初中数学沪科版（2024）七年级下册（2024）8.3 完全平方公式与平方差公式教案设计

这是一份初中数学沪科版（2024）七年级下册（2024）8.3 完全平方公式与平方差公式教案设计，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。

1．了解平方差公式的几何背景，会推导平方差公式，并能运用平方差公式进行简单的计算．
2．经历探索平方差公式的过程，进一步体会转化、数形结合等思想方法，培养学生观察、归纳、猜测、验证等能力．
重点：平方差公式的推导和应用．
难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．

一、情境导入
1.教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则．
学生积极举手回答．
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2.教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式．
二、合作探究
探究点：平方差公式
【类型一】 直接应用平方差公式进行计算
利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4).
解析：直接利用平方差公式进行计算即可．
解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25.
(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2.
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
【类型二】 应用平方差公式进行简便运算
利用平方差公式计算：
(1)20 eq \f(1,3) ×19 eq \f(2,3) ； (2)13.2×12.8.
解析：(1)把20 eq \f(1,3) ×19 eq \f(2,3) 写成(20＋ eq \f(1,3) )×(20－ eq \f(1,3) )，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．
解：(1)20 eq \f(1,3) ×19 eq \f(2,3) ＝(20＋ eq \f(1,3) )×(20－ eq \f(1,3) )＝400－ eq \f(1,9) ＝399 eq \f(8,9) .
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.
方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．
【类型三】 运用平方差公式进行化简求值
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x，y的值代入进行计算即可得解．
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
【类型四】 平方差公式的几何背景
如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________.
解析：∵左图中阴影部分的面积是a2－b2，右图中梯形的面积是 eq \f(1,2) (2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可以验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．
【类型五】 平方差公式的实际应用
王大伯家把一块边长为a(a＞4)米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．
解：李大妈吃亏了，理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．
三、板书设计
1．平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．
即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2．平方差公式的运用
本节课通过利用平方差公式进行计算，及用几何方法证明公式的正确性，让学生理解平方差公式，并能用平方差公式解决实际问题．本节教学内容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成．