辽宁省铁岭市昌图县2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省铁岭市昌图县2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0D．（a2+1）x2+bx+c＝0
答案：D．
2．用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）
A．x2+6x﹣7＝0化为（x+3）2＝0
B．x2﹣5x﹣4＝0化为
C．x2+2x﹣99＝0化为（x+1）2＝100
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为
答案：A．
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝，b＝3，c＝2，d＝
答案：B．
4．如图，AB、CD相交于点O，AD∥CB，若AO＝2，BO＝3，CD＝6，则CO等于（ ）
A．2.4B．3C．3.6D．4
答案：C．
5．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（ ）
A．8B．9C．8或9D．12
答案：B．
6．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
答案：D．
7．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461
C．461（1﹣x）2＝180D．461（1+x）2＝180
答案：B．
8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则另一个解为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．4
答案：A．
9．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（ ）
A．6B．8C．12D．10
答案：B．
10．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C．
二、填空题（每小题3小题，共18分）
11．一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是 x1＝3，x2＝1 ．
12．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
13．如图，某单位准备在院内一块长30m、宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为532m2，则小道进出口的宽度为 1 m．
14．已知直角三角形斜边上的中线是2.5cm，斜边上的高是2cm，则这个直角三角形的面积是 5 cm2．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C（，1），则点A的坐标是 （﹣1，） ．
16．菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22.0分）
17．用公式法解方程：x2﹣2x＝4x﹣5．
解：整理成一般式，得：x2﹣6x+5＝0，
∴a＝1，b＝﹣6，c＝5，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×5＝16＞0，
则x＝＝，
∴x1＝5，x2＝1．
18．小明有3支水笔，分别为红色、蓝色、黑色；有2块橡皮，分别为白色、黑色．小明从中任意取出1支水笔和1块橡皮配套使用．试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率．
解：画树状图：
共有6种等可能的结果，其中取出红色水笔和白色橡皮占1种，
∴出红色水笔和白色橡皮配套的概率＝．
19．如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长．
解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝CD＝AB，
∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC，
∴EF＝BC，
∴EF＝AD，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）在菱形ABCD中，BC＝CD，
∵BF＝16，
∴CF＝BF﹣BC＝16﹣CD，
∵在矩形AEFD中，∠F＝90°，
∵DF＝8，
∴在Rt△CFD中，，
解得：CD＝10．
四.（每小题8分，共16分）
20．劳动是财富的泉，也是幸福的泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图，现准备利用校园围墙的一段MN（MN最长可用25m），用40m长的篱笆，围成一个矩形菜园ABCD．
（1）当AB长度为多少时，矩形菜园的面积为150m2？
（2）能否围成面积为210m2的矩形菜园？为什么？
解：（1）设当AB长度为x m时，矩形菜园的面积为150m2，
根据题意得：x（40﹣2x）＝150，
解得：x＝5或x＝15，
∵当x＝5时，40﹣2x＝30，不符合题意，
∴x＝5舍去，
答：当AB长度为15m时，矩形菜园的面积为150m2．
（2）不能围成，如果矩形菜园面积为210m2时，
则：2x2﹣40x+210＝0，Δ＝﹣80＜0方程没有实数根．
答：不能围成面积为210m2的菜园．
21．如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
解：设经过x秒，两三角形相似，
则CP＝AC﹣AP＝8﹣x，CQ＝2x，
（1）当CP与CA是对应边时，，
即，
解得x＝4秒；
（2）当CP与BC是对应边时，，
即，
解得x＝秒；
故经过4或秒，两个三角形相似．
五.（本题10分）
22．如图，综合实践活动课中小明同学用自制的直角三角形模具DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，让斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DE＝0.4m，EF＝0.3m，测得边DF离地面高度AC＝1.7m，CD＝8m，求树高AB．
解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
∵EF＝0.3，DE＝0.4，DC＝8，
∴，
∴BC＝6m，
∴AB＝AC+BC＝1.7+6＝7.7（m），
答：树高AB为7.7m．
六.（本题10分）
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t＝1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
