2025年中考数学一轮复习 第14讲 二次函数的应用 课件+练习+讲义

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二次函数的实际应用-图形面积问题
二次函数的实际应用-利润最值问题
二次函数的实际应用-其他问题
通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；
能解决相应的实际问题.
【考情分析】二次函数的实际应用多以解答题形式出现，难度中等，考查类型包括销售问题，拱桥、投篮等抛物线型问题. 一般需要根据题目条件列出二次函数关系式，再利用其性质确定最大利润/最大面积等.
二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、
涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等
2.选择合理的位置建立平面直角坐标系
第一步：用待定系数法求出函数表达式
第二步：利用函数性质解决问题.
利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，
利用二次函数解决利润最值的方法：
在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题.
【例1】 （2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
(1)求y与x的函数表达式；(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
【例2】 （2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
答：这天售出了64辆轮椅．
2.（2023·辽宁营口·中考真题）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
【例1】 （ （2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．
等量关系：“正”服装总件数和“风”服装相等
“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，∴AD×DC-AE×AH=32即12×3-1×（12-a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．
∵21-3x≤12∴x≥3
2.（2024·湖北宜昌·模拟预测）某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．(1)求该商品原来的进价；(2)在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润为2000元，且销售量尽可能大时，该商品的售价是多少元/件？(3)在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
2.（2024·湖北宜昌·模拟预测）某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．(3)在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：
（1）建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，（2）根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题.
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
2.（2023·广东深圳·模拟预测）按要求解答(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
解：如图，建立平面直角坐标系
(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
（3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，
【例1】 （2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表：
(1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围；(2)求飞机滑行的最远距离；
求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答,也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式.
利用二次函数解决面积最值的方法
在求解几何图形的最大面积时,应注意自变量的取值范围,一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围,一般有以下几种情况: 边长,周长,面积大于0,三角形中任意两边之和大于第三边.
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
（1）证明：∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4，∵AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，在△ADF和△BED中，
对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应深入理解运动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动过程中的不变量、不变关系和特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析找出题中各图形的结合点，借助函数的性质予以解决.当图形(或某一事物)在运动的过程中某一量取到最大值或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置,这是普遍规律.
利用二次函数解决运动型几何问题的方法
∴∠AEB=∠BEH，∴∠AEB=∠BEH=∠CBE，∴BC=CE，