高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时同步测试题

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概念梳理
1．利用分类加法计数原理解题的思路方法及注意事项
在用分类加法计数原理解题时，首先要明确问题中要完成的“一件事”指的是什么，同时要确定一个恰当的分类标准进行分类；其次，在分类时要注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且属于不同类的两种方法是不同的方法，即分类时要遵循“不重不漏，一步完成”的原则。有时各个类别的方法用列举法逐一列出更加清楚，列举时可一一列举，也可列表列举或画树状图列举，一一列举时要注意按一定的顺序才能不重不漏。
2.利用分步乘法计数原理解题的思路方法及注意事项
(1)运用分步乘法计数原理解题时，首先应根据题意确定一个合理的分步标准，然后分别计算每一步的方法数，最后利用分步乘法计数原理求出完成这件事的方法总数。
(2)在分步中，每步之间必须连续，只有每个步骤都完成了，这件事才算完成，且每步之间既不能重复也不能遗漏。
3．综合应用两个计数原理解题的思路方法
对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要先设计好分类标准，防止重复和遗漏；分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤的顺序，使各步互不干扰，也可以根据题意恰当合理地画出示意图或列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题。
【概念辨析】
1: 含有特殊元素的计数问题一般采用特殊元素优先，一般元素在后，含特殊元素的计数问题要优先考虑特殊元素；间接法：先不考虑特殊元素进行计数，再减去不符合条件的特殊情形。
正误辨析
判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.分类计数是指将完成这件事的所有方式进行分类，每一类都能独立完成该事
件.( )
2.计数时，若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，使用间接法会简单一些.( )
3.分步计数是指将完成这件事分解成若干步骤，当完成所有的步骤时，这个事件才算完成.( )
4.当一个事件既需要分步又需要分类时，分步和分类没有先后之分.( )
初试身手
1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为( )
A．30 B．20 C．10 D．6
2. 我校兼程楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法有( )
A．10种 B．16种 C．25种 D．32种
3. 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择(数字可以重复)。若某车主第1个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有( )
A．180种 B．360种 C．720种 D．960种
4. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法共有________种。
5. 若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数中任取两个不同的数字，则方程所表示的直线共有多少条？
题型讲解
探究（一）组数问题
【典例1】用 0,1,2,3,4 五个数字，
(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？
【补充训练1】若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”。现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )
A．120 个 B．80 个 C．40 个 D．20 个
【补充训练2】从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 个
【补充训练3】（多选）从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数 a，b 组成复数 a＋bi，下列说法错误的有（ ）
A. 其中虚数有30 个 B. 其中虚数有42 个
C. 其中虚数有36 个 D. 其中虚数有35 个
探究（二）分配与抽取问题
【典例2】某外语组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人会英语,3 人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法?
【补充训练1】高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )
A．16 种 B．18 种 C．37 种 D．48 种
【补充训练2】甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为________
【补充训练3】（多选）高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，下列说法错误的有（ ）
A. 不同的分配方案有16 种 B. 不同的分配方案有18 种
C. 不同的分配方案有37 种 D. 不同的分配方案有48 种
探究（三）涂色问题
【典例3】①在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂如图所示的四个格子，要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法?
②将红、黄、绿、黑 4 种不同的颜色分别涂入图中的 5 个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法。
【补充训练1】将 5 种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中, 每个区域种植一种花卉,且相邻区域花卉不同,则不同的种植方法种数是 ( )
A.420 B.180 C.64 D.25
【补充训练2】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有 5 种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为________
【补充训练3】（多选）如图所示，有 A，B，C，D 四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，下列说法错误的有（ ）
A. 共有18种不同的涂法 B. 共有16种不同的涂法
C. 共有14种不同的涂法 D. 共有12种不同的涂法
随堂演练
1. 由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为( )
A.15 B.12 C.10 D.5
2. 某城市的电话号码由七位升为八位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是( )
A.9×8×7×6×5×4×3×2 B.8×97
C.9×107 D.8.1×107
3. 已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为( )
A.18 B.16 C.14 D.10
4. 有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )
A.4 320种 B.2 880种
C.1 440种 D.720种
5.（多选）已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，则不同的二次函数的个数可以用式子表示为( )
A.4×5×5B.5×5×5
C.4×4＋4×4＋4×4×4＋4D.5×4×3
跟踪测试
一、单选题
1. .由数字 1，2，3 组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为( )
A.15 B.12 C.10 D.5
2. 某城市的电话号码由七位升为八位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是( )
A.9×8×7×6×5×4×3×2 B.8×
C.9× D.8.1×
3. 某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．选2个班参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法（ ）
A.42 B. 98 C.104 D.146
4. 某学校需要把包含甲，乙，丙在内的6名教育专家安排到高一，高二，高三三个年级去听课，每个年级安排2名专家，已知甲必须安排到高一年级，乙和丙不能安排到同一年级，则安排方案的种数有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．72种
5. 如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有多少种（ ）
A. 80 B. 120 C. 180 D.260
6. 有 6 种不同的颜色，给图中的 6 个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )
A.4 320 种 B.2 880 种 C.1 440 种 D.720 种
二、多选题
7. 已知有 4 个数字 0,1,2,3，则下列结论正确的是( )
A．可以组成的 4 位密码数为 256 个
B．可以组成的 4 位密码数为 24 个
C．可以组成的 4 位数是 256 个
D．可以组成的 4 位数是 192 个
8. 某校实行选科走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在 B 层班级，该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是( )
A.此人有 4 种不同的选课方式
B．此人有 5 种不同的选课方式
C．自习课不可能安排在第 2 节
D．自习课可安排在 4 节课中的任一节
三、填空题
9. 现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求相邻两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有________种
10．用数字 1,2 组成一个四位数，则数字 1,2 都出现的四位偶数有________个
11. 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_______个
四、解答题
12. 用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的
(1)密码箱的四位密码；
(2)比 2 000 大的四位偶数。
13. 将三个分别标有 A，B，C 的球随机放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中.
求：(1)1 号盒中无球的不同方法种数；
(2)1 号盒中有球的不同放法种数。
14. 有 4 种不同的作物可供选择种植在如图所示的 4 块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？
课程目标
核心素养
1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理；
2.能应用两个计数原理解决实际问题.
1.数学抽象：两个计数原理
2.逻辑推理：运用分类思想解决复杂问题
3.数学运算：运用计数原理解决计数问题
4.数学建模：将计数问题转化为分类和分步计数问题
第一节
第二节
第三节
第四节
地理 1 班
化学 A 层 3 班
地理 2 班
化学 A 层 4 班
生物 A 层 1 班
化学 B 层 2 班
生物 B 层 2 班
历史 B 层 1 班
物理 A 层 1 班
生物 A 层 3 班
物理 A 层 2 班
生物 A 层 4 班
物理 B 层 2 班
生物 B 层 1 班
物理 B 层 1 班
物理 A 层 4 班
政治 1 班
物理 A 层 3 班
政治 2 班
政治 3 班