黑龙江省龙东地区2025届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省龙东地区2025届高三上学期期末考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，，.
故选：A.
2. 已知复数，若是纯虚数，则实数（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】由于，故，所以，解得.
故选：C.
3. 若一个圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆台的轴截面如下图：
因为母线与下底面所成的角为，所以母线长为，
所以圆台的侧面积为：.
故选：D.
4. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
由于在上单调递增，故，
因此恒成立，故，
由于，故，
故选：B.
5. 已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为，其中m是正常数，若经过时间，该物质的能量由减少到，则再经过时间，该物质的能量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设的能量为，则，又经过时间，该物质的能量由减少到，所以，所以，
则再经过时间时，该物质的能量为.
故选：C.
6. 已知定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】根据题意有，，故，从而.
所以.
故选：A.
7. 已知锐角，满足，，则的最小值为（ ）
A 2B. 3C. 5D.
【答案】A
【解析】由题意得，
故.
于是，当且仅当时取等号，
故选：A.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为．若双曲线的右支上存在点，使得，且的面积为，为锐角，则双曲线的离心率（ ）
A. B. 2
C. D.
【答案】C
【解析】设，则，从而.
而在双曲线的右支上，故，从而，即.
同时，由于，故.
移项可得，两边除以就得到.
所以，从而，即.
两边平方即得，整理得到.
去分母后即可得到关于的方程.
直接计算可得，故该方程等价于.
从而或，将这两个方程分别看作关于的一元二次方程，即可分别解得和.
同时，由于为锐角，故，所以，故.
而，
故符合条件的解只有一个.
而，，所以.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知随机变量，若，则
B. 若随机变量（其中），，则
C. 若事件，且，则
D. 若随机变量，且，则
【答案】AC
【解析】对于A，由于，故，故A正确；
对于B，由于，故，解得，故B错误；
对于C，，且，则，故C正确；
对于D，，故，进而可得，故D错误.
故选：AC.
10. 如图，在棱长为2的正方体，中，点分别是梭，，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若正方体的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 平面和平面分正方体成三部分的体积由小到大的比值为1：8：16
D. 平面和平面之间的距离为
【答案】ABD
【解析】对于A,正方体的外接球的直径为,故外接球的半径为，故体积为，故A正确，
对于B，由于,因此为异面直线与所成角或其补角，,由余弦定理可得,故B正确；
对于C，,延长和相交于点,由于是的中点，,所以是的中点，同理可知与也相交于点，故为三棱台，因此
，因此平面和平面之间的体积为,
因此三部分的体积由小到大的比值为1：7：16，C错误；
对于D，由于,故，平面，平面，故平面，同理由可得平面，平面，故平面平面，
因此到平面的距离即为平面和平面之间的距离，
,故到平面的距离为，故D正确，
故选：ABD
11. 已知曲线C：，则（ ）
A. 曲线C的图象关于x轴对称
B. 曲线C上任意一点的横坐标的最小值为
C. 若点在曲线C上，则
D. 若直线与曲线C有三个交点，则实数k的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A；由，可得，
所以曲线C的图象关于x轴对称，故A正确；
对于B；令，可得，
所以函数在上单调递增，且，
又，所以，所以，
所以曲线C上任意一点的横坐标的最小值为，故B错误；
对于C；若点在曲线C上，则，
令，求导得，
，
求导可得，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，即，所以在上单调递减，
当时，，即，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以，所以，故C正确；
若直线与曲线C有三个交点，所以在上有三个解，
显然时，方程不成立，所以在上有三个解，
令，则，
令，求导可得，
当时，，所以在上单调递增，
又，所以当时，，即，
当时，，即，
当，，所以，
所以，所以，即在上为增函数，
又，所以时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
又，
要使在上有三个解，
则需，解得或，
所以若直线与曲线C有三个交点，则实数k的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若单位向量，满足，则向量与的夹角为______．
【答案】
【解析】由可得，
故，故，由于，故，
故答案为：.