解：（1）如图1，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，
由S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，
＝×﹣
＝×（10+2）×8﹣×10×4﹣
＝24（cm2）；
（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
此时AE＝2t，EB＝12﹣2t，BF＝4t，FC＝8﹣4t，CG＝2t，
S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
＝×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG
＝×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）
＝8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．
②如图2，当点F追上点G时，4t＝2t+8，解得t＝4，
当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF＝4t﹣8，CG＝2t，
FG＝CG﹣CF＝2t﹣（4t﹣8）＝8﹣2t，
S＝FG•BC＝（8﹣2t）•8＝﹣8t+32．
即S＝﹣8t+32（2＜t＜4）．
（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，在△EBF和△FCG中，∠B＝∠C＝90°，
①若＝，即＝，
解得t＝．
所以当t＝时，△EBF∽△FCG，
②若＝即＝，解得t＝．
所以当t＝时，△EBF∽△GCF．
综上所述，当t＝或t＝时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．
七、（本题12分）
24．（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ＝∠ABC．
①若点P在线段CB上（如图），且BP＝6，求线段CQ的长；
②若BP＝x，CQ＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ＝90度．当CQ＝1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．
解：（1）①∵∠APQ+∠CPQ＝∠B+∠BAP，∠APQ＝∠ABC，
∴∠BAP＝∠CPQ．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴△CPQ∽△BAP．
∴．
∵AB＝AC＝5，BC＝8，BP＝6，CP＝8﹣6＝2，
∴，．
②若点P在线段CB上，由（1）知，
∵BP＝x，BC＝8，
∴CP＝BC﹣BP＝8﹣x，
又∵CQ＝y，AB＝5，
∴，即．
故所求的函数关系式为（0＜x＜8）．
若点P在线段CB的延长线上，如图．
∵∠APQ＝∠APB+∠CPQ，
∠ABC＝∠APB+∠PAB，∠APQ＝∠ABC，
∴∠CPQ＝∠PAB．
又∵∠ABP＝180°﹣∠ABC，∠PCQ＝180°﹣∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABP＝∠PCQ．
∴△QCP∽△PBA．
∴．
∵BP＝x，CP＝BC+BP＝8+x，AB＝5，CQ＝y，
∴，即（x＞0）．
（2）①当点P在线段BC上，
∵∠APQ＝90°，
∴∠APB+∠QPC＝90°，
∵∠PAB+∠APB＝90°，
∴∠PAB＝∠QPC，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC＝BP：CQ，
即5：（5﹣BP）＝BP：1，
解得：，或，
②当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，
同理可得：△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC＝BP：CQ，
∴5：（BP﹣5）＝BP：1，
解得：，
③当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，
同理可得：△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC＝BP：CQ，
∴5：（BP+5）＝BP：1，
解得：．
综上所述，或或或．
八.（本题12分）
25．如图，已知正方形ABCD的边长是2，点P沿A→B→C→D运动，到达点D停止．
（1）连接PD，设点运动的距离为x，请用x表示△APD的面积y（直接写出结果）；
（2）作DE⊥AP于点E．
①如图2，点P在线段BC上，将△APB沿AP翻折得到△APB′，连接B′D，求∠B′DE的度数；
②连接EC，若△CDE是等腰三角形，则DE＝ 2或或 直接写出结果．
解：（1）分三种情况：①当点P在边AB上时，如图1，0≤x≤2，
y＝S△APD＝AP•AD＝x•2＝x；
②当点P在边BC上时，如图2，2＜x≤4，
y＝S△APD＝AP•AD＝×2×2＝2，
③当点P在边CD上时，如图3，4＜x≤6，
∴S△APD＝PD•AD＝（6﹣x）×2＝6﹣x；
即y＝﹣x+6；
（2）①如图4，过A作AF⊥B'D于F，交DE于G，
由折叠得：AB＝AB'，∠BAP＝∠B'AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠B'AF＝∠DAF，
∴∠B'AP+∠B'AF＝∠BAP+∠DAF＝∠BAD＝45°，
即∠EAG＝45°，
∴∠AGE＝∠FGD＝45°，
∴∠B'DE＝45°；
②当P在边AB上时，如图1，此时E与A重合，
∴ED＝DC＝2，
当P在边BC上时，如图5，当DE＝EC时，
过E作GF⊥CD于F，交AB于G，则FG⊥AB，DF＝FC＝1，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEG+∠DEF＝∠DEF+∠EDF＝90°，
∴∠AEG＝∠EDF，
∵∠AGE＝∠EFD，
∴△AGE∽△EFD，
∴，
∴，
∴EF＝1，
∴DE＝，此时P与C重合；
当点P在边BC上，如图6，CE＝CD时，
过C作CQ⊥ED于Q，则DQ＝EQ，
设DQ＝x，则DE＝2x，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠DCQ，∠AED＝∠DQC＝90°，
∴△AED≌△DQC（AAS），
∴AE＝DQ＝x，
由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∴x2+（2x）2＝22，
∴x＝，
ED＝；
综上所述，ED的长是2或或．
故答案为：2或或．