人教A版高中数学(选择性必修第三册)同步讲与练第六章计数原理全章题型大总结(精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第六章 计数原理 全章总结 (精讲）目录一、数学思想方法1、分类讨论思想2、整体思想3、 主元思想4、“正难则反”思想5、函数思想二、重点题型精讲题型1：两个计数原理的综合应用角度1：实际问题中的计数问题角度2：代数中的计数问题角度3：几何计数问题角度4：数字排列问题角度5：涂色问题题型2：排列应用题角度1：全排列问题角度2：元素位置有限制问题角度3：相邻与不相邻问题题型3：组合应用题角度1：分组分配问题角度2：几何组合计数问题题型4：二项式定理角度1：二项式系数角度2：项的系数角度3：二项式定理的应用一、数学思想方法1、分类讨论思想分类讨论思想是一种高级的解题技巧,就是把一个复杂的问题,通过正确的划分,转化为若干个小问题各个击破,这是我们解决问题时最常用到的策略,相当一部分排列组合的问题需要分类讨论来求解,值得注意的是,分类时要做到明确分类标准,不重不漏.1．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（    ）A．12 B．24 C．48 D．842．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）某班级计划安排学号为1～9的九名同学中的某5位，分别担任周一至周五的值日生，要求学号为奇数的同学不能安排在周一、周三、周五三天值日，则不同的安排方法有__________种．(用数字作答)3．（2022春·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）某校三位同学报名参加数、理、化、生四门学科竞赛，每人必须报两门，由于数学是该校优势学科，所以至少有两人参赛，若要求每门学科都要有人报名，则不同的参赛方案有______种4．（2022春·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）有6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，既要有队长，又要有女运动员，选派方法有______种5．（2022秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位数？（2）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？2、整体思想有时,研究局部问题若能有意识地放大问题的“视角”,将需要解决的问题看作一个整体,通过研究问题的整体形式、整体结构,从而使问题获解,这就是整体思想本章的整体思想,就是将某些有特殊要求的元素(如相邻等)看作一个整体参与排列.1．（2022春·福建莆田·高二莆田第六中学校考阶段练习）6名同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻的站法有（    ）种A．240 B．288 C．48 D．5802．（2022春·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有______种不同的排法3．（2022·全国·高三专题练习）中国的“五岳”是指在中国境内的五座名山：东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山、坐落于东、西、南、北、中五个方位．郭靖同学决定利用今年寒假时间，游览以下五座名山：嵩山、泰山、华山、黄山、庐山，若他首先游览黄山，且属于“五岳”的名山游览顺序必须相邻，则郭靖同学游览这五座名山的顺序共有_____种（用数字作答）．4．（2022·高二课时练习）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为______．5．（2022·高二课时练习）六人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有______种．3、 主元思想主元思想,就是对题目中的特殊元素、特殊位置优先考虑安排,抓住主要矛盾,进而达到解题目的.1．（2022·高二单元测试）5名同学坐成一排照相，要求甲不在正中间，且甲、乙不相邻，则这5名同学不同坐法的种数为（    ）A．24 B．36 C．60 D．722．（2022·全国·高三专题练习）将语文､数学､英语､物理､化学､生物六本书排成一排，其中语文､数学相邻，且物理､化学不相邻，则不同的排法共有种___________.（用数字作答）3．（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演.如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序（、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有_______.4．（2022秋·浙江绍兴·高二统考期末）现要给1个小品类节目，2个唱歌类节目，2个舞蹈类节目排列演出顺序，要求同类节目不相邻，则不同的排法有___________种.5．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）某高校2022级数学兴趣学习小组有男生3人，女生2人，这5人站成一排合影，其中的甲､乙两人不相邻的站法有___________种.6．（2022秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）有甲、乙等7名同学排成一列照相，求下列排法种数：(1)甲乙两人不相邻；(2)甲在排头并且乙不在末尾.7．（2022秋·陕西西安·高二校考阶段练习）六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端(2)甲､乙必须相邻；(3)甲､乙不相邻；(4)甲､乙之间间隔两人；4、“正难则反”思想“正难则反”思想即补集的思想,某些排列组合问题,可采用先求总的排列种数,再减去不符合要求的排列种数获得解决,这就是“正难则反”思想,有时也称逆向思维.1．（2022·全国·高三专题练习）从0，1，2，3，4这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2，3时，2要排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（    ）A．39个 B．40个 C．36个 D．38个2．（2022春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）消除贫困、改善民生、逐步实现共同富裕，是社会主义的本质要求，是中国共产党的重要使命．某中学积极参与脱贫攻坚战，决定派6名教师到A、B、C、D、E五个贫困山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（    ）A．120种 B．216种 C．336种 D．360种3．（2022春·江西萍乡·高二芦溪中学校考开学考试）2020年第55届斯韦思林杯世界乒乓球男子团体赛由五场单打组成，中国乒乓球队计划派出许昕、马龙、林高远、梁靖崑、樊振东参赛，其中许昕、马龙两人不连续出场，林高远、梁靖崑两人也不连续出场，则出场顺序有________种4．（2022·全国·高三专题练习）5位学生被分配到3个志愿点作志愿者，每个志愿点至少分配一位学生，其中甲乙不能分配到同一个志愿点，则共有___________种不同的分配方式（用数字作答）.5．（2022秋·江苏苏州·高二校考阶段练习）用0到4这5个数字．