江苏省南京市雨花台中学2024-2025苏科版九下数学第1周阶段性训练模拟练习【含答案】

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1．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；其中正确结论的个数（ ）
A．1B．3C．2D．0
2．如图，已知四边形ABCD的对角互补，且∠BAC＝∠DAC，AB＝15，AD＝12．过顶点C作CE⊥AB于E，则的值为（ ）
A．B．9C．6D．7.2
3．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BC∥x轴，AB交y轴于点E，且E是AB的中点．反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A，交BC于点D．若CD＝1，则k的值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
二．填空题（共10小题）
4．已知：⊙P与y轴正半轴交于点A，P点坐标为（﹣2，0），过点A作⊙P的切线交x轴正半轴与点B（6，0），点C是圆上一动点，则＝ ．
5．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D、E分别是BC、AC边上的动点，且∠ADE＝∠ABC，连接BE，则△AEB的面积的最小值为 ．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝ ．
7．如图，▱ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝8，BC＝3，P为边CD上一动点，则PB+PD的最小值等于 ．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝，BD∥AC，AD交BC于点E．若DE＝2AE，则sin∠ADB＝ ．
9．如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠BAC＝∠DCE＝90°，AB＝AC＝4，CD＝CE＝2，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是 ．
10．如图①，△ABC中，AB＝AC＝4，射线AN∥BC，D为AN上一动点，过点D作DE∥AB，交射线BC于点E，研究发现线段CE的长y与线段AD的长x之间的关系可以用图②的图象表示，点M（8，2），则csB＝ ．
11．如图，△ABC是等腰直角三角形，AD是其底边BC上的高，点E是AD上的一点，以CE为边向上作等边△CEF，连接BF．则∠CBF的度数为 ．
12．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB、BC上，若BD：BA＝BE：BC＝1：3，则△DBE的面积：△ADC的面积＝ ．
13．如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y＝（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为 ．
三．解答题（共6小题）
14．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的长．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
16．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．
（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”；
（2）请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数；
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD的长．
17．在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）．连接OM，作CD∥OM交AM的延长线于点D．
（1）求抛物线对应的二次函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）直线AM上是否存在点P，使得△POA的面积与四边形POCM面积之比为1：2？如果存在请求出点P的坐标，如果不存在请说明理由．
18．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一个动点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折得到△FBE．
（1）如图1，若点F落在对角线BD上，则线段DE与AE的数量关系是 ；
（2）若点F落在线段CD的垂直平分线上，在图2中用直尺和圆规作出△FBE（不写作法，保留作图痕迹）．连接DF，则∠EDF＝ °；
（3）如图3，连接CF，DF，若∠CFD＝90°，求AE的长．
19．如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点A（8，3），交x轴于点B，C（点B在点C的左侧），与y轴交于点D．
（1）填空：b＝ ；
（2）点P是第一象限内抛物线上一点，直线PO交直线CD于点Q，过点P作x轴的垂线交直线CD于点T，若PQ＝QT，求点P的坐标；
（3）在x轴的正半轴上找一点E，过点E作AE的垂线EF交y轴于F，若△AEF与△EFO相似，求OE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP，故结论①正确；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴＝，
