河北省部分学校2025届高三上学期期末联考数学试题（解析版）

这是一份河北省部分学校2025届高三上学期期末联考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，，
所以，，故.
故选：B.
2. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由条件可知，所以，
故选B.
3. 函数在点处的切线斜率为2，则a=（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】，，
故选：B.
4. 已知，，，，，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】由题意知，，
即，
令，则不等式化为,
当且仅当时取等号，的最小值为4.
故选：C.
5. 数列为等差数列，，，且，，成等比数列，当最大时，n=（ ）
A. 8或9B. 9或10C. 10或11D. 11或12
【答案】B
【解析】，
故，，
∴，，
∴最大时，或10，
故选：B.
6. 如图组合体是由正四棱锥与正四棱台组合而成，，则PA与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】延长，，，交于Q，易知：，
故是正八面体，故，，
∠APD即为所求异面直线所成角，余弦值为.
故选：A.
7. 数据a、b、c的方差为1，对，的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】设，依题意，，
而，
当且仅当时，取最小值为3.
故选：C.
8. 已知，，，则以下正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，故A错误；
，而.
∵， ∴，即∴，故B正确；
即，
而，故C错误；
即，
而，故D错误，
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知z，，是复数，则以下正确的是（ ）
A. 复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在第四象限
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】对于A：由z对应的点与对应的点关于x轴对称，则复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在第二象限，错误；
对于B：设，在复平面对应向量分别为，，则，，正确；
对于C、D：设，，且，
则，C正确；
，D正确，
故选：BCD.
10. 椭圆上的动点M与点的距离的最小值为，则a的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】设，则，
则，
即函数最小值为，
对称轴为，其中，故，
原条件等价于或，
解得：或.
故选：BD.
11. 斐波那契数列满足：，，，，则以下正确的是（ ）
A. B.
C. 递减D.
【答案】ABC
【解析】验证得，，，…，故当时，，
又
，
∴为常数列，
∴，故A正确；
，
∴，
即，故B正确；
，
分子
，故C正确；
时，，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 三棱锥中，平面ABC，，，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为_______.
【答案】
【解析】设球半径为r，平面，显然,
又，平面,故平面，
平面,则.
由于平面ABC，，，
则 ,.
，,
故三棱锥侧面积为，
故答案为：.
13. 过直线上一点M引抛物线的两条切线为切点，抛物线焦点为F，则F到距离的最大值为_______.
【答案】
【解析】
设，，，则，
方程：化为，
同理方程：，将代入两式：，.
故，都直线上，
而代入化为：
此为直线方程，恒过点，焦点，即为F到距离最大值.
故答案为：.
14. 甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作X，则=_______.
【答案】
【解析】由题意可知：X所有可能取值为1，2，3，
可得，，
，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 长方体中，，，M为中点.
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
（1）证明：连接，如图，
，，
因此，又，
则，可得；
又平面，而平面，
可得，又，平面，
故平面，又平面，
故.
（2）解：以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图空间直角坐标系.
则，
可得，，
显然，即可得，
又，平面，
所以平面，
即平面的一个法向量为，又，
设与平面所成的角为，
故所求线面角的正弦值为.
16. 数列满足：，.
（1）求数列通项；
（2）恒成立，求m最小值.
解：（1）由，
，
两式相减得：，
时，符合等式，
故，，
两式相除得：
故n为奇数时，
n为偶数时，
综上，对任意，.
（2）由
故，最小值为.
17. 某省级示范学校高三的一次考试后，为了调查学生们的偏科程度，在实验班随机抽取8名同学，比较物理成绩x与数学成绩y，得到下表（单位：分）：
（1）求出y关于x的回归方程（精确到0.01）；
（2）若相关系数r满足，则我们可以认为y与x之间具有较强的线性相关关系，计算这8名学生的物理成绩和数学成绩是否具有较强的线性相关关系？
（附：，，，，，相关系数）
解：（1）设y关于x的回归方程为，由题设有，
，，
故所求回归方程为：；
（2）由，
故这8名学生的物理成绩和数学成绩不具有较强的线性相关关系.
18. 双曲线，左、右顶点分别为A，B，曲线上有点，满足.
（1）求双曲线方程；
（2）Q是双曲线上的动点，QA，QB分别交椭圆于点E，N，S，T，证明：为定值.
（1）解：由题意，，
故，
将代入，
故双曲线方程为.
（2）证明：设，则，
而，故.
设：代入椭圆方程得：，
，
其中，
过A作ST平行线交椭圆于G，H，由对称性可知：，
故将中的k换为，即得，
故，
∴.原命题得证.
19. 若方程有n个实数根：，，…，，且，则称函数为关于k的n度函数，称为关于k的总度量值，已知.
（1）证明：是增函数；
（2）函数为关于0的2度函数.
（i）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：关于0的总度量值大于.
（1）证明：，函数定义域为，
故，故为增函数.
（2）（i）解：由题可知有两个解，即有两个零点，设为，，
，，
在上，，为减函数，值域为，
在上，，为增函数，值域为，
故“有两个零点”等价于，
所以a的取值范围为；
（ⅱ）证明：由题需证： ，
设，则，
由（1）知：为增函数.
而，故，
同理，
∴，
同理，
可得：，
又因，故，故关于0的总度量值大于.学生号
1
2
3
4
5
6
7
8
x
98
84
87
94
81
91
85
100
y
135
124
113
125
116
120
132
135