可组成没有重复数字的四位偶数的个数是______（用数字作答）．5、函数思想 函数思想,就是运用运动和变化的观点,去分析和研究数学问题中的等量关系,建立或构造函数关系,再运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决本章二项式定理中的许多题目蕴含函数思想.1．（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中，记含有的所有项的系数之和为.(1)求；(2)当取得最大值时，求的值.2．（2022秋·湖南·高二校联考阶段练习）已知．(1)求；(2)求．3．（2022·高二单元测试）已知，的展开式中含x项的系数为11，那么当m，n为何值时，含的项的系数取最小值？二、重点题型精讲题型1：两个计数原理的综合应用角度1：实际问题中的计数问题1．（2022·浙江绍兴·校考模拟预测）某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生.由于工作需要，甲､乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（    ）A．90 B．216 C．144 D．2402．（2022·江苏南京·南京市雨花台中学模拟预测）高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.A．16种 B．18种 C．37种 D．48种3．（2022·全国·高三专题练习）通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字与英文字母组成的序号．其中序号的编码规则为：①由0，1，2，…，9这10个阿拉伯数字与除，之外的24个英文字母组成；②最多只能有2个位置是英文字母，如：粤，则采用5位序号编码的粤牌照最多能发放的汽车号牌数为（    ）A．586万张 B．682万张 C．696万张 D．706万张4．（2022·高二课时练习）某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是（    ）A．8 B．12 C．16 D．245．（2022·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑和冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有_________种．6．（2022·全国·高三专题练习）某校准备召开高中毕业生代表会，把6个代表名额分配给高三年级的3个班，每班至少一个名额，不同的分配方案共有______种．角度2：代数中的计数问题1．（2022·全国·高三专题练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有(　　)A．18个 B．15个C．12个 D．9个2．（2022秋·全国·高二期末）如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6，24，2013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，则n＝（    ）A．50 B．51 C．52 D．533．（2022·高二课时练习）对于自然数作竖式运算时不进位，那么称是“良数”，如32是“良数”，由于计算时不进位，23是“良数”，由于计算时要进位，那么小于1000的“良数”有A．36个 B．39个 C．48个 D．64个4．（多选）（2022·高二课时练习）已知集合M={1，-2，3}，N={-4，5，6，-7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b．则下列说法正确的有（    ）A．表示不同的正数的个数是6B．表示不同的比1小的数的个数是6C．（a，b）表示x轴上方不同的点的个数是6D．（a，b）表示y轴右侧不同的点的个数是6角度3：几何计数问题1．（2022·全国·高三专题练习）已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（    ）个.A．10 B．12C．16 D．202．（2022秋·全国·高二期末）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（    ）.A．20种 B．16种 C．12种 D．8种3．（2022秋·山东聊城·高二校考期中）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有（   ）A．24对 B．16对 C．18对 D．48对4．（2022·全国·高三专题练习）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法角度4：数字排列问题1．（2022·全国·高三专题练习）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有（    ）A．36个 B．48个 C．66个 D．72个2．（多选）（2022春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（    ）A．可组成300个不重复的四位数B．可组成156个不重复的四位偶数C．可组成96个能被3整除的不重复四位数D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为23103．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（    ）A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，偶数的个数为30C．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20 D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为244．（2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有______个.5．（2022秋·江西宜春·高二统考期末）将没有重复数字且能够被5整除的5位数的正整数从小到大进行排序，则第2022个是______.6．（2022秋·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）（1）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？（2）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列，则240135是第几项．7．（2022秋·河北石家庄·高二统考阶段练习）从1到9这9个数字中取3个奇数和2个偶数，组成没有重复数字的五位数，求下列问题：(1)能组成多少个这样的五位数？(2)2个偶数排在一起的五位数有多少个？(3)任意2个奇数都不相邻的五位数有多少个？角度5：涂色问题1．（2023·全国·高三专题练习）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（    ）A．180 B．192 C．300 D．4202．（2023·全国·高三专题练习）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）A．72 B．48 C．36 D．243．（2023·全国·高三专题练习）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（　　）A．种 B．种 C．种 D．种4．