沪科版（2024）七年级下册（2024）第9章 分式9.2 分式的运算第2课时教案

这是一份沪科版（2024）七年级下册（2024）第9章 分式9.2 分式的运算第2课时教案，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第2课时 分式的加减
1．理解并掌握分式的加、减运算法则，会利用分式的加减法法则进行运算．
2．经历探索分式的加减运算法则的过程，学习运用类比转化的思想方法研究数学问题，学会用数学的思维思考现实问题．
重点：分式的加减运算．
难点：异分母分式的加减运算．

一、情境导入
1.请同学们说出 eq \f(1,2x2y3) ， eq \f(1,3x4y2) ， eq \f(1,9xy2) 的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？
2.你能举例说明分数的加减法法则吗？仿照分数加法与减法的法则，你会做以下题目吗？
(1) eq \f(1,x) ＋ eq \f(3,x) ；(2) eq \f(2,xy) ＋ eq \f(4,xy) － eq \f(5,xy) .
分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则吗？
今天我们就学习分式加减法．
二、合作探究
探究点一：同分母分式的加减
计算：(1) eq \f(a2＋1,a＋b) － eq \f(b2＋1,a＋b) ；(2) eq \f(2,x－1) ＋ eq \f(x－1,1－x) .
解析：按照同分母分式相加减的方法进行运算．
解：(1) eq \f(a2＋1,a＋b) － eq \f(b2＋1,a＋b) ＝ eq \f(a2＋1－（b2＋1）,a＋b) ＝ eq \f(a2＋1－b2－1,a＋b) ＝ eq \f(a2－b2,a＋b) ＝ eq \f(（a＋b）（a－b）,a＋b) ＝a－b.
(2) eq \f(2,x－1) ＋ eq \f(x－1,1－x) ＝ eq \f(2,x－1) － eq \f(x－1,x－1) ＝ eq \f(2－（x－1）,x－1) ＝ eq \f(3－x,x－1) .
方法总结：(1)当分子是多项式，把分子相减时，千万不要忘记加括号；(2)分式加减运算的结果，必须要化成最简分式或整式；(3)当两个分式的分母互为相反数时可变形为同分母的分式．
探究点二：异分母分式的加减
【类型一】 异分母分式的加减运算
计算：
(1) eq \f(x2,x－1) －x－1；
(2) eq \f(x＋2,x2－2x) － eq \f(x－1,x2－4x＋4) .
解析：(1)先将整式－x－1变形为分母为x－1的分式，再根据同分母分式加减法法则计算即可；(2)先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．
解：(1) eq \f(x2,x－1) －x－1＝ eq \f(x2,x－1) － eq \f(x2－1,x－1) ＝ eq \f(1,x－1) .
(2) eq \f(x＋2,x2－2x) － eq \f(x－1,x2－4x＋4) ＝ eq \f(（x＋2）（x－2）,x（x－2）2) － eq \f(x（x－1）,x（x－2）2) ＝ eq \f(x2－4－x2＋x,x（x－2）2) ＝ eq \f(x－4,x3－4x2＋4x) .
方法总结：在分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
【类型二】 异分母分式的化简求值
先化简，再求值： eq \f(3,x－3) － eq \f(18,x2－9) ，其中x＝2015.
解析：先通分并利用同分母分式的减法法则计算，后约分化简，最后代入求值．
解：原式＝ eq \f(3,x－3) － eq \f(18,（x＋3）（x－3）) ＝ eq \f(3（x＋3）－18,（x＋3）（x－3）) ＝ eq \f(3（x－3）,（x＋3）（x－3）) ＝ eq \f(3,x＋3) ，当x＝2015时，原式＝ eq \f(3,2018) .
方法总结：在解题的过程中要注意通分和化简．
【类型三】 异分母分式的简便运算
已知下面一列等式：
1× eq \f(1,2) ＝1－ eq \f(1,2) ； eq \f(1,2) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,2) － eq \f(1,3) ；
eq \f(1,3) × eq \f(1,4) ＝ eq \f(1,3) － eq \f(1,4) ； eq \f(1,4) × eq \f(1,5) ＝ eq \f(1,4) － eq \f(1,5) ；…
(1)请你从上边这些等式的结构特征写出它们的一般性等式；
(2)验证一下你写出的等式是否成立；
(3)利用等式计算： eq \f(1,x（x＋1）) ＋ eq \f(1,（x＋1）（x＋2）) ＋ eq \f(1,（x＋2）（x＋3）) ＋ eq \f(1,（x＋3）（x＋4）) .
解析：(1)观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可写出一般性等式；(2)根据分式的运算法则即可验证；(3)根据(1)中的结论求解．
解：(1) eq \f(1,n) · eq \f(1,n＋1) ＝ eq \f(1,n) － eq \f(1,n＋1) .
(2)∵ eq \f(1,n) － eq \f(1,n＋1) ＝ eq \f(n＋1,n（n＋1）) － eq \f(n,n（n＋1）) ＝ eq \f(1,n（n＋1）) ＝ eq \f(1,n) · eq \f(1,n＋1) ，∴ eq \f(1,n) · eq \f(1,n＋1) ＝ eq \f(1,n) － eq \f(1,n＋1) .
(3)原式＝( eq \f(1,x) － eq \f(1,x＋1) )＋( eq \f(1,x＋1) － eq \f(1,x＋2) )＋( eq \f(1,x＋2) － eq \f(1,x＋3) )＋( eq \f(1,x＋3) － eq \f(1,x＋4) )＝ eq \f(1,x) － eq \f(1,x＋4) ＝ eq \f(4,x2＋4x) .
方法总结：本题是寻找规律的题型，考查了学生分析问题、归纳问题及解决问题的能力．总结规律要从整体和部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．
三、板书设计
1．分式的加减法则
同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减．
2．分式的加减法的应用
从分数加减法引入，类比得出分式的加减法，最关键的是法则的探究，重点是法则的运用，易错点是分母互为相反数，要化成同分母分式，在这个过程中要注意变号．学生在教师的指导下，先独立进行自学，自己解决不了的问题在小组内讨论交流进行解决．