∴AO2＝OD•OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE•OP；故结论②错误；
在△CQF与△BPE中，
，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF＝S△DCE，
∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＝S四边形OECF；故结论③正确；
故选：C．
2．【解答】解：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠CEB＝∠CFD，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴AC平分∠BAD，
∴CE＝CF，
∵四边形ABCD的对角互补，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠CDF，
在△CEB和△CFD中，
，
∴△CEB≌△CFD（AAS），
∴BE＝DF，
设BE＝DF＝a，
∵AB＝15，AD＝12，
∴12+2a＝15，
∴a＝1.5，
∴AE＝12+a＝12+1.5＝13.5，BE＝a＝1.5，
∴，
故选：B．
3．【解答】解：过A作AM⊥BC于M，交x轴于N，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BM＝CM＝BC＝4，
∴AM＝＝＝3，
∵AM∥y轴，E是AB的中点，
∴ON＝×4＝2，
∴M的横坐标为2，C的横坐标为6，
∴CD＝1，
∴D的横坐标为5，
设D点的坐标为（5，m），则A（2，m+3），
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A，交BC于点D．
∴k＝5m＝2（m+3），
解得：m＝2，
∴k＝5×2＝10，
故选：C．
二．填空题（共10小题）
4．【解答】解：连接AP，CP，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵AB切⊙P于点A，
∴AB⊥AP，
∴∠PAB＝90°，
∴∠B+∠APB＝90°，
∵OA⊥PB，
∴∠APB+∠PAO＝90°，
∴∠PAO＝∠B，
又∠AOP＝∠AOB＝90°，
∴∠APO∽△BAO，
∴＝，
∴OA2＝OP•OB，
∵P点坐标为（﹣2，0），B（6，0），
∴OP＝2，OB＝6，
∴OA＝＝2，
∴AP＝＝＝4，
设点C的横坐标为x，
根据勾股定理得，
CD2＝CP2﹣PD2＝42﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x+12，
∴OC2＝CD2+OD2＝﹣x2﹣4x+12+x2＝﹣4x+12，
BC2＝CD2+DB2＝﹣x2﹣4x+12+（6﹣x）2＝﹣16x+48，
∴＝＝，
∴＝，
故答案为：．
5．【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，过点E作EK⊥BA交BA的延长线于K．设AE＝y，BD＝x．
∵AB＝AC＝2，AH⊥BC，∠BAC＝120°，
∴BH＝CH，∠BAH＝∠CAH＝60°，
∴BH＝CH＝AB•sin60°＝，
∴BC＝2BH＝2，
∴CD＝2﹣x，EC＝2﹣y，
在Rt△AEK中，EK＝AE•sin60°＝y，
∴S△ABE＝•AB•EK＝×2×y＝y，
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ABC+∠DAB，∠ADE＝∠ABD，
∴∠EDC＝∠DAB，
∵∠C＝∠ABD，
∴△ADB∽△DEC，
∴＝，
∴＝，
整理得y＝x2﹣x+2＝（x﹣）2+，
∵＞0，
∴x＝时，y的值最小，最小值为，
∴△ABE的面积的最小值＝，
6．【解答】解：如图，连接PB，交CH于E，
由折叠可得，CH垂直平分BP，
∴E为BP的中点，
又∵H为AB的中点，
∴HE是△ABP的中位线，
∴AP∥HE，
∴∠BAP＝∠BHE，
又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝＝，
∴tan∠HAP＝，
故答案为：．
7．【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AB∥CD，
∴∠EDP＝∠DAB＝45°，
∴sin∠EDP＝＝，
∴EP＝PD
∴PB+PD＝PB+PE
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵sin∠A＝＝，
∴BE＝4，
故答案为：4．
8．【解答】解：∵∠ACB＝90°，tan∠ABC＝，
∴＝，
∴设AC＝2a，BC＝3a，
∵BD∥AC，
∴∠D＝∠DAC，∠DBE＝∠C，
∴△ACE∽△DBE，
∴＝＝＝2，
∴BD＝2AC＝4a，BE＝BC＝2a，CE＝BC＝a，
∴AE＝＝＝a，
∴sin∠EAC＝＝＝，
∴sin∠ADB＝sin∠EAC＝，
故答案为：．
9．【解答】解：过点C作CO⊥DE于点O，连接OA、OF，如下图，
则CO＝DO＝OE＝，
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADF，AB＝DF，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠BAD＝∠ADF﹣90°，
∵在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠BAC＝∠DCE＝90°，AB＝AC＝4，CD＝CE＝2，