（2023·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）A．120种 B．720种 C．840种 D．960种5．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)．6．（2023·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域，，，和，，，分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域，，，和，，，分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种.7．（2023·全国·高三专题练习）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有______种．8．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个正方形花圃被分成5份．(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？题型2：排列应用题角度1：全排列问题1．（2022秋·广东韶关·高二仁化县仁化中学校考期中）北京在2022年成功召开了冬奥会和冬残奥会，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事，是世界唯一的双奥之城．我校计划举行奥运知识演讲比赛，某班有5名同学报名参加班级预赛，其中有2名男同学，3名女同学，要求男同学比赛顺序相邻，则这5名同学不同的演讲顺序有（    ）A．120种 B．72种 C．48种 D．36种2．（2022·高二单元测试）将5名司机、5名售票员分配到5辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则所有分配方案的种数为（    ）.A． B． C． D．3．（2022秋·重庆江北·高二校考阶段练习）五名同学国庆假期相约去珠海野狸岛日月贝采风观景，结束后五名同学排成一排照相留念，则不同的排法共有（    ）A．36种 B．48种 C．72种 D．120种4．（多选）（2022·高二课时练习）17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为（    ）A． B． C． D．5．（2022·上海·高三专题练习）设集合共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为________.角度2：元素位置有限制问题1．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（    ）A．20种 B．30种 C．50种 D．60种2．（2022春·河南南阳·高二校考阶段练习）甲乙丙丁戊名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端､丙和丁相邻的不同排列方式有（    ）A．种 B．种 C．种 D．种3．（2022春·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖，要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有（    ）种．A．12 B．16 C．20 D．244．（2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有______个.5．（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）A、B、C、D四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.6．（2022·高二课时练习）晚会由6个节目组成，演出顺序有要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有______个．角度3：相邻与不相邻问题1．（2023·全国·高三专题练习）现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的推位，其中3家商户开特色小吃店，2家商户开文创产品店，一家商户开新奇玩具店，夜市管理部门要求特色小吃店必须都相邻，且文创产品店不相邻，则不同的排法总数为（    ）A．48 B．72 C．144 D．962．（2023·全国·高三专题练习）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种3．（2023·全国·高三专题练习）志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障，某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己名志愿者，计划依次安排到该站点参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（    ）A．种 B．种C．种 D．种4．（2023·全国·高三专题练习）马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（    ）种A．15 B．20 C．10 D．95．（2023·全国·高三专题练习）街头篮球比赛后，红、黄两队共名队员（红队人，黄队人）合照，要求人站成一排，红队人中有且只有名队员相邻，则不同排队的方法共有（    ）A．种 B．种 C．种 D．种6．（2023·全国·高三专题练习）志愿服务是办好2022年北京冬奥运的重要基础和保障，现有一冬奥服务站点需要连续六天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有6名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（    ）A．240种 B．408种 C．1092种 D．1120种7．（2023·上海·高三专题练习）某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）．8．（2023·全国·高三专题练习）某学习小组有4名男生和3名女生共7人．(1)将这7人排成一排，4名男生相邻有多少种不同的排法？(2)从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种不同的选派方法？题型3：组合应用题角度1：分组分配问题1．（2023·全国·高三专题练习）某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（    ）A．72 B．108 C．216 D．4322．（2023·全国·高三专题练习）某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（    ）A．350 B．500 C．550 D．7003．（2023·全国·高三专题练习）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有（   ）种.A． B．C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）北京冬奥会期间，比赛项目丰富多彩，为了实时报道精彩的比赛过程，需要安排5名记者前往国家体育场、国家体育馆和首都体育馆三个比赛场地进行实地报道.每个场地至少有一名记者，每名记者只去一个场地，并且记者甲不去国家体育馆，记者乙不去国家体育场.则安排方式共有（    ）A．87种 B．72种 C．96种 D．69种5．