人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列课时练习

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目标素养
概念梳理
1．随机变量
(1)随机变量
①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；
②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z。
(2)离散型随机变量。
①定义：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量。
②离散型随机变量的特征：
a．可用数值表示；
b．试验之前可以判断其出现的所有值；
c．在试验之前不能确定取何值；
d．试验结果能一一列出。
2．离散型随机变量的分布列及其性质
(1)离散型随机变量的分布列。
①定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列。
②表示：与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示，还可以用图形表示。
③性质：pi≥0，i＝1,2，…，n；
p1＋p2＋…＋pn＝1。
(2)两点分布。
若随机变量X的分布列为如表所示的形式，则称X服从两点分布或0－1分布。
【概念辨析】
1.并不是所有的随机变量的取值都能一一列举。
2. 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集。随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件。
3. 离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的。其概率之和是1，不能小于1。
正误辨析
判断下列说法是是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)
1. 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( )
2. 离散型随机变量取值一定是有限个．( )
3. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )
初试身手
1. 下列表述中，随机变量X不是离散型随机变量的是( )
A．某座大桥一天经过的车辆数X
B．某无线电寻呼台一天内收到寻呼次数X
C．一天之内的温度X
D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分
2.下列变量中，是离散型随机变量的是( )
A．到2020年5月1日止，我国被确诊的患新型冠状病毒肺炎的人数
B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C．某人在车站等出租车的时间
D．某人投篮10次，可能投中的次数
3. 已知X，Y均为离散型随机变量，且X＝2Y，若X的所有可能取值为0,2,4，则Y的所有可能取值为________。
4. 若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2。令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________。
5. 某小组共10人，利用假期参加义工活动。已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4。现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会。
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列。
题型讲解
探究（一）随机变量的概念
【典例1】 (1)某人在射击训练中，射击一次，命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？
(2)篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？
(3)掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？
(4)抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数值来表示随机试验的结果呢？
【补充训练1】袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )
A．至少取到1个白球
B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数
D．取到的球的个数
【补充训练2】指出下列随机变量是不是离散型随机变量 （填序号）
①从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
②一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
③某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
④某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．
【补充训练3】（多选）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量（ ）
A.某机场一年中每天运送乘客的数量；
B.某单位办公室一天中接到电话的次数；
C.明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
D.一瓶果汁的容量为500±2 mL.
探究（二）分布列的性质及应用
【典例2】设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ eq \f(i,a) (i＝1，2，3，4)，求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＜X＜\f(7,2))) .
【补充训练1】设离散型随机变量X的分布列为
则P(1＜X≤4)为（ ）
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
【补充训练2】设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ eq \f(k,2i) (i＝1，2，3)，则k＝________； P(X≥2)＝________.
【补充训练3】（多选）设随机变量X的分布列Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，下列说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
探究（三）离散型随机变量的分布列
【典例3】为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品.
现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的分布列.
【补充训练1】设离散型随机变量X的概率分布列如下表：
则p的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,6)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
【补充训练2】若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.设Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.
【补充训练3】（多选）某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X，下列说法正确的有（ ）
A. P(X＝1)＝eq \f(2,9) B. P(X＝2)＝eq \f(4,15) C. P(X＝3)＝eq \f(8,45) D. P(X＝4)＝eq \f(1,3)
随堂演练
1. 10件产品中有3件次品，从中任取2件，下列可作为随机变量的是( )
A.取到产品的件数 B.取到正品的概率
C.取到次品的件数 D.取到次品的概率
2. 一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为( )
A.6 B.5
C.4 D.2
3. 下面给出三个随机变量：
①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数X；
②某森林树木的高度在(0，50](单位：m)这一范围内变化，测得某一树木的高度X；
③某人射击2次，击中目标的环数之和X.
其中离散型随机变量有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
4. 设随机变量X的分布列如下：
则P(X＝10)等于( )
A.eq \f(2,39) B.eq \f(2,310)
C.eq \f(1,39) D.eq \f(1,310)
5.（多选）下列问题中的随机变量服从两点分布的是( )
A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C.从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，取出白球,0，取出红球))
D.某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
跟踪测试
一、单选题
1. 袋中有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7
C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5
2.已知随机变量X的分布列如下表：
则实数m的值为( )
A.eq \f(2,33) B.eq \f(2,34) C.eq \f(1,33) D.eq \f(1,34)
3.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示( )
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
4. 2021年世界园艺博览会于2021年4月到10月在江苏省扬州市举行，“花艺园”的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0,1,2,3，…，9，若从中任取1盆，则编号“大于5”的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(1,10)
5. 袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为Y，则Y所有可能值的个数是( )
A．25 B．10 C．7 D．6
6. 如图是某市10月份1日至14日的空气污染指数折线图，空气污染指数为0～50，空气质量级别为一级；空气污染指数为51～100，空气质量级别为二级；空气污染指数为101～150，空气质量级别为三级．某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天．设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的天数，则P(X>1)等于( )
A.eq \f(2,13) B.eq \f(3,13) C.eq \f(4,13) D.eq \f(5,13)
二、多选题
7. 设随机变量X的分布列如表，
下列说法正确的是( )
A．m值是eq \f(1,3) B．m值是eq \f(1,4)
C．P(|X－1|＝2)＝eq \f(1,4) D．P(|X－3|＝1)＝eq \f(5,12)
8. 一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列说法正确的是( )
A．P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,22)C\\al(1,4),C\\al(2,26)) B．P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,26))
C．P(X≤1)＝eq \f(C\\al(1,22)C\\al(1,4)＋C\\al(2,22),C\\al(2,26)) D．P(X≤2)