2025温州浙南名校联盟高二下学期2月开学考试数学含解析

这是一份2025温州浙南名校联盟高二下学期2月开学考试数学含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 是直线 l 的一个方向向量，则 l 的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.若函数 满足 ，则 ( )
A. 1 B. 2 C. D.
3.若直线 与直线 平行，则 m 的值是( )
A. 1 或 B. C. 1 或 D. 1
4.若数列 满足 ， ，则 ( )
A. B. 2 C. 3 D.
5.过 ， ， 三点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在平行六面体 中，底面 ABCD 是正方形， ，M 是 CD 中点，
，则直线 与 BM 所成角的正弦值为( )
A. B. C. 1 D.
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7.已知点 ，点 P 为圆 上任意一点，线段 AP 的垂直平分线与 CP 相交于点 Q，
则 面积的最大值为( )
A. B. C. 8 D.
8.若不等式 对任意正实数 x 恒成立，则 a 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，
部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”
最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球， ，依此类推.设第 n 层有 个球，从上往下 n 层球
的总数为 ，则( )
A. B.
C. D.
10.已知双曲线 的渐近线分别为 ， ，P 为双曲线 C 上一个动点， ，
，斜率为 的直线与双曲线交于 M，N 两点，平面内动点 T 满足 TM，TN 分别与 ， 平行，则下面结论
正确的是( )
A. 点 F 到渐近线的距离为 2 B. 的最小值为
C. T 在直线 上 D. 的最小值为
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11.如图，异面直线 a，b 相互垂直，点 ，A 分别为直线 a，b 上的点，满足 ， ，E、F
分别为直线 a，b 上的动点，M 为线段 EF 的中点，则下列说法中正确的是( )
A. 若 ， ， ，则
B. 若 ， 与 EF 所成角为 ，则 EF 长度为定值
C. 若 ， 与 EF 所成角为 ，则 M 的轨迹是圆
D. 若 ， 与 EF 所成角为 ，则 为定值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 的导函数为 .
13.已知数列 满足 ，则 .
14.设函数 ，若曲线 在点 ，处的切线与抛物线 也相切，则 的
值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 12 分
已知直线 与圆
若圆 C 上有且只有一个点到 l 的距离为 1，求 r 的值;
设 是圆 C 上的动点，若 的最小值为 2，求 r 的值.
16. 本小题 12 分
已知等比数列 的前 n 项和为 ，且
求数列 的通项公式;
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在 与 之间插入 n 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，记数列 的前 n 项和
，求证：
17. 本小题 12 分
如图，矩形 ABCD 中， ， ，E 为 AD 的三等分点 靠近 D 点 ，将 沿着 BE 折起，
使得点 在底面的射影 O 落在 BD 上，Q 为线段 上的动点.
求证：平面 平面
若 ，当 Q 到平面 的距离为 时，求 的值.
18. 本小题 12 分
已知抛物线 的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 ， 两点， ，
点 O 为坐标原点，
求抛物线 C 的方程;
证明：直线 l 过定点，并求出该定点坐标;
若点 ，直线 AQ，BQ 分别与抛物线 C 相交于 M，N 两点 异于 A，B 两点 ，记 的面积为
，记 的面积为 ，试判断 是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由.
19. 本小题 12 分
设函数 ，已知点 ，过点 作曲线 的切线，与曲线 相切于
点
证明：
证明： ⅰ
ⅱ 数列 单调递增; 记数列 的前 n 项和为 ，数列 的前 n 项和为 ，证明：
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角的求法，属于容易题．
由直线的方向向量，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小．
【解答】
解：由直线的方向向量可知直线的斜率为 ，
设直线的倾斜角为 ，
所以 ，解得
故选：
2.【答案】C
【解析】解： 奇函数 满足 ，
，
故选
3.【答案】C
【解析】解： 直线 与直线 平行，
，
解得 或 经检验， 或 时，两直线平行.