（2023·高二课时练习）从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有______种不同的取法．6．（2023·高二课时练习）把5名志愿者分到3所学校去服务，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法有______种．7．（2023·全国·高三专题练习）A、B、C、D四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.8．（2023·高二课时练习）6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．角度2：几何组合计数问题1．（2022·全国·高三专题练习）个点将半圆分成段弧，以个点（包括个端点）为顶点的三角形中钝角三角形有（　　）个A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）如图为一个直角三角形工业部件的示意图，现在AB边内侧钻5个孔，在BC边内侧钻4个孔，AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔可连成20条线段，在这些线段的交点处各钻一个孔，则这个部件上最多可以钻的孔数为（    ）．A．190 B．199 C．69 D．603．（2022·全国·高三专题练习）如图，的边上有四点、、、，上有三点、、，则以、、、、、、、中三点为顶点的三角形的个数为（    ）A． B．C． D．4．（2022秋·全国·高三专题练习）从正四面体的四个面的中心以及四个顶点共八个点中取出四个点，则这四个点不共面的取法总数为___________种.5．（2023·高二课时练习）（1）以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个？（2）以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个？（3）以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个？6．（2022·高二课时练习）四面体的顶点和各棱的中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？题型4：二项式定理角度1：二项式系数1．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（    ）A．540 B．135 C．18 D．12152．（多选）（2022·高二单元测试）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则的值可以为（    ）A．6 B．7 C．8 D．93．（2023·高二单元测试）的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项.若实数，那么___________.4．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中，第项的二项式系数比第项的二项式系数大，则展开式中的常数项是第____项．5．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中，的系数是__________.6．（2022春·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）若二项式展开式中所有项的系数的绝对值之和为，则展开式中二项式系数最大的项为______．7．（2022秋·北京·高二校考阶段练习）已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，则展开式中系数最小的项为________.8．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为___________.9．（2022·高二课时练习）已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．10．（2022秋·广西桂林·高二校考阶段练习）已知的展开式中，第二项的系数为，常数项的值为，(1)求的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项.角度2：项的系数1．（2023·广西桂林·统考一模）的展开式中的系数为（    ）A．40 B． C．80 D．2．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则（　　）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中的系数为（    ）A． B．25 C． D．54．（多选）（2023·全国·高三专题练习）对任意实数x，有．则下列结论成立的是（    ）A．B．C．D．5．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的有（    ）A． B．C． D．6．（2023·北京·高三统考阶段练习）在的展开式中，有理项的系数之和为______.（用数字作答）7．（2023·上海·高三专题练习）代数式的展开式的常数项是__________(用数字作答)8．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中的系数为______（用数字作答）.9．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中，的系数是__________．10．（2023·高二课时练习）（1）求的展开式中的系数；（2）求的展开式中的系数．11．（2023·全国·高三专题练习）在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和.12．（2022·高二课时练习）已知的展开式中，二项式系数和为256.(1)此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由；(2)求展开式中系数最小的项.13．（2022秋·浙江宁波·高二效实中学校考期中）已知展开式的第项和第项的二项式系数相等．(1)问展开式中是否存在常数项，若存在，请写出常数项，若不存在，请说明理由．(2)求展开式中系数最大的项．角度3：二项式定理的应用1．（2023·全国·高三专题练习）设为奇数，那么除以13的余数是（    ）A． B．2 C．10 D．112．（2023·全国·高三专题练习）今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过天后是（    ）A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二3．（2023·全国·高三专题练习）（1）用二项式定理求除以5的余数；（2）某小组有8人，从中选择4人参加活动，有两种选法：第一种：直接选4人，有种选法．第二种：如果该组的组长参加活动，则从剩余的7人中选3人，有种选法；如果该组的组长不参加活动，则从剩余的7人中选4人，有种选法．因为这两种选法的效果是一致的，所以我们可以得到一个等式：．试将这种情形推广：从个元素中选择m个元素的不同选法得到的等式是 ．并以此求解：．（用数字作答）．4．（2023·全国·高三专题练习）已知展开式的二项式系数和为512，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求被6整除的余数．5．（2023·全国·高三专题练习）(1)设.①求；②求；③求；(2)求除以9的余数．