∴∠ODC＝45°，DF＝CA，
∴∠ACO＝360°﹣∠CAD﹣∠ADO﹣∠COD＝315°﹣∠ADF﹣∠ADC，
∵∠FDO＝360°﹣∠ADF﹣∠ADC﹣∠CDO＝315°﹣∠ADF﹣∠ADC，
∴∠FDO＝∠ACO，
∴△FDO≌△ACO（SAS），
∴OF＝OA，∠DOF＝∠COA，
∴∠AOF＝∠COD＝90°，
∴AF＝AO，
∴当AO最小时，AF就最小，
∵OA≥AC﹣OC，
∴当A、O、C依次有同一直线上时，AO最小，即AF最小，如下图，
∵CO＝，AC＝4，
∴AF＝AO＝4﹣2．
即AF的最小值为：4﹣2．
故答案为：4．
10．【解答】解：∵AN∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形，
由图象得：当E在BC上时，x+y＝BC，对应图②中函数的第一段；
当在BC的延长线上时，x﹣y＝BC，对应图②中函数的第二段，
∵M（8.2），
∴BC＝8﹣2＝6，
作AF⊥BC交于点F，
∵AB＝AC＝4，
∴根据“三线合一”可知：BF＝3，
∴csB＝＝．
故答案为：．
11．【解答】解：连接BE并延长交CF于点H，
∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵△EFC是等边三角形，
∴∠FEC＝60°，EF＝EC，
∴EF＝EB，
∴∠FBE＝∠EFB，
∵∠FEH＝∠FBE+∠EFB，∠CEH＝∠EBC+∠ECB，
∴∠FEC＝∠FEH+∠CEH
＝∠FBE+∠EFB+∠EBC+∠ECB
＝2∠FBE+2∠EBC
＝2∠FBC，
∴∠FBC＝∠FEC＝30°，
故答案为：30°．
12．【解答】解：∵BD：BA＝BE：BC＝1：3，
又∵∠DBE＝∠ABC，
∴△BED∽△BCA，
∴，
分别过点B，D作AC的垂线BM，DN，
则DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴，
∵S△ADC＝AC•DN，S△BCA＝AC•BM，
∴，
∴，
故答案为：1：6．
13．【解答】解：作CD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，
∵过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，
∴4＝2×3+b，解得b＝﹣2，
∴直线为y＝2x﹣2，
令y＝0，则求得x＝1，
∴A（1，0），
∵BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，
∴BE∥x轴，
∴∠ABE＝∠BAF，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠EBC＝∠ABF，
在△EBC和△FBA中
∴△EBC≌△FBA（AAS），
∴CE＝AF，BE＝BF，
设B（m，），
∵4﹣＝m﹣1，m﹣3＝，
∴4﹣（m﹣3）＝m﹣1，
解得m＝4，k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把x＝1代入得y＝4，
∴a＝4﹣0＝4，
∴a的值为4．
故答案为4．
三．解答题（共6小题）
14．【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCF＝∠AEC＝90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAO＝30°，BC＝2，
∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，
∴OB＝AB＝2，
∴的长＝＝π．
15．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），
∵D（4，3）在抛物线上，
∴3＝a（4+2）×（4﹣6），
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3，
∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），
设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0），
则，
解得，，
∴直线l的解析式为y＝x+1；
（2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，﹣m2+m+3），则K（m，m+1）．
∵S△PAD＝•（xD﹣xA）•PK＝3PK，
∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大，
∵PK＝﹣m2+m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣1）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝1时，PK的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P（1，）．
（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），
设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，
∵D（4，3），
∴直线DT的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（0，），
作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），
则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，
