2025年中考数学一轮复习 第18讲 等腰三角形 课件+练习+讲义

第四章 三角形第18讲 等腰三角形2大考点精讲+专训3大中考命题点+18大题型探究等腰三角形等边三角形★★理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理.探索等边三角形的性质定理及其判定定理.【考情分析】该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.★★有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.【特殊】【注意】顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线.1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴，①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴，②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴.2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.【注意】1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形；2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.【总结】证明两个角相等的方法：1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明.2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决.1）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）.2）等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．3）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论易错易混 4．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．  C6354三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；2）等边三角形的三条边相等；3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形；2）三个角都相等的三角形是等边三角形.3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【补充】      CBA           等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.注意所求结果需满足三角形三边关系.【易错点】  C      11或13 A 锐角三角形钝角三角形  顶角度数=90°-∠1顶角度数=90°+∠1只能是底边长   B           构建全等三角形与相似三角形，运用等腰三角形性质        B      A．2 B．3 C．4 D．5B解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，C2C1C3  D  ∟     5                 A．8 B．16 C．12 D．24B             A 2．（2022·江苏南京·一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ．如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，过点M作MH⊥OB于，当MH＞MN，即MH＞4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，当MH=4时，∵∠AOB=30°，∴OM=2MH=8，∴当a＞8时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，此时a=4，HNPa＞8或a=4           ∟     ∟F         A．△AOB是等边三角形 B．PE=PF C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形D解：∵∠MON=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，故选项A成立，不符合题意；由作图知：射线OP是∠MON的平分线，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，故选项B成立，不符合题意；由作图知：AP=BP，又PE=PF，∴△PAE≌△PBF(HL) ，故选项C成立，不符合题意；∵OA与AP不一定相等，∴四边形OAPB不一定是菱形，故选项D不成立，符合题意； （1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠ADC=120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB=60°，∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，∴△ABC是等边三角形； ∟∟       ∟          B     常见模型种类1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右.2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.【小结】  【问题发现】        ∟      6  ∟             O     (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．    （2）函数图象如图：    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 【例1】 （2024·山东日照·二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”． 【例1】 （2024·山东日照·二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．  =120 【例1】 （2024·山东日照·二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．     【例1】 （2024·山东日照·二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．     K        解：如图所示，             ①②③        A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④A