13. 已知函数的部分图象如图所示，且，则______．
【答案】
【解析】设，由题意，由图象可知，则，
又，所以，即，因为，即符合题意，
则，因为，
所以，
所以或，
所以或，
因为，即符合题意，
综上.
故答案为：.
14. 冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数6，则进行这种反复运算的过程为，即按照这种运算规律进行8次运算后得到1．若从正整数3，11，12，13，14中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均被4整除余1的概率为______．
【答案】
【解析】按照题中运算规律，正整数3的运算过程为，运算次数为；
正整数11的部分运算过程为，
当运算到10时，运算次数为9，由正整数3的运算过程可知，正整数7总的运算次数为；
正整数12的运算次数为，共次；
正整数13的运算次数为9；
正整数14的运算次数为，共
故能被4整除余1共3个，概率为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若，，求．
解：（1）由可得，
故，即，
故，
由于，故，
（2）由可得，
由，
由正弦定理可得.
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E是DP的中点，，垂足为F，，
（1）证明：平面AEF；
（2）求二面角的正弦值．
（1）证明：因为底面ABCD为矩形，平面ABCD，平面，
所以，即两两互相垂直，
故以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
注意到，不妨设，
所以，
所以，
从而，即，
由题意，又平面，
所以平面AEF；
（2）解：由（1）可知平面的一个法向量可以是，
注意到三点共线，从而可设，
而，，
所以，
解得，
所以，
由（1）可知，
设平面的法向量为，
则，
令，解得，
所以，
设二面角的大小为，
则，
故所求为.
17. 已知椭圆C：的长半轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A为椭圆C的左顶点，过原点的直线与椭圆C分别相交于P，Q（点P，Q不在坐标轴上）两点，直线AP，AQ分别交y轴于M，N两点，判断直线PN和QM的交点是否在定直线上，并说明理由．
解：（1）由题意：，
又，所以.
则椭圆C的标准方程为.
（2）设，则，且，即，
，
直线方程为：，，
直线方程为：，，
直线方程为：，
直线方程为：，
联立直线方程与直线方程得，
化简可得恒成立,
因此直线与直线的交点过定直线.
18. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值；
（2）讨论函数单调性；
（3）当时，令函数，证明：．
（1）解：由于，故，解得或.
（2）解：首先有.
若，则在上递减；
若，则对有，
对有.
所以在上递减，在上递增；
若，则对有，
对有.
所以在上递减，在上递增.
综上，当时，在上递减；
当时，在上递减，在上递增；
当时，在上递减，在上递增.
（3）证明：为使有意义，需要，下面的讨论默认为正数.
先证明一些结论作为准备工作：
①设，则对有，对有.
所以在上递减，在上递增，从而，.
②设，则.
所以对有，对有.
从而在上递减，在上递增，故.
③设，则对有，对有.
从而在上递减，在上递增，故.
④由于，故，所以.
由于，，故.
所以，即，从而.
将和结合，即得.
最后，由于，故.
所以
.
从而原命题得证.
19. 已知正项数列满足：对任意的正整数n，都有，其中d为非零常数．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）证明：；
（3）若且，从，，，…，（且）中任取两个数，记这两个数是无理数，且这两个无理数中间仅包含一个整数概率为，若，求正整数的最小值．
公式：（其中n为正整数）．
（1）解：由可得，
数列满足递推关系，
因此是以为首项，公差为的等差数列，
因此，
又为正项数列，可得，
因此数列的通项公式为；
（2）证明：根据递推关系可得：
所以
,
因此
（3）解：由（2）中结论且可得；
又，即可得，
因此，即可得；
又，即，即可知；
所以，即，
因此此时；
数列中无理数项对应的为非平方数项，因此，，，…，中共有个无理数；
符合条件的无序对为相邻区间和中的无理数对，
即在区间和上分别任取一个无理数构成无理数对，
相邻两区间上符合题意的无理数对为；
因此总对数共有
；
总的组合数为从个数中随机取出两个，即，
因此，
又，即可得，即，
解得，
易知；
所以正整数的需满足，
因此正整数的最小值为22.