新高考数学二轮复习能力提升练习31 圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应用（2份，原卷版+解析版）

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一、椭圆的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算：
（1）；（2）（记忆：左加右减）
【焦半径形式2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦.
二、双曲线的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算：
（1）；（2）（记忆：左加右减）
【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）
三、抛物线的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】设点在抛物线上，、，是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表：
【焦半径形式2】直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角
（1）弦长AB＝eq \f(2p,sin2α)
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.
（3），， eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值eq \f(2,p).
二、题型精讲精练
【典例1】椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上，则的取值范围为_______.
【解析】由题意，，，，设，其中，
则，，所以
【典例2】双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的一点P满足，则点P的坐标为_______.
【解析】由题意，，，，，由焦半径公式，，，
因为，所以，解得：或（舍去）
代入双曲线的方程可求得，所以P的坐标为.
【典例3】过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若，则_____.
【解析】设，则，所以，故.
【典例4】抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l被抛物线C截得的弦长为______.
【解析】解法1：由题意，，设，代入整理得：，
设两根为和，则，故直线l被抛物线C截得的弦长.
解法2：直线l被抛物线C截得的弦长.
【题型训练-刷模拟】
1.椭圆的焦半径和焦点弦公式
一、单选题
1．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，当取最大值时，三角形面积为（ ）
A．B．C．2D．4
2．已知动点在椭圆：上，为椭圆的右焦点，若点满足，且，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．1
3．已知椭圆的右焦点为，若过的直线与椭圆交于两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知为椭圆上任意一点，EF为圆的任意一条直径，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为第一象限内上一点．若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆：的右焦点为，点，为第一象限内椭圆上的两个点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
7．如图，椭圆的左､右焦点分别为，，过点，分别作弦，.若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知椭圆和，椭圆的左右焦点分别为、，过椭圆上一点和原点的直线交圆于、两点.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点、是椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为 .
12．已知椭圆，线段的两个端点在椭圆上移动，且是的中点，则的最大值是 ．
13．设、分别为椭圆：的左、右两个焦点，过作斜率为1的直线，交于、两点，则
14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，且，若第一象限的点、在上，，，，则直线的斜率为 .
15．若直线：（其中）与圆相切，与椭圆：交于点，，为其右焦点，则的周长为 .
16．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 .
2.双曲线的焦半径和焦点弦公式
一、单选题
1．已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知动点P在双曲线C：上，双曲线C的左、右焦点分别为，，则下列结论：
①C的离心率为2；
②C的焦点弦最短为6；
③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；
④当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
5．已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是 .
6．设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且满足（是坐标原点），则直线的斜率为 .
3.抛物线的焦半径和焦点弦公式
一、单选题
1．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，且，则直线的斜率可能为（ ）
A．B．C．D．
2．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，过，作轴的垂线，垂足分别为，，若，则直线的斜率等于（ ）
A．1B．C．D．
3．过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
4．过抛物线的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
5．已知抛物线：（）的焦点为，直线的斜率为且经过点，与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则下列说法正确的是（ ）
①；②为的中点；③；④．
A．①②B．②③C．③④D．①②③
6．已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，抛物线的准线l与x轴交于点C，于点，若四边形的面积为，则准线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，，则（ ）
A．B．3C．6D．12
8．过抛物线的焦点F作直线交C于A，B，过A和原点的直线交于D，则面积的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
二、填空题
9．已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，若为线段的中点，且，则 .
10．已知抛物线，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段的长是焦半径长的3倍，则直线的斜率为 ．
11．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点（A位于第一象限），且，则直线OA的斜率为 ．
12．已知抛物线的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则
13．已知抛物线，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，p的值为 ．
14．已知双曲线：与抛物线：的焦点重合，过点作直线与抛物线交于、两点（点在轴上方）且满足，若直线只与双曲线右支相交于两点，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
15．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则直线的斜率为 .
16．焦点为的抛物线上有不同的两点，且满足，若线段的中点到抛物线的准线的距离为，则 .标准方程
图形
焦半径公式
焦点弦公式