设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，
∴Q′（0，﹣9），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）．
16．【解答】（1）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD为△ABC的“优美分割线”；
（2）解：如图，△ABC中，CD为“优美分割线”；
（3）解：①若AD＝CD时，如图，
此时∠A＝∠ACD＝30°，∠BCD＝∠A＝30°，
则∠ACB＝60°，
故∠B＝90°，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，
∴BC＝3，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝3，
∴BD＝BC•tan30°＝；
②若AC＝AD时，如图，作CE⊥AB于E，
则∠ACD＝∠ADC＝75°，∠BCD＝∠A＝30°，∠BDC＝105°，
此时∠ACB＝105°，∠B＝45°，
∵∠A＝30°，AC＝6，
∴EC＝3，AE＝3，
∵∠B＝45°，
∴EC＝BE＝3，AB＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝3，
③若AC＝CD时，图形不成立，
综上，BD＝或3﹣3．
17．【解答】解：（1）设抛物线对应的二次函数表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
即抛物线对应的二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴M（﹣1，4），
设OM的解析式为：y＝kx，
∴﹣k＝4，
∴k＝﹣4，
∴OM的解析式为：y＝﹣4x，
∵OM∥CD，
∴CD的解析式为：y＝﹣4x+3，
设AM的解析式为：y＝mx+b，
∴，
解得：，
∴AM的解析式为：y＝2x+6，
∴2x+6＝﹣4x+3，
∴x＝﹣，
∴D（﹣，5）；
（3）存在，
∵P在直线AM上，
∴设P（t，2t+6），
①当点P在x轴的上方时，如图1，
∵△POA的面积与四边形POCM面积之比为1：2，
∴S四边形POCM＝2S△POA，
∴S△OPE﹣S△CME＝2S△POA，
∴×6×（﹣t）﹣×3×1＝2××3（2t+6），
∴t＝﹣＝﹣，
∴P（﹣，）；
②如图2，当点P在x轴下方时，
∵S四边形POCM＝2S△POA，
∴S△OPE﹣S△CME＝2S△POA，
∴×6×（﹣t）﹣×3×1＝2××3（﹣2t﹣6），
∴t＝﹣5.5，
∴P（﹣5.5，﹣5）；
综上，点P的坐标为（﹣，）或（﹣5.5，﹣5）．
18．【解答】解：（1）DE＝AE，理由如下：
在正方形ABCD中，∠ADB＝45°，∠A＝90°，
由折叠的性质可得：AE＝EF，∠EFB＝∠A＝90°，
∴∠EFD＝90°，
∴△EFD为等腰直角三角形，
即DF＝FE，
由勾股定理可得：EF＝DE，
即DE＝AE；
（2）作图如下：
则△FBE为即为所求，
由题意可得：MN垂直平分CD，MN垂直平分AB，点F在MN上，
则AF＝BF，
由折叠的性质可得AB＝BF，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠BAF＝60°，△ADF为等腰三角形，
∴∠DAF＝30°，
∴∠EDF＝，
故答案为：75；
（3）取CD的中点O，连接BO，FO，如图，
∵∠CFD＝90°，
∴OF＝CO＝OD＝2，
∵BC＝BA＝BF，BO＝BO，
∴△BCO≌△BFO（SSS），
∴∠BFO＝∠BCO＝90°，
∴∠EFB+∠BFO＝180°，
∴点E，F，O共线，
设AE＝EF＝x，则DE＝4﹣x，
在Rt△ODE中，OD2+DE2＝OE2，
∴22+（4﹣x）2＝（2+x）2，
解得x＝，
即AE的长为．
19．【解答】解：（1）将点A（8，3）代入y＝x2+bx+3，
∴3＝16+8b+3，
∴b＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）令y＝0，则x2﹣2x+3＝0，
解得x＝2或x＝6，
∴B（2，0），C（6，0），
∴OC＝6，
令x＝0时，y＝3，
∴D（0，3），
∴OD＝3，
∵PQ＝QT，
∴∠QPT＝∠QTP，
∵OD∥PT，
∴∠QPT＝∠DOQ，∠QTP＝∠QDO，
∴∠QOD＝∠QDO，
∴∠QOC＝∠QCO，
∴DQ＝QC＝OQ，
过点Q作QH⊥x轴于H，
∴QH＝OD，OH＝OC，
∴Q（3，），
设直线OP的解析式为y＝kx，
∴＝3k，
∴k＝，
∴y＝x，
联立方程组，
解得或，
∴P点坐标为（5+，）或（5﹣，）；
（3）过点A作AH⊥x轴，垂足为H，分三种情形；
①如图2，若ΔΑΕF∽△OFE，则∠AFE＝∠EFO，
延长AE交y轴于点G，
∵AΕ⊥ΕF，
∴AE＝EG，
∴ΔΑΕH≌ΔGΕO（AAS），
∴OE＝EH＝4；
③如图3，若△AEF∽△FOE，则∠AFE＝∠OEF，
设AF交x轴于点G，则FG＝EG，
∵AE⊥EF，
∴FG＝AG，
∴ΔΑGH≌△FGO，
∴OF＝AH＝3，
设HE＝x，则EO＝8+x，
∵ΔΑΕH∽△EFO，
∴＝，
∴＝，
解得x＝﹣9或x＝1，
∴EO＝9；
如图4，过A点作AF⊥y轴交于F点，以AF为直径作圆，圆与x轴的交点为E点，
∵A（8，3），D（0，3），
∴F点与D点重合，
∵AF∥x轴，
∴∠AFE＝∠FEO，
∴△AEF∽△FOE，
∴＝＝，
∴＝，
解得OE＝4+或OE＝4﹣；
综上所述：OE的长是4或9或4+或4﹣．
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