4.【答案】D
【解析】解： 数列 满足 ， ，
，
，
，
，
，
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是周期为 3 的周期数列，
而 ，
故 ．
故选
5.【答案】B
【解析】解：设所求圆的一般方程为 ，
代入 A，B，C 三点，得 ，
解得 ，
所以圆的一般方程为 ，即
6.【答案】C
【解析】解：设 ，
因为 ，
所以
因为 ，
所以 ，
2 ，
所以 ， ，
所以直线 与 BM 所成角的正弦值为
7.【答案】B
【解析】解：如图，Q 是线段 AP 的垂直平分线上的点，则 ，
则 ，
Q 点轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，设其标准方程为 ，其中 ，
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则 ，标准方程为 ，
面积为 ，显然，当 时， 最大，
则 面积的最大值为为
故选：
8.【答案】D
【解析】解： ， 不等式 ，即为 ，
即 ，即
可设 ，则上式即为 ，
， 在 R 上递增，
由 在 R 上递增，可得 ，由 ，得 ，
令 ，则
因此若不等式 对任意正实数 x 恒成立，
则 对任意正实数 t 恒成立，
令 ， ，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 取得最大值
所以
9.【答案】BCD
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【解析】解：由题意可知， ， ， ， ，
，
故 ，
所以 ， ， ，故 A 错误;
故 ，故选项 B 正确；
因为 ，故选项 C 正确；
因为 ，
所以 ，
所以
，
故选项 D 正确．
故选：
10.【答案】AD
【解析】解：对于 A，双曲线 ，其渐近线方程为 ，即 ，
点 到渐近线 的距离 ，故 A 正确；
对于 B，由图可得，要 取最小值，则点 P 在第一象限，
由双曲线定义知 为双曲线的左焦点 ，
则 ，
则
，
当且仅当 P，Q， 三点共线且 P 在 Q， 之间时， 取最小值 ，
故 B 错误；
对于 C，双曲线 的渐近线为 ，
设 ： ， ： ，
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设 ， ，
联立 ，可得 ，即
联立 ，即 ，
所以 ，解得 ，
将 代入 ，得 ，
所以
联立 ，即 ，
所以 ，解得 ，
将 代入 ，得 ，
所以
所以
，
由 ，得 ，
所以 T 在直线 上，故 C 错误；
对于 D，设 与双曲线 C 相切，
联立 ，得 ，
即 ，即 ，
所以 ，解得 ，
当 时， 的最小值为 与 的距离，
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即 与 的距离，
即为 ，
同理当 时， 的最小值为 与 的距离，
即为
综上所述， 的最小值为 ，故 D 正确.
11.【答案】ABC
【解析】解：对于 A，由题意知 ，
所以 2 2 2
因为异面直线 a，b 相互垂直，
所以 2，解得 ，故 A 正确；
对于 B，若 ， 与 EF 所成角为 ，
所以 2 ，
所以 2，
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即 为定值，故 B 正确；
对于 C，如图，将图形还原为长方体 ，设 AC 与 BF 交于点 D，连接 MD，取 的中点
N，连接 MN，
由选项 B 可知 ， ， ，
又因为 M 为 EF 的中点，所以 ， ，
而 ， ，故 ， ，所以四边形 MNAD 是平行四边形，
则 ， ，因为 ，
则 ，
因为 平面 ABCF， 平面 ABCF，所以 ，则 ，
所以 M 的轨迹是在线段 的中垂面内以 的中点 N 为圆心， 为半径的圆，故 C 正确；
对于 D，由选项 C 可知 ，不为定值，故 D
错误.
故选
12.【答案】
【解析】解：
故答案为
13.【答案】110
【解析】解：当 n 为奇数时，可得 ，
所以 ；
当 n 为偶数时，可得 ，
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所以 ；
所以
14.【答案】1
【解析】解：由题意得 ，则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即
，
与抛物线方程联立得 ，
由 ，得 ，即
令 ，则 ，
当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，
则 ，
则
15.【答案】解： 圆心 到直线 的距离为 ，
所以当 时，圆 C 上有且只有一个点到 l 的距离为 1；
，
即圆 C 上点 到直线 的距离最小值为 1，
因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解： 方法一：当 时 ，
，则 ，
为等比数列，
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等比数列 的公比为 2，
当 时， ，解得： ，
；
方法二：设 公比为 q， 为等比数列，
，解得 或 2，
， ，
， ；
因为 ，所以 ， ，
，
，
所以
，
所以
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解： 连接 CE、BD，
点在底面的射影 O 落在 BD 上，
平面
平面 BCDE， ，
， ， ∽ ，
矩形 ABCD， ， ， ，
， ， ， ，
， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面
以 C 为原点，CD 所在直线为 x 轴，CB 所在直线为 y 轴建系如图.
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， ， ， ，
设 ， ，
， ， ，
即 ，
解得 ， ， ，即 ，
设平面 的法向量为 ，
， ，
，解得 ，
， ，
，
解得
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解： 由题： ；
设直线 l 方程为 ， ， ，
联立直线 l 与抛物线 C 的方程，
消去 x，得 ，故
因为 ，
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又由于 ， 在抛物线上
，
，
则直线 l 方程为 ，过定点 ；
由题 ，Q 在直线 AM 上，
设直线 AM 的方程为： ，
与抛物线方程联立为： ，
设 ，所以 即 ，
设 ，同理可得： ，即 ，
，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
而 ， ， ，
所以 ，
因此 为定值，定值为 4
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解： 令函数 ， ，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
因此 ，当且仅当 时等号成立.
定义域为 ， ，
因此当 时， ，故 单调递减;
当 时， ，故 单调递增.
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切线 的方程为 ，
将点 坐标代入得 整理得到
，
由 得 ，
因此
其中当且仅当 等号成立，即 ，而 ，
因此
由于 ， ，
因此数列 单调递增.
由 得
所以 ，
累加求和可得 ，
所以
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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