题意知,设，则,
所以当时,，又因为圆的半径为1，所以.
故选：B.

3．（2023春·四川南充 ）已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（ ）
A．3B．4C．D．6
【答案】B
【解析】由消去得，
因为，所以方程无解，
即直线与抛物线无交点；
过点作于点，于点，记抛物线的焦点为，连接，
因为点到直线的距离为,为抛物线的准线，根据抛物的定义可得，，
则到直线和的距离之和为，
若，，三点不共线，则有，
当，，三点共线，且位于之间时，，
则，
又，
所以，即所求距离和的最小值为.
故选：.
4．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（ ）
A．10B．9C．8D．5
【答案】B
【解析】设，，
联立得，
则.
所以.
当且仅当，即，时，上式取等号，
故.
故选：B
考点三 直线与抛物线的位置关系
【例3-1】（2023秋·课时练习）（多选）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】（1）当过点的直线l的斜率存在时，设其方程为，
由方程组消去y得，
①若，则，解得，此时直线与抛物线只有一个交点，直线l的方程为，A正确；
②若，令，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，直线l的方程为，即，B正确.
（2）当过点的直线l的斜率不存在时，方程为，与抛物线相切，只有一个交点，C正确．
综上，直线l的方程为，或.
故选：ABC.

【一隅三反】
1．（2023秋·课时练习）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．相交或相切
【答案】D
【解析】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点，
所以D选项正确.
故选：D
2．（2023秋·课时练习）（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（ ）
A．B．
C．1D．2
【答案】BC
【解析】抛物线的准线与x轴交于点Q，
准线为，Q点的坐标，
又直线l过点Q，且斜率必存在，
可设l：，
联立，可得，
当时，得，即交点为，
当时，由得，即，
解得，或，
综上，k的取值范围是．
故选：BC.
3．（2023秋课时练习）过点与抛物线只有一个公共点的直线有 条．
【答案】3
【解析】①当斜率不存在时，过点的直线为y轴，显然符合题意．
②当斜率存在时，设直线方程为．
联立得，
当时，解得，此时方程有唯一实数解，符合题意；
当时，由解得，此时方程有唯一实数解，符合题意．
综上共有3条直线．
故答案为：3

4．（2023秋云南）已知抛物线方程为，若过点的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得①，
当时，①可化为，此时，即直线与抛物线相交于.
当时，由于①有解，
所以，
即，解得且.
综上所述，直线l的斜率的取值范围是.
故答案为：
考点四 弦长
【例4-1】（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
【答案】6
【解析】是抛物线的焦点，
准线方程，
设，线段的中点横坐标为2, .
，线段的长为6.
故答案为：6.
【例4-2】（2023秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则弦最短长度为4
C．存在以为直径的圆与相交
D．若直线，且点在轴的上方，则
【答案】BD
【解析】对于A，若，则，故，故A错误，
对于B，若，则，则抛物线方程为，
设过点的直线方程为，联立其与抛物线的方程可得，
设，则
故，
故当时，此时弦最短长度为4，故B正确，
对于C， 设的中点为，设过点的直线方程为，
联立其与抛物线的方程可得，
设，
因为，故，
则点到准线的距离为，
而，
故以为直径的圆与相切，故C错误，
对于D，联立与抛物线方程可得，解得或，
由于点在轴的上方，所以故，
又，则，
所以，D正确，
故选：BD

【一隅三反】
1．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线的焦点，作斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则（ ）
A．B．或3C．或2D．3
【答案】C
【解析】由题意可知直线的方程为，
由，可得，解得或，或者.

故选：C.
2．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时，最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为时，
C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5
D．
【答案】BC
【解析】对于A项，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，
过点分别作轴的垂线，垂足分别为，准线与轴的交点为，
设直线的倾斜角为，画图为：

根据抛物线的定义：，从图可知，，
，在中，，
所以，同理，
则
，故当时，
故最小值为，此时垂直于轴，所以A不正确；
对于B项，由A可知，，故B正确；
对于C项，，
当且仅当直线过焦点时等号成立，所以最大值为5，故C正确；
当直线过焦点时，，
当直线不过焦点时，不是定值，
举例当时，此时，，
即，，，故D错误；
故选：BC.
3．（2023·江西九江·统考一模）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图所示：

由圆的标准方程为可知圆心，半径为，
抛物线的焦点为，准线方程为，
由抛物线定义可知，
圆外一点到圆上点的距离满足，即；
所以，
当且仅当三点共线时，等号成立；
即的最小值为．
故答案为：
考点五 直线与抛物线的综合问题
【例5】（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且．
(1)求的值；
(2)若直线l与交于M，N两点，与交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意知，，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
设直线，，，，，
根据题意结合图形可知，且．
联立，得，
则，
同理联立，得，
则．
由可得，，
又，，
所以，
即，化简得，即，
又因为，，所以，
再由，得．
联立，解得，
所以，，．
故，
所以为定值.
【一隅三反】
1．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）直角坐标系中，已知动点到定点的距离比动点到定直线的距离小1，记动点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)点是曲线上位于直线的上方的点，过点作曲线的切线交于点，若，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，
满足抛物线定义，则，得，
则的方程为；
（2）设，则，
，则.
即，

由，有，过点的切线的斜率为，
则切线的方程为，
同理切线的方程为，
联立方程组解得，
由点是曲线上位于直线的上方的点，可知，
则，，
则
代入，得
，
即为定值.
2．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上，．
(1)求；
(2)过点作直线，与交于，两点，关于轴的对称点为．判断直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理出．
【答案】(1)
(2)过定点
【解析】（1）因为点在上，所以 ①，
因为，所以由焦半径公式得 ②，
由①②解得 （负值舍去），所以.
（2）由（1）知抛物线的方程为，
依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，，则，
由消去得，，则，
所以，，
所以，
则直线的方程为，即，
即，即，令，可得，
所以直线恒过定点.

3．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，，直线l的方程为，代入，得．于是，∴焦点弦，解得p＝2．故抛物线E的方程为．
（2）因在E上，∴m＝2．设E在P处的切线方程为，代入，得．由，解得t＝1，∴P处的切线方程为y＝x＋1，从而得．
易知直线MN的斜率存在，设其方程为，设，．
将代入，得．于是，，且，．
∴
．
故为定值2．图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下