湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期月考试卷（六）数学试题

这是一份湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期月考试卷（六）数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
得分_______
本试卷共8页．时量120分钟．满分150分．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
★1．若（i为虚数单位），则
A．B．1C．D．
★2．已知向量．若，则实数的值是
A．－2B．2C．D．
★3．的展开式中的系数为
A．2B．6C．4D．－4
★4．设a为实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
★5．若存在满足，则a的取值范围是
A．B．C．D．
★6．．A，B为随机事件，已知，下列结论中正确的是
A．若A，B为互斥事件，则
B．若A，B为互斥事件，则
C．若A，B是相互独立事件，则
D．若，则
7．已知，则这三个数的大小关系为
A．B．C．D．
8．已知分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是
A．B．C．D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
★9．下列说法中正确的是
A．回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点
B．用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好
C．将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大
D．基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过
★10．在平面直角坐标系中，已知定点和定直线，若到点与直线的距离之和等于10的点的轨迹记为曲线．给出下列四个结论，其中正确的是
A．曲线关于轴对称
B．若点在曲线上，则
C．若点在曲线上，则
D．若点在曲线上，则
11．已知函数，则下面说法正确的是
A．是的一个周期B．的最大值为
C．是的对称轴D．是的对称中心
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．已知，删除数列中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列，则_______．
13．已知，集合中的元素恰有2个整数，则的取值范围是_______．
14．为美化环境，某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛，花坛分为两部分，中间小圆部分种植草坪，周围的圆环分为等份种植红，黄，蓝三色不同的花．要求相邻两部分种植不同颜色的花．如图①，圆环分成的3等份分别为，有6种不同的种植方法．
① ② ③
（1）如图②，圆环分成的4等份分别为，有_______种不同的种植方法；
（2）如图③，圆环分成的等份分别为，有_______种不同的种植方法．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
★15．（本小题满分13分）如图，四边形中，，，且为锐角．
（1）求；
（2）求的面积．
★16．（本小题满分15分）已知函数．
（1）若，求函数过点的切线方程；
（2）证明：当时，．
17．（本小题满分15分）已知在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线的斜率分别为．
（1）试探究是否为定值，并给出理由；
（2）证明：直线过线段的中点．
18．（本小题满分17分）如图，四棱锥中，底面是矩形，，且平面平面．分别是的中点，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求四棱锥体积的最大值；
（3）求平面与平面的夹角余弦值的范围．
19．（本小题满分17分）记集合的元素个数为，若，定义集合，我们称集合为集合A的积集．
（1）当时，写出集合的积集及；
（2）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和；
（3）现给定一个正实数集合，试求满足的非空有限正数集合的个数的最大可能值．
大联考长郡中学2025届高三月考试卷（六）
数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
7．D【解析】由1n，令且，则，
所以在上递减，则，即，
所以，
由，只需比较与的大小，
根据与，相交于两点，图象如图，
由，结合图知，故，
综上，，
8．C【解析】由题意知，设，直线的斜率分别为，
则，
又，即，即，
由正弦定理得．
又，则，
联立解得，即，
所以，即．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）
10．CD【解析】设动点，根据点到点与直线的距离之和等于10，
所以，即，
化简得，当时，，
当时，，图象如图，
选项A，根据图象得，曲线C不关于y轴对称，故A错误；
选项B，若点在曲线C上，则，所以，
由，得，所以，故B错误；
选项C，若点在曲线C上，则．C正确；
选项D，若点在曲线C上，
当时，，得，故；
当时，，得，故．
所以，D正确．
11．ABD【解析】
．
因为的最小正周期为的最小正周有为，
所以的最小正周期为，故A正确；
．
又，令，，
因为的周期为，所以只需讨论内的的最大值，
此时当时，，当时，，
故当，即时，有极大值，
又，因此的最大值为，故B正确；
因为，
所以直线不是图象的对称轴，故C错误；
，
所以点是图象的对称点，故D正确．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．861 【解析】由题意可知，
观察得从第一个数开始每连续四个数需要删掉后两个数，
，可被2整除，
则为第11组的第一个数，即．
13． 【解析】因为集合中的元素恰有两个整数，
所以，解得，
当时，集合A中的两个整数分别为2，3，则，解得
当时，，此时，集合A中元素为整数的只有3，4，合乎题意，
综上所述，实数m的取值范围是
14．（1）18 （2）（第一空2分，第二空3分）
【解析】（1）18；
（2）如图3，圆环分为n等份，对有3种不同的种法，对都有两种不同的种法，
但这样的种法只能保证与不同颜色，但不能保证与不同颜色．
于是一类是与不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种；
另一类是与同色的种法，这时可以把与看成一部分，
这样的种法相当于对部分符合要求的种法，记为种，共有种种法，
这样就有，即，
则数列是首项为，公比为－1的等比数列，
则，由题意知：，则，
．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．【解析】（1）由已加Sur，
．
是锐角，，
由余弦定理可得，则．
是四边形外接圆的直径，
利用正弦定理知．
（2）由，
则，又，则，
因此，
故意的面积为．
16．【解析】（1）若，则．
设过点的切线方程的切点为，
则切线方程为．
代入点得，
解得，故切线方程为．
（2）当时，设，则，
令，得；令．但，
，
设，则，
令，得；令，得，
在上单调递增，在上单调递减，
，
，即．
17．【解析】（1）为定值．
理由：①当直线的斜率为0时，有；
②当直线的斜率不为0 时，设直线，
联立直线与椭圆C的方程消去x整理得，
则，
所以，所以
．
综上，为定值．
（2）设线段PM的中点为，易得
可得直线AQ的方程为，则，
直线的方程为，则，
所以，
由（1）知，所以，
又直线的字提为，所以点在直线上，
即直线过线段PM的中点．
18．【解析】（1）设平面平两
由于平面平面，因此平面，
又平面平面，因此，
而，因此．
而平面平面，平面平面平面，
因比平面PDC，
而平面PDC，因此，故是直角三角形．
（2）由于，，因此是以为直径的半圆上的点，
而平面，
因此平面，而平面，因此平面平面，
故到平面的最大距离为，所以四棱锥的体积最大为．
（3）设EF中点为，在平面中，作过垂直EF的直线．
设平面PEF与平面的夹角为．
以O为原点，OE，m，过O垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，
则．
易知平面PEF的一个法向量为，
可设，则，．
设平面PBC的法向量为，因此可取，
则，
不妨设，
因此随的增大而增大，因此．
19．【解析】（1）图为，所以．
（2）对一个4元集合A，中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数．
同时中没有两个数互为相反数，因此A其中没有两个数是互为相反数，
由此知，的绝对值互不相等，不妨设，
那么则有：（）中最小的与次小的两个数分别是及，
最大的与次大的两个数分别是及，
从而必须有：，
于是，故，
结合，只可能取，
由此易知，或，
经检验知这两组解均满足问题的条件，故．
（3）设，不妨设，
因为，所以有，
由于，故为5元集．
设集合的元素为，的元素为，
于是，
由知中有三项分别为，已知，
下证明至多存在2组满足，
假设存在2组记为，则中不存在0，
否则由比例给定立即得到矛盾！
于是，必为（3，4，5）和（4，5，6），这同时也说明了A至多只有2组．
另一方面，根据上述说明容易给出存在2个A的构造，
，，
．
所以，满足的非空有限正数集合的个数的最大可能值为2．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
B
A
A
D
D
C
BD
